Tetradic Palatini akce - Tetradic Palatini action

tento článek možná matoucí nebo nejasné čtenářům. Zejména Žádná indikace, v jakém kontextu je tato rovnice k ničemu, ani kdo ji vytvořil. Prosím, pomoz nám objasnit článek. O tom by mohla být diskuse diskusní stránka. (Květen 2013) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

The Akce Einstein – Hilbert pro obecná relativita byl poprvé formulován čistě z hlediska časoprostorové metriky. Vzít metriku a afinní spojení jako nezávislé proměnné v principu akce byl poprvé považován za Palatini.^[1] Říká se tomu formulace prvního řádu, protože proměnné, které se mají měnit, zahrnují do akce pouze první deriváty, a tak nekomplikují Euler-Lagrangeovy rovnice s podmínkami pocházejícími z vyšších derivátových podmínek. The tetradic Palatini akce je další formulace prvního řádu Einstein-Hilbertovy akce, pokud jde o odlišný pár nezávislých proměnných, známý jako pole rámečku a spin připojení. Použití rámcových polí a spinových spojení je nezbytné při formulaci obecně kovarianční fermionické akce (viz článek spin připojení pro další diskusi o tomto), který spojuje fermiony s gravitací, když se přidá k tetradic Palatiniho akci.

Nejen, že je potřeba spojit fermiony s gravitací a udělat tetradickou akci pro metrickou verzi nějak zásadnější, akce Palatini je také odrazovým můstkem k zajímavějším akcím, jako je samo-duální akce Palatini což lze považovat za lagrangický základ pro Ashtekarovu formulaci kanonické gravitace (viz Ashtekarovy proměnné ) nebo Holst akce což je základem verze reálných proměnných Ashtekarovy teorie. Další důležitou akcí je Plebanski akce (viz záznam na Barrett – Craneův model ) a prokázání, že za určitých podmínek poskytuje obecnou relativitu, zahrnuje prokázání, že se za těchto podmínek redukuje na akci Palatini.

Zde uvádíme definice a podrobně vypočítáme Einsteinovy ​​rovnice z Palatiniho akce. Tyto výpočty lze snadno upravit pro samo-duální akci Palatini a akci Holst.

Některé definice

Nejprve musíme zavést pojem tetrad. Tetrad je ortonormální vektorový základ, ve kterém metrika časoprostoru vypadá místně plochá,

${ displaystyle g _ { alpha beta} = e _ { alpha} ^ {I} e _ { beta} ^ {J} eta _ {IJ}}$

kde ${ displaystyle eta _ {IJ} = { text {diag}} (- 1,1,1,1)}$ je Minkowského metrika. Tetrady kódují informace o časoprostorové metrice a budou brány jako jedna z nezávislých proměnných v principu akce.

Nyní, pokud se chystáme pracovat s objekty, které mají vnitřní indexy, je třeba zavést příslušnou derivaci (kovariantní derivaci). Zavádíme libovolnou kovariantní derivaci pomocí

${ displaystyle { mathcal {D}} _ { alpha} V_ {I} = částečné _ { alpha} V_ {I} + { omega _ { alpha I}} ^ {J} V_ {J} .}$

Kde ${ displaystyle { omega _ { alpha I}} ^ {J}}$ je Lorentzovo spojení (derivát ničí Minkowského metriku ${ displaystyle eta _ {IJ}}$). Definujeme zakřivení pomocí

${ displaystyle { Omega _ { alpha beta I}} ^ {J} V_ {J} = ({ mathcal {D}} _ { alpha} { mathcal {D}} _ { beta} - { mathcal {D}} _ { beta} { mathcal {D}} _ { alpha}) V_ {I}}$

Získáváme

${ displaystyle { Omega _ { alpha beta}} ^ {IJ} = 2 částečné _ {[ alpha} { omega _ { beta]}} ^ {IJ} +2 { omega _ {[ alpha}} ^ {IK} { omega _ { beta] K}} ^ {J}}$.

Představíme kovariantní derivát, který ničí tetrad,

${ displaystyle nabla _ { alpha} e _ { beta} ^ {I} = 0}$.

