Tenzor energie Belinfante – Rosenfeldův stres - Belinfante–Rosenfeld stress–energy tensor

v matematická fyzika, Belinfante –Rosenfeld tenzor je modifikace tenzoru energie a hybnosti, která je konstruována z kanonického tenzoru energie a hybnosti a proudu rotace tak, aby byla symetrická, ale stále zachována.

V klasický nebo kvantová teorie místního pole, generátor Lorentzovy transformace lze psát jako integrál

${ displaystyle M _ { mu nu} = int mathrm {d} ^ {3} x , {M ^ {0}} _ { mu nu}}$

místního proudu

${ displaystyle {M ^ { mu}} _ { nu lambda} = (x _ { nu} {T ^ { mu}} _ { lambda} -x _ { lambda} {T ^ { mu }} _ { nu}) + {S ^ { mu}} _ { nu lambda}.}$

Tady ${ displaystyle {T ^ { mu}} _ { lambda}}$ je kanonický Noether tenzor energetické hybnosti, a ${ displaystyle {S ^ { mu}} _ { nu lambda}}$ je příspěvek vnitřní (spin) moment hybnosti. Místní zachování momentu hybnosti

${ displaystyle částečné _ { mu} {M ^ { mu}} _ { nu lambda} = 0 ,}$

to vyžaduje

${ displaystyle částečné _ { mu} {S ^ { mu}} _ { nu lambda} = T _ { lambda nu} -T _ { nu lambda}.}$

Tedy zdroj spinový proud implikuje nesymetrický kanonický tenzor energie-hybnosti.

Tenzor Belinfante – Rosenfeld^[1][2] je modifikace tenzoru energetické hybnosti

${ displaystyle T_ {B} ^ { mu nu} = T ^ { mu nu} + { frac {1} {2}} částečný _ { lambda} (S ^ { mu nu lambda} + S ^ { nu mu lambda} -S ^ { lambda nu mu})}$

který je konstruován z tenzoru hybnosti kanonické energie a spinového proudu ${ displaystyle {S ^ { mu}} _ { nu lambda}}$ aby byly symetrické, ale stále konzervované.

To ukazuje integrace po částech

${ displaystyle M ^ { nu lambda} = int (x ^ { nu} T_ {B} ^ {0 lambda} -x ^ { lambda} T_ {B} ^ {0 nu}) , mathrm {d} ^ {3} x,}$

Fyzická interpretace tenzoru Belinfante tedy spočívá v tom, že zahrnuje „vázanou hybnost“ spojenou s přechody vnitřní momentové hybnosti. Jinými slovy, přidaný termín je obdobou ${ displaystyle { mathbf {J}} _ { text {bound}} = nabla times mathbf {M}}$ "vázaný proud "spojený s hustotou magnetizace ${ displaystyle { mathbf {M}}}$.

K výrobě je nutná zvláštní kombinace komponent spin-current ${ displaystyle T_ {B} ^ { mu nu}}$ symetrické a přesto stále konzervované se zdá být naprosto ad hoc, ale Rosenfeld i Belinfante ukázali, že upravený tenzor je přesně symetrický Hilbertův tenzor energie a hybnosti, který působí jako zdroj gravitace v obecná relativita. Stejně jako je to součet vázaných a volných proudů, které působí jako zdroj magnetického pole, je to součet vázané a volné energetické hybnosti, která působí jako zdroj gravitace.

Belinfante – Rosenfeld a Hilbertův tenzor energetické hybnosti

Hilbertův tenzor energie a hybnosti ${ displaystyle T _ { mu nu}}$ je definována variací funkce akce ${ displaystyle S _ { rm {eff}}}$ s ohledem na metriku jako

${ displaystyle delta S _ { rm {eff}} = { frac {1} {2}} int d ^ {n} x { sqrt {g}} , T _ { mu nu} , delta g ^ { mu nu},}$

nebo ekvivalentně jako

${ displaystyle delta S _ { rm {eff}} = - { frac {1} {2}} int d ^ {n} x { sqrt {g}} , T ^ { mu nu} , delta g _ { mu nu}.}$

(Znaménko mínus ve druhé rovnici vzniká, protože ${ displaystyle delta g ^ { mu nu} = - g ^ { mu sigma} delta g _ { sigma tau} g ^ { tau nu}}$ protože ${ displaystyle delta (g ^ { mu sigma} g _ { sigma tau}) = 0.}$)

Můžeme také definovat tenzor energie a hybnosti ${ displaystyle T_ {cb}}$ změnou Minkowski-orthonormal vierbein ${ displaystyle { bf {e}} _ {a}}$ dostat

${ displaystyle delta S _ { rm {eff}} = int d ^ {n} x { sqrt {g}} left ({ frac { delta S} { delta e_ {a} ^ { mu}}} vpravo) delta e_ {a} ^ { mu} equiv int d ^ {n} x { sqrt {g}} vlevo (T_ {cb} eta ^ {ca} e_ { mu} ^ {* b} right) delta e_ {a} ^ { mu}.}$

Tady ${ displaystyle eta _ {ab} = { bf {e}} _ {a} cdot { bf {e}} _ {b}}$ je Minkowského metrika pro ortonormální vierbeinův rámec a ${ displaystyle { bf {e}} ^ {* b}}$ jsou covektory duální vůči vierbeins.

