Funkce s celočíselnými hodnotami - Integer-valued function

Funkce podlahy na reálných číslech. Jeho diskontinuity jsou zobrazeny s bílými obrysy disků s modrými kruhy.

V matematice, an celočíselná funkce je funkce jehož hodnoty jsou celá čísla. Jinými slovy, je to funkce, která každému členu přiřadí celé číslo doména.

Funkce podlahy a stropu jsou příklady s celočíselnou hodnotou funkce reálné proměnné, ale dál reálná čísla a obecně zapnuto (neodpojeno) topologické prostory celočíselné funkce nejsou nijak zvlášť užitečné. Jakákoli taková funkce na a propojený prostor buď má nespojitosti nebo je konstantní. Na druhou stranu, na oddělený a další zcela odpojené prostory celočíselné funkce mají zhruba stejnou důležitost jako funkce se skutečnou hodnotou mít na diskrétních prostorech.

Libovolná funkce s přírodní nebo nezáporné celočíselné hodnoty je částečný případ celočíselné funkce.

Příklady

Mezi celočíselné funkce definované v doméně všech reálných čísel patří funkce podlahy a stropu, Dirichletova funkce, znaková funkce a Funkce Heaviside step (s výjimkou případu 0).

Mezi funkce s celočíselnými hodnotami definované v doméně nezáporných reálných čísel patří celočíselná odmocnina funkce a funkce počítání prvočísel.

Algebraické vlastnosti

Libovolně soubor $X$ , celočíselné funkce tvoří a prsten s bodově operace přidání a násobení, a také algebra přes prsten $Z$ celých čísel. Protože druhý je objednaný prsten, funkce tvoří a částečně objednaný prsten:

{ Displaystyle f leq g quad iff quad forall x: f (x) leq g (x).}

Použití

Teorie grafů a algebra

Funkce s celými čísly jsou všudypřítomné teorie grafů. Podobné použití mají také v teorie geometrických skupin, kde délková funkce představuje koncept norma, a slovo metrické představuje koncept metrický.

Celočíselné polynomy jsou důležité v teorie prstenů.

Matematická logika a teorie vypočítatelnosti

v matematická logika takové pojmy jako a primitivní rekurzivní funkce a a μ-rekurzivní funkce představují celočíselné funkce několika přirozených proměnných nebo jinými slovy funkce na $N n$ . Gödelovo číslování, definováno dne dobře formulované vzorce některých formální jazyk, je funkce s přirozenou hodnotou.

Teorie vypočítatelnosti je v podstatě založen na přirozených číslech a přirozených (nebo celých) funkcích na nich.

Teorie čísel

v teorie čísel, mnoho aritmetické funkce mají celočíselnou hodnotu.

Počítačová věda

v programování mnoho funkce návratové hodnoty celočíselný typ kvůli jednoduchosti implementace.