Spojení je zcela určeno tetradou. Působení tohoto na zobecněný tenzor ${ displaystyle V _ { beta} ^ {I}}$ darováno

${ displaystyle nabla _ { alpha} V _ { beta} ^ {I} = částečné _ { alpha} V _ { beta} ^ {I} - gamma _ { alpha beta} ^ { gamma } V _ { gamma} ^ {I} + { omega _ { alpha J}} ^ {I} V _ { beta} ^ {J}.}$

Definujeme zakřivení ${ displaystyle {R _ { alpha beta}} ^ {IJ}}$ podle

${ displaystyle {R _ { alpha beta I}} ^ {J} V_ {J} = ( nabla _ { alpha} nabla _ { beta} - nabla _ { beta} nabla _ { alpha}) V_ {I}.}$

To snadno souvisí s obvyklým zakřivením definovaným znakem

${ displaystyle {R _ { alpha beta gamma}} ^ { delta} V _ { delta} = ( nabla _ { alpha} nabla _ { beta} - nabla _ { beta} nabla _ { alpha}) V _ { gamma}}$

nahrazením ${ displaystyle V _ { gamma} = V_ {I} e _ { gamma} ^ {I}}$ do tohoto výrazu (podrobnosti viz níže). Jeden získá,

${ displaystyle {R _ { alpha beta gamma}} ^ { delta} = e _ { gamma} ^ {I} {R _ { alpha beta I}} ^ {J} e_ {J} ^ { delta}, quad R _ { alpha beta} = {R _ { alpha gamma I}} ^ {J} e _ { beta} ^ {I} e_ {J} ^ { gamma}, R = {R_ { alpha beta}} ^ {IJ} e_ {I} ^ { alpha} e_ {J} ^ { beta}}$

pro Riemannův tenzor, Ricciho tenzor a Ricci skalární resp.

Tetradická akce Palatini

The Ricci skalární tohoto zakřivení lze vyjádřit jako ${ displaystyle e_ {I} ^ { alpha} e_ {J} ^ { beta} { Omega _ { alpha beta}} ^ {IJ}.}$ Akce může být písemná

${ displaystyle S_ {HP} = int d ^ {4} x ; e ; e_ {I} ^ { alpha} e_ {J} ^ { beta} { Omega _ { alpha beta}} ^ {IJ}}$

kde ${ displaystyle e = { sqrt {-g}}}$ ale teď ${ displaystyle g}$ je funkce pole rámce.

Einsteinovy ​​rovnice odvodíme změnou této akce s ohledem na spojení tetrad a spin jako nezávislé veličiny.

Jako zkratku k provedení výpočtu zavedeme spojení kompatibilní s tetradou, ${ displaystyle nabla _ { alpha} e _ { beta} ^ {I} = 0.}$^[2] Spojení spojené s touto kovariantní derivací je zcela určeno tetradou. Rozdíl mezi dvěma připojeními, která jsme zavedli, je pole ${ displaystyle {C _ { alpha I}} ^ {J}}$ definován

${ displaystyle {C _ { alpha I}} ^ {J} V_ {J} = left (D _ { alpha} - nabla _ { alpha} right) V_ {I}.}$

Můžeme vypočítat rozdíl mezi křivkami těchto dvou kovariančních derivací (podrobnosti viz níže),

${ displaystyle { Omega _ { alpha beta}} ^ {IJ} - {R _ { alpha beta}} ^ {IJ} = nabla _ {[ alpha} {C _ { beta]}} ^ {IJ} + {C _ {[ alpha}} ^ {IM} {C _ { beta] M}} ^ {J}}$

Důvodem pro tento přechodný výpočet je, že je snazší vypočítat odchylku opětovným vyjádřením akce z hlediska ${ displaystyle nabla}$ a ${ displaystyle {C _ { alpha}} ^ {IJ}}$ a berouce na vědomí, že variace s ohledem na ${ displaystyle { omega _ { alpha}} ^ {IJ}}$ je stejná jako variace s ohledem na ${ displaystyle {C _ { alpha}} ^ {IJ}}$ (při udržování fixované tetrady). Akce se stává