S variaci vierbein neexistuje žádný bezprostředně zřejmý důvod ${ displaystyle T_ {cb}}$ být symetrický. Akce je však funkční ${ displaystyle S _ { rm {eff}} ({ bf {e}} _ {a})}$ by měl být neměnný pod nekonečně lokální Lorentzovou transformací ${ displaystyle delta e_ {a} ^ { mu} = e_ {b} ^ { mu} { theta ^ {b}} _ {a} (x)}$, ${ displaystyle theta ^ {ab} = - theta ^ {ba}}$a tak

${ displaystyle delta S _ { rm {eff}} = int d ^ {n} x { sqrt {g}} , T_ {cb} , eta ^ {ca} e _ { mu} ^ { * b} e_ {d} ^ { mu} { theta ^ {d}} _ {a} = int d ^ {n} x { sqrt {g}} , T_ {cb} , eta ^ {ca} { theta ^ {b}} _ {a} = int d ^ {n} x { sqrt {g}} , T_ {cb} , theta ^ {bc} (x), }$

by měla být nula ${ displaystyle theta ^ {bc} (x)}$ je libovolná polohově závislá šikmá symetrická matice, vidíme, že lokální Lorentzova a rotační invariance jak vyžaduje, tak naznačuje, že ${ displaystyle T_ {bc} = T_ {cb}}$.

Jakmile to víme ${ displaystyle T_ {ab}}$ je symetrický, je snadné to ukázat ${ displaystyle T_ {ab} = e_ {a} ^ { mu} e_ {b} ^ { nu} T _ { mu nu}}$, a tak je tenzor energie-hybnosti vierbeinovy ​​variace ekvivalentní Hilbertově tenzoru metrické variace.

Nyní můžeme pochopit původ Belinfante-Rosefeldovy modifikace Noetherova kanonického tenzoru hybnosti. Udělejte akci ${ displaystyle S _ { rm {eff}} ({ bf {e}} _ {a}, { omega} _ { mu} ^ {ab})}$ kde ${ displaystyle { omega} _ { mu} ^ {ab}}$ je spin připojení to je určeno ${ displaystyle { bf {e}} _ {a}}$ prostřednictvím podmínky, že jsou metrické kompatibilní a bez torze. Spinový proud ${ displaystyle {S ^ { mu}} _ {ab}}$ je pak definována variací

${ displaystyle {S ^ { mu}} _ {ab} = { frac {2} { sqrt {g}}} vlevo. vlevo ({ frac { delta S _ { rm {eff}} } { delta omega _ { mu} ^ {ab}}} vpravo) vpravo | _ {{ bf {e}} _ {a}}}$

svislá čára označující, že ${ displaystyle { bf {e}} _ {a}}$ jsou během variace fixovány. „Kanonický“ tenzor hybnosti energie Noether ${ displaystyle T_ {cb} ^ {(0)}}$ je část, která vyvstává z variace, kde udržujeme pevné připojení spin:

${ displaystyle T_ {cb} ^ {(0)} eta ^ {ca} e _ { mu} ^ {* b} = { frac {1} { sqrt {g}}} vlevo. vlevo ( { frac { delta S _ { rm {eff}}} { delta e_ {a} ^ { mu}}} right) right | _ { omega _ { mu} ^ {ab}}. }$

Pak

${ displaystyle delta S _ { rm {eff}} = int d ^ {n} x { sqrt {g}} left {T_ {cb} ^ {(0)} eta ^ {ca} e_ { mu} ^ {* b} delta e_ {a} ^ { mu} + { frac {1} {2}} {S ^ { mu}} _ {ab} delta { omega ^ { ab}} _ { mu} vpravo }.}$

Nyní pro torzní spojení a připojení metrické kompatibility to musíme udělat

${ displaystyle ( delta omega _ {ij mu}) e_ {k} ^ { mu} = - { frac {1} {2}} vlevo {( nabla _ {j} delta e_ {ik} - nabla _ {k} delta e_ {ij}) + ( nabla _ {k} delta e_ {ji} - nabla _ {i} delta e_ {jk}) - ( nabla _ {i} delta e_ {kj} - nabla _ {j} delta e_ {ki}) right },}$

kde používáme notaci

${ displaystyle delta e_ {ij} = { bf {e}} _ {i} cdot delta { bf {e}} _ {j} = eta _ {ib} [e _ { alpha} ^ {* b} delta e_ {j} ^ { alpha}].}$

Pomocí variace spinového připojení a po integraci po částech najdeme

${ displaystyle delta S _ { rm {eff}} = int d ^ {n} x { sqrt {g}} left {T_ {cb} ^ {(0)} + { frac {1} {2}} nabla _ {a} ({S_ {bc}} ^ {a} + {S_ {cb}} ^ {a} - {S ^ {a}} _ {bc}) right } eta ^ {cd} e _ { mu} ^ {* b} , delta e_ {d} ^ { mu}.}$

Vidíme tedy, že dochází ke korekcím kanonického Noetherova tenzoru, které se objevují v tenzoru Belinfante – Rosenfeld, protože pokud chceme zachovat lokální Lorentzovu invariantu, musíme současně měnit vierbeinské a spinové spojení.

