Adjoint svazek - Adjoint bundle

v matematika, an adjoint svazek ^[1][2] je vektorový svazek přirozeně spojené s jakýmkoli hlavní balíček. Vlákna sousedního svazku nesou a Lež algebra struktura vytvářející adjunktový svazek do (neasociativního) svazek algebry. Sdružené svazky mají v teorii důležité aplikace připojení stejně jako v teorie měřidel.

Formální definice

Nechat G být Lež skupina s Lež algebra ${displaystyle {mathfrak {g}}}$a nechte P být ředitel školy G- svazek přes hladké potrubí M. Nechat

${displaystyle mathrm {Ad}: G o mathrm {Aut} ({mathfrak {g}}) podmnožina mathrm {GL} ({mathfrak {g}})}$

být adjunkční reprezentace z G. The adjoint svazek z P je přidružený balíček

${displaystyle mathrm {ad} P = P imes ^ {mathrm {Ad}} {mathfrak {g}}}$

Adjungovaný svazek je také běžně označován ${displaystyle {mathfrak {g}} _ {P}}$. Explicitně prvky adjunktového svazku jsou třídy ekvivalence párů [p, X] pro p ∈ P a X ∈ ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ takhle

${displaystyle [pcdot g, x] = [p, mathrm {Ad} _ {g} (x)]}$

pro všechny G ∈ G. Protože strukturní skupina adjunktního svazku sestává z Lieovy algebry automorfismy „Vlákna přirozeně nesou strukturu Lieovy algebry, která tvoří sousední svazek do svazku Lieových algeber M.

Příklad

Nechť G je libovolná Lieova skupina s uzavřenou podskupinou H a nechť L je Lieova algebra G. Protože G je topologická transformační skupina L přidruženou akcí G, tj. Pro každou ${displaystyle uin G}$ a ~${displaystyle lin L}$ , my máme ,

${displaystyle G imes Lightarrow L}$  definován ${displaystyle (u, l) mapsto dalpha _ {u} (l)}$

kde ${displaystyle umapsto dalpha _ {u}}$ je adjoint reprezentace G, ${displaystyle umapsto alpha _ {u}}$ je homomorfismus G do A, což je automorfická skupina G a ${displaystyle alpha _ {u}}$ je mapování ${displaystyle rmapsto uru ^ {- 1}}$ G do sebe. H je topologická transformační skupina L a samozřejmě pro každé u v H, ${displaystyle dalpha _ {u}: Lmapsto L}$ je autorfismus lži algebry.

protože H je uzavřená podskupina Lieovy skupiny G, existuje lokálně triviální hlavní svazek nad X = G / H, který má H jako strukturní skupinu. Takže existence souřadnicových funkcí ${displaystyle g_ {ij}: U_ {i} čepice U_ {j} ightarrow H}$ je zajištěno, kde ${displaystyle U_ {i}}$ je otevřený obal pro X. Pak podle věty o existenci existuje Lieův svazek ${displaystyle xi = (E, P, X, L, H)}$ s průběžným mapováním ${displaystyle Theta: xi oplus xi ightarrow xi}$ indukce na každém vláknu Lieův držák.^[3]

Vlastnosti

Diferenciální formy na M s hodnotami v ${displaystyle mathrm {ad} P}$ jsou v osobní korespondenci s horizontální, G-ekvivariantní Formy s hodnotou lži algebry na P. Ukázkovým příkladem je zakřivení ze všech spojení na P které lze považovat za 2-formu na M s hodnotami v ${displaystyle mathrm {ad} P}$.

Prostor sekcí adjunktního svazku je přirozeně (nekonečně-dimenzionální) Lie algebra. Lze ji považovat za Lieovu algebru nekonečně trojrozměrné Lieovy skupiny transformace měřidla z P které lze považovat za části svazku P ×^Ψ G kde Ψ je akce G na sobě časování.

Li ${displaystyle P = {mathcal {F}} (E)}$ je svazek rámů a vektorový svazek ${displaystyle E o M}$, pak ${displaystyle P}$ má vlákninu obecná lineární skupina ${displaystyle operatorname {GL} (r)}$ (skutečný nebo složitý, v závislosti na ${displaystyle E}$) kde ${displaystyle operatorname {rank} (E) = r}$. Tato skupina struktur má Lieovu algebru skládající se ze všech ${displaystyle r imes r}$ matice ${displaystyle operatorname {Mat} (r)}$, a ty lze považovat za endomorfismy vektorového svazku ${displaystyle E}$. Ve skutečnosti existuje přirozený izomorfismus ${displaystyle operatorname {ad} {mathcal {F}} (E) = operatorname {End} (E)}$.

Poznámky

Reference

• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Základy diferenciální geometrie, 1, Wiley Interscience, ISBN  0-471-15733-3
• Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993), Přirozené operátory v diferenciální geometrii, Springer, s. 161, 400, ISBN  978-3-662-02950-3. Tak jako PDF