${ displaystyle S_ {HP} = int d ^ {4} x ; e ; e_ {I} ^ { alpha} e_ {J} ^ { beta} vlevo ({R _ { alpha beta} } ^ {IJ} + nabla _ {[ alpha} {C _ { beta]}} ^ {IJ} + {C _ {[ alpha}} ^ {IM} {C _ { beta] M}} ^ { J} vpravo)}$

Nejprve se lišíme s ohledem na ${ displaystyle {C _ { alpha}} ^ {IJ}}$. První termín nezávisí na ${ displaystyle {C _ { alpha}} ^ {IJ}}$ takže nepřispívá. Druhý člen je totální derivát. Poslední období přináší výnosy

${ displaystyle e_ {M} ^ {[a} e_ {N} ^ {b]} delta _ {[I} ^ {M} delta _ {J]} ^ {K} {C_ {bK}} ^ {N} = 0.}$

Níže ukážeme, že to z toho vyplývá ${ displaystyle {C _ { alpha}} ^ {IJ} = 0}$ jako prefaktor ${ displaystyle e_ {M} ^ {[a} e_ {N} ^ {b]} delta _ {[I} ^ {M} delta _ {J]} ^ {K}}$ je nedegenerovaný. To nám říká ${ displaystyle nabla}$ se shoduje s ${ displaystyle D}$ při působení na objekty pouze s vnitřními indexy. Tedy spojení ${ displaystyle D}$ je zcela určen tetradou a ${ displaystyle Omega}$ se shoduje s ${ displaystyle R}$. Pro výpočet odchylky od tetrady potřebujeme odchylku ${ displaystyle e = det e _ { alpha} ^ {I}}$. Ze standardního vzorce

${ displaystyle delta det (a) = det (a) left (a ^ {- 1} right) _ {ji} delta a_ {ij}}$

my máme ${ displaystyle delta e = ee_ {I} ^ { alpha} delta e _ { alpha} ^ {I}}$. Nebo při použití ${ displaystyle delta left (e _ { alpha} ^ {I} e_ {I} ^ { alpha} right) = 0}$, toto se stává ${ displaystyle delta e = -ee _ { alpha} ^ {I} delta e_ {I} ^ { alpha}}$. Vypočítáme druhou rovnici změnou vzhledem k tetradě,

${ displaystyle { begin {zarovnaný} delta S_ {HP} & = int d ^ {4} x ; e left ( left ( delta e_ {I} ^ { alpha} right) e_ { J} ^ { beta} { Omega _ { alpha beta}} ^ {IJ} + e_ {I} ^ { alpha} left ( delta e_ {J} ^ { beta} right) { Omega _ { alpha beta}} ^ {IJ} -e _ { gamma} ^ {K} left ( delta e_ {K} ^ { gamma} right) e_ {I} ^ { alpha} e_ {J} ^ { beta} { Omega _ { alpha beta}} ^ {IJ} vpravo) & = 2 int d ^ {4} x ; e vlevo (e_ {J} ^ { beta} { Omega _ { alpha beta}} ^ {IJ} - {1 nad 2} e_ {M} ^ { gamma} e_ {N} ^ { delta} e _ { alpha} ^ {I} { Omega _ { gamma delta}} ^ {MN} right) left ( delta e_ {I} ^ { alpha} right) end {zarovnáno}}}$

Jeden dostane po střídání ${ displaystyle { Omega _ { alpha beta}} ^ {IJ}}$ pro ${ displaystyle {R _ { alpha beta}} ^ {IJ}}$ jak je dáno předchozí pohybovou rovnicí,

${ displaystyle e_ {J} ^ { gamma} {R _ { alpha gamma}} ^ {IJ} - {1 nad 2} {R _ { gamma delta}} ^ {MN} e_ {M} ^ { gamma} e_ {N} ^ { delta} e _ { alpha} ^ {I} = 0}$

které po vynásobení ${ displaystyle e_ {I beta}}$ jen nám říká, že Einsteinův tenzor ${ displaystyle R _ { alpha beta} - { tfrac {1} {2}} Rg _ { alpha beta}}$ metriky definované tetradami zmizí. Prokázali jsme tedy, že Palatiniho variace akce v tetradické formě poskytuje obvyklé Einsteinovy ​​rovnice.