Jako příklad zvažte klasickou lagrangeštinu pro pole Dirac

${ displaystyle int d ^ {d} x { sqrt {g}} vlevo {{ frac {i} {2}} vlevo ({ bar { Psi}} gamma ^ {a} e_ {a} ^ { mu} nabla _ { mu} Psi - ( nabla _ { mu} { bar { Psi}}) e_ {a} ^ { mu} gamma _ {a} Psi right) + m { bar { Psi}} Psi right }.}$

Tady jsou spinorové kovariantní deriváty

${ displaystyle nabla _ { mu} Psi = vlevo ({ frac { částečné} { částečné x ^ { mu}}} + { frac {1} {8}} [ gamma _ { b}, gamma _ {c}] { omega ^ {bc}} _ { mu} vpravo) Psi,}$

${ displaystyle nabla _ { mu} { bar { Psi}} = vlevo ({ frac { částečné} { částečné x ^ { mu}}} - { frac {1} {8} } [ gamma _ {b}, gamma _ {c}] { omega ^ {bc}} _ { mu} right) { bar { Psi}}.}$

Proto dostáváme

${ displaystyle T_ {bc} ^ {(0)} = { frac {i} {2}} vlevo ({ bar { Psi}} gamma _ {c} ( nabla _ {b} Psi ) - ( nabla _ {b} { bar { Psi}}) gamma _ {c} Psi right),}$

${ displaystyle {S ^ {a}} _ {bc} = { frac {i} {8}} { bar { Psi}} { gamma ^ {a}, [ gamma _ {b}, gamma _ {c}] } Psi.}$

Neexistuje žádný příspěvek od ${ displaystyle { sqrt {g}}}$ pokud použijeme pohybové rovnice, tj. jsme na skořápce.

Nyní

${ displaystyle { gamma _ {a}, [ gamma _ {b}, gamma _ {c}] } = 4 gamma _ {a} gamma _ {b} gamma _ {c}, }$

-li ${ displaystyle a, bc}$ jsou odlišné a jinak nulové. V důsledku toho ${ displaystyle S_ {abc}}$ je naprosto antisymetrický. Nyní pomocí tohoto výsledku a opět pohybových rovnic to zjistíme

${ displaystyle nabla _ {a} {S ^ {a}} _ {bc} = T_ {cb} ^ {(0)} - T_ {bc} ^ {(0)},}$

Tak se stává tenzor Belinfante-Rosenfeld

${ displaystyle T_ {bc} = T_ {bc} ^ {(0)} + { frac {1} {2}} (T_ {cb} ^ {(0)} - T_ {bc} ^ {(0) }) = { frac {1} {2}} (T_ {bc} ^ {(0)} + T_ {cb} ^ {(0)}).}$

Tenzor Belinfante-Rosenfeld pro pole Dirac je proto považován za symetrizovaný kanonický tenzor energie-hybnosti.

Weinbergova definice

Weinberg definuje tenzor Belinfante jako^[3]

${ displaystyle T_ {B} ^ { mu nu} = T ^ { mu nu} - { frac {i} {2}} částečný _ { kappa} vlevo [{ frac { částečný { mathcal {L}}} { částečné ( částečné _ { kappa} Psi ^ { ell})}}} ({ mathcal {J}} ^ { mu nu}) _ {, , m} ^ { ell} Psi ^ {m} - { frac { částečné { mathcal {L}}} { částečné ( částečné _ { mu} Psi ^ { ell})}} ({ mathcal {J}} ^ { kappa nu}) _ {, , m} ^ { ell} Psi ^ {m} - { frac { částečné { mathcal {L}}} { částečné ( částečné _ { nu} Psi ^ { ell})}} ({ mathcal {J}} ^ { kappa mu}) _ {, , m} ^ { ell} Psi ^ {m} vpravo]}$

kde ${ displaystyle { mathcal {L}}}$ je Lagrangeova hustota, množina {Ψ} jsou pole, která se objevují v Lagrangeově, tenzor hybnosti energie jiné než Belinfante je definován

${ displaystyle T ^ { mu nu} = eta ^ { mu nu} { mathcal {L}} - { frac { částečné { mathcal {L}}} { částečné ( částečné _ { mu} Psi ^ { ell})}} částečné ^ { nu} Psi ^ { ell}}$

a ${ displaystyle { mathcal {J ^ { mu nu}}}}$ jsou množinou matic vyhovujících algebře homogenní Skupina Lorentz^[4]

${ displaystyle [{ mathcal {J}} ^ { mu nu}, { mathcal {J}} ^ { rho sigma}] = i { mathcal {J}} ^ { rho nu} eta ^ { mu sigma} -i { mathcal {J}} ^ { sigma nu} eta ^ { mu rho} -i { mathcal {J}} ^ { mu sigma} eta ^ { nu rho} + i { mathcal {J}} ^ { mu rho} eta ^ { nu sigma}}$.

Reference