Jacobisův vzorec - Jacobis formula - Wikipedia

v maticový počet, Jacobiho vzorec vyjadřuje derivát z určující matice A z hlediska doplnit z A a derivát A.^[1]

Li A je rozlišitelná mapa od reálných čísel do n × n matice,

${ displaystyle { frac {d} {dt}} det A (t) = operatorname {tr} left ( operatorname {adj} (A (t)) , { frac {dA (t)} {dt}} vpravo) ~}$

kde tr (X) je stopa matice X.

Jako zvláštní případ

${ displaystyle { částečné det (A) nad částečné A_ {ij}} = operatorname {adj} ^ { rm {T}} (A) _ {ij}.}$

Ekvivalentně, pokud dA znamená rozdíl z A, obecný vzorec je

${ displaystyle d det (A) = operatorname {tr} ( operatorname {adj} (A) , dA).}$

Je pojmenována po matematikovi Carl Gustav Jacob Jacobi.

Derivace

Prostřednictvím maticového výpočtu

Nejprve dokážeme předběžné lemma:

Lemma. Nechat A a B být pár čtvercových matic stejné dimenze n. Pak

${ displaystyle sum _ {i} sum _ {j} A_ {ij} B_ {ij} = operatorname {tr} (A ^ { rm {T}} B).}$

Důkaz. Produkt AB dvojice matic má komponenty

${ displaystyle (AB) _ {jk} = součet _ {i} A_ {ji} B_ {ik}.}$

Výměna matice A podle jeho přemístit A^T je ekvivalentní permutaci indexů jeho komponent:

${ displaystyle (A ^ { rm {T}} B) _ {jk} = součet _ {i} A_ {ij} B_ {ik}.}$

Výsledek následuje po stopách obou stran:

${ displaystyle operatorname {tr} (A ^ { rm {T}} B) = sum _ {j} (A ^ { rm {T}} B) _ {jj} = sum _ {j} sum _ {i} A_ {ij} B_ {ij} = sum _ {i} sum _ {j} A_ {ij} B_ {ij}. square}$

Teorém. (Jacobiho vzorec) Pro jakoukoli diferencovatelnou mapu A od reálných čísel do n × n matice,

${ displaystyle d det (A) = operatorname {tr} ( operatorname