Zevšeobecnění akce Palatini

Změníme akci přidáním výrazu

${ displaystyle - {1 over 2 gamma} ee_ {I} ^ { alpha} e_ {J} ^ { beta} { Omega _ { alpha beta}} ^ {MN} [ omega] { epsilon ^ {IJ}} _ {MN}}$

Tím se upraví akce Palatini na

${ displaystyle S = int d ^ {4} x ; e ; e_ {I} ^ { alpha} e_ {J} ^ { beta} {P ^ {IJ}} _ {MN} { Omega _ { alpha beta}} ^ {MN}}$

kde

${ displaystyle {P ^ {IJ}} _ {MN} = delta _ {M} ^ {[I} delta _ {N} ^ {J]} - {1 přes 2 gamma} { epsilon ^ {IJ}} _ {MN}.}$

Tato výše uvedená akce je Holstovou akcí, kterou zavedla Holst^[3] a ${ displaystyle gamma}$ je parametr Barbero-Immirzi, jehož roli uznala společnost Barbero^[4] a Immirizi.^[5] Vlastní duální formulace odpovídá výběru ${ displaystyle gamma = -i}$.

Je snadné ukázat, že tyto akce dávají stejné rovnice. Případ odpovídající ${ displaystyle gamma = pm i}$ musí být provedeno samostatně (viz článek samo-duální akce Palatini ). Převzít ${ displaystyle gamma not = pm i}$, pak ${ displaystyle {P ^ {IJ}} _ {MN}}$ má inverzi danou od

${ displaystyle {(P ^ {- 1}) _ {IJ}} ^ {MN} = { frac { gamma ^ {2}} { gamma ^ {2} +1}} vlevo ( delta _ {I} ^ {[M} delta _ {J} ^ {N]} + { frac {1} {2 gamma}} { epsilon _ {IJ}} ^ {MN} right).}$

(všimněte si, že se to liší ${ displaystyle gamma = pm i}$). Protože tato inverze existuje, zobecnění prefaktoru ${ displaystyle e_ {M} ^ {[a} e_ {N} ^ {b]} delta _ {[I} ^ {M} delta _ {J]} ^ {K}}$ bude také nedegenerovaný a jako takové jsou ekvivalentní podmínky získány z variací s ohledem na spojení. Znovu získáváme ${ displaystyle {C _ { alpha}} ^ {IJ} = 0}$. Zatímco variace s ohledem na tetrad dává Einsteinovu rovnici plus další člen. Tento zvláštní člen však zmizí symetrií Riemannova tenzoru.

Podrobnosti výpočtu

Souvisí obvyklé zakřivení se zakřivením smíšeného indexu

Obvyklý Riemannův zakřivovač ${ displaystyle {R _ { alpha beta gamma}} ^ { delta}}$ je definováno

${ displaystyle {R _ { alpha beta gamma}} ^ { delta} V _ { delta} = left ( nabla _ { alpha} nabla _ { beta} - nabla _ { beta} nabla _ { alpha} right) V _ { gamma}.}$

Abychom našli vztah k tenzoru zakřivení smíšeného indexu, dosadíme jej ${ displaystyle V _ { gamma} = e _ { gamma} ^ {I} V_ {I}}$

${ displaystyle { begin {aligned} {R _ { alpha beta gamma}} ^ { delta} V _ { delta} & = left ( nabla _ { alpha} nabla _ { beta} - nabla _ { beta} nabla _ { alpha} vpravo) V _ { gamma} & = left ( nabla _ { alpha} nabla _ { beta} - nabla _ { beta } nabla _ { alpha} right) left (e _ { gamma} ^ {I} V_ {I} right) & = e _ { gamma} ^ {I} left ( nabla _ { alpha} nabla _ { beta} - nabla _ { beta} nabla _ { alpha} right) V_ {I} & = e _ { gamma} ^ {I} {R _ { alpha beta I}} ^ {J} e_ {J} ^ { delta} V _ { delta} end {zarovnáno}}}$

kde jsme použili ${ displaystyle nabla _ { alpha} e _ { beta} ^ {I} = 0}$. Protože to platí pro všechny ${ displaystyle V _ { delta}}$ získáváme

${ displaystyle {R _ { alpha beta gamma}} ^ { delta} = e _ { gamma} ^ {I} {R _ { alpha beta I}} ^ {J} e_ {J} ^ { delta}}$.

Pomocí tohoto výrazu zjistíme

${ displaystyle R _ { alpha beta} = {R _ { alpha gamma beta}} ^ { gamma} = {R _ { alpha gamma I}} ^ {J} e _ { beta} ^ {I } e_ {J} ^ { gamma}.}$

Uzavírání smluv ${ displaystyle alpha}$ a ${ displaystyle beta}$ umožňuje nám napsat Ricciho skalár

${ displaystyle R = {R _ { alpha beta}} ^ {IJ} e_ {I} ^ { alpha} e_ {J} ^ { beta}.}$

Rozdíl mezi zakřivením

Derivát definovaný ${ displaystyle D _ { alpha} V_ {I}}$ ví pouze, jak jednat podle interních indexů. Zjistili jsme však, že je vhodné uvažovat rozšíření torzních indexů bez zkroucení. Všechny výpočty budou nezávislé na této volbě rozšíření. Přihlašování ${ displaystyle { mathcal {D}} _ {a}}$ dvakrát ${ displaystyle V_ {I}}$,

${ displaystyle { mathcal {D}} _ { alpha} { mathcal {D}} _ { beta} V_ {I} = { mathcal {D}} _ { alpha} ( nabla _ { beta} V_ {I} + {C _ { beta I}} ^ {J} V_ {J}) = nabla _ { alpha} left ( nabla _ { beta} V_ {I} + {C_ { beta I}} ^ {J} V_ {J} vpravo) + {C _ { alpha I}} ^ {K} vlevo ( nabla _ {b} V_ {K} + {C _ { beta K} } ^ {J} V_ {J} vpravo) + { overline { Gamma}} _ { alpha beta} ^ { gamma} vlevo ( nabla _ { gamma} V_ {I} + {C_ { gamma I}} ^ {J} V_ {J} vpravo)}$

kde ${ displaystyle { overline { Gamma}} _ { alpha beta} ^ { gamma}}$ není důležité, stačí si uvědomit, že je symetrický ${ displaystyle alpha}$ a ${ displaystyle beta}$ protože je bez kroucení. Pak

${ displaystyle { begin {aligned} { Omega _ { alpha beta I}} ^ {J} V_ {J} & = left ({ mathcal {D}} _ { alpha} { mathcal { D}} _ { beta} - { mathcal {D}} _ { beta} { mathcal {D}} _ { alpha} right) V_ {I} & = left ( nabla _ { alpha} nabla _ { beta} - nabla _ { beta} nabla _ { alpha} vpravo) V_ {I} + nabla _ { alpha} vlevo ({C _ { beta I }} ^ {J} V_ {J} vpravo) - nabla _ { beta} vlevo ({C _ { alpha I}} ^ {J} V_ {J} vpravo) + {C _ { alfa I }} ^ {K} nabla _ { beta} V_ {K} - {C _ { beta I}} ^ {K} nabla _ { alpha} V_ {K} + {C _ { alfa I}} ^ {K} {C _ { beta K}} ^ {J} V_ {J} - {C _ { beta I}} ^ {K} {C _ { alfa K}} ^ {J} V_ {J} & = {R _ { alpha beta I}} ^ {J} V_ {J} + left ( nabla _ { alpha} {C _ { beta I}} ^ {J} - nabla _ { beta} {C _ { alpha I}} ^ {J} + {C _ { alpha I}} ^ {K} {C _ { beta K}} ^ {J} - {C _ { beta _ {I}} } ^ {K} {C _ { alpha K}} ^ {J} vpravo) V_ {J} end {zarovnáno}}}$

Proto:

${ displaystyle { Omega _ {ab}} ^ {IJ} - {R_ {ab}} ^ {IJ} = 2 nabla _ {[a} {C_ {b]}} ^ {IJ} +2 {C_ {[a}} ^ {IK} {C_ {b] K}} ^ {J}}$

Změnit akci s ohledem na pole ${ displaystyle {C _ { alpha}} ^ {IJ}}$

Čekali bychom ${ displaystyle nabla _ {a}}$ také zničit Minkowského metriku ${ displaystyle eta _ {IJ} = e _ { beta I} e_ {J} ^ { beta}}$. Pokud také předpokládáme, že kovarianční derivace ${ displaystyle { mathcal {D}} _ { alpha}}$ ničí metriku Minkowski (pak se říká, že neobsahuje torze), kterou máme,

${ displaystyle 0 = ({ mathcal {D}} _ { alpha} - nabla _ { alpha}) eta _ {IJ} = {C _ { alpha I}} ^ {K} eta _ { KJ} + {C_ {aJ}} ^ {K} eta _ {IK} = C _ { alpha IJ} + C _ { alpha JI}.}$

Naznačující

${ displaystyle C _ { alpha IJ} = C _ { alpha [IJ]}.}$

Od posledního termínu akce máme různé varianty s ohledem na ${ displaystyle {C _ { alpha I}} ^ {J},}$

${ displaystyle { begin {sladěno} delta S_ {EH} & = delta int d ^ {4} x ; e ; e_ {M} ^ { gamma} e_ {N} ^ { beta} {C _ {[ gamma}} ^ {MK} {C _ { beta] K}} ^ {N} & = delta int d ^ {4} x ; e ; e_ {M} ^ { [ gamma} e_ {N} ^ { beta]} {C _ { gamma}} ^ {MK} {C _ { beta K}} ^ {N} & = delta int d ^ {4} x ; e ; e ^ {M [ gamma} e_ {N} ^ { beta]} {C _ { gamma M}} ^ {K} {C _ { beta K}} ^ {N} & = int d ^ {4} x ; ee ^ {M [ gamma} e_ {N} ^ { beta]} left ( delta _ { gamma} ^ { alpha} delta _ {M } ^ {I} delta _ {J} ^ {K} {C _ { beta K}} ^ {N} + {C _ { gamma M}} ^ {K} delta _ { beta} ^ { alpha} delta _ {K} ^ {I} delta _ {J} ^ {N} right) delta {C _ { alpha I}} ^ {J} & = int d ^ {4} x ; e left (e ^ {I [ alpha} e_ {N} ^ { beta]} {C _ { beta J}} ^ {N} + e ^ {M [ beta} e_ {J} ^ { alpha]} {C _ { beta M}} ^ {I} right) delta {C _ { alpha I}} ^ {J} end {zarovnáno}}}$

nebo

${ displaystyle e_ {I} ^ {[ alpha} e_ {K} ^ { beta]} {C _ { beta J}} ^ {K} + e ^ {K [ beta} e_ {J} ^ { alpha]} C _ { beta KI} = 0}$

nebo

${ displaystyle {C _ { beta I}} ^ {K} e_ {K} ^ {[ alpha} e_ {J} ^ { beta]} + {C _ { beta J}} ^ {K} e_ { I} ^ {[ alpha} e_ {K} ^ { beta]} = 0.}$

kde jsme použili ${ displaystyle C _ { beta KI} = - C _ { beta IK}}$. To lze psát kompaktněji jako

${ displaystyle e_ {M} ^ {[ alpha} e_ {N} ^ { beta]} delta _ {[I} ^ {M} delta _ {J]} ^ {K} {C _ { beta K}} ^ {N} = 0.}$

Zmizení ${ displaystyle {C _ { alpha}} ^ {IJ}}$

Ukážeme následující odkaz „Geometrodynamika vs. dynamika připojení“^[6] že

${ displaystyle {C _ { beta I}} ^ {K} e_ {K} ^ {[ alpha} e_ {J} ^ { beta]} + {C _ { beta J}} ^ {K} e_ { I} ^ {[ alpha} e_ {K} ^ { beta]} = 0 quad Rov. 1}$

naznačuje ${ displaystyle {C _ { alpha I}} ^ {J} = 0.}$ Nejprve definujeme pole prostoročasového tenzoru podle

${ displaystyle S _ { alpha beta gamma}: = C _ { alpha IJ} e _ { beta} ^ {I} e _ { gamma} ^ {J}.}$

Pak podmínka ${ displaystyle C _ { alpha IJ} = C _ { alpha [IJ]}}$ je ekvivalentní k ${ displaystyle S _ { alpha beta gamma} = S _ { alpha [ beta gamma]}}$. Smluvní ekv. 1 s ${ displaystyle e _ { alpha} ^ {I} e _ { gamma} ^ {J}}$ jeden to vypočítá

${ displaystyle {C _ { beta J}} ^ {I} e _ { gamma} ^ {J} e_ {I} ^ { beta} = 0.}$

Tak jako ${ displaystyle {S _ { alpha beta}} ^ { gamma} = {C _ { alpha I}} ^ {J} e _ { beta} ^ {I} e_ {J} ^ { gamma},}$ my máme ${ displaystyle {S _ { beta gamma}} ^ { beta} = 0.}$ Píšeme to jako

${ displaystyle ({C _ { beta I}} ^ {J} e_ {J} ^ { beta}) e _ { gamma} ^ {I} = 0,}$

a jako ${ displaystyle e _ { alpha} ^ {I}}$ jsou invertibilní z toho vyplývá

${ displaystyle {C _ { beta I}} ^ {J} e_ {J} ^ { beta} = 0.}$

Tedy podmínky ${ displaystyle {C _ { beta I}} ^ {K} e_ {K} ^ { beta} e_ {J} ^ { alpha},}$ a ${ displaystyle {C _ { beta J}} ^ {K} e_ {I} ^ { alpha} e_ {K} ^ { beta}}$ ekv. 1 zmizí i ekv. 1 redukuje na

${ displaystyle {C _ { beta I}} ^ {K} e_ {K} ^ { alpha} e_ {J} ^ { beta} - {C _ { beta J}} ^ {K} e_ {I} ^ { beta} e_ {K} ^ { alpha} = 0.}$

Pokud to nyní uzavřeme s ${ displaystyle e _ { gamma} ^ {I} e _ { delta} ^ {J}}$, dostaneme

${ displaystyle { begin {aligned} 0 & = left ({C _ { beta I}} ^ {K} e_ {K} ^ { alpha} e_ {J} ^ { beta} - {C _ { beta J}} ^ {K} e_ {I} ^ { beta} e_ {K} ^ { alpha} right) e _ { gamma} ^ {I} e _ { delta} ^ {J} & = {C _ { beta I}} ^ {K} e_ {K} ^ { alpha} e _ { gamma} ^ {I} delta _ { delta} ^ { beta} - {C _ { beta J} } ^ {K} delta _ { gamma} ^ { beta} e_ {K} ^ { alpha} e _ { delta} ^ {J} & = {C _ { delta I}} ^ {K } e _ { gamma} ^ {I} e_ {K} ^ { alpha} - {C _ { gamma J}} ^ {K} e _ { delta} ^ {J} e_ {K} ^ { alpha} end {zarovnáno}}}$

nebo

${ displaystyle {S _ { gamma delta}} ^ { alpha} = {S _ {( gamma delta)}} ^ { alpha}.}$

Protože máme ${ displaystyle S _ { alpha beta gamma} = S _ { alpha [ beta gamma]}}$ a ${ displaystyle S _ { alpha beta gamma} = S _ {( alpha beta) gamma}}$, můžeme postupně vyměňovat první dva a poté poslední dva indexy s příslušnou změnou znaménka pokaždé, abychom získali,

${ displaystyle S _ { alpha beta gamma} = S _ { beta alpha gamma} = - S _ { beta gamma alpha} = - S _ { gamma beta alpha} = S _ { gamma alpha beta} = S _ { alpha gamma beta} = - S _ { alpha beta gamma}}$

Naznačující

${ displaystyle S _ { alpha beta gamma} = 0,}$

nebo

${ displaystyle C _ { alpha IJ} e _ { beta} ^ {I} e _ { gamma} ^ {J} = 0,}$

a protože ${ displaystyle e _ { alpha} ^ {I}}$ jsou invertibilní, chápeme ${ displaystyle C _ { alpha IJ} = 0}$. To je požadovaný výsledek.

Viz také

• Lanczosův tenzor
• Weyl tenzor

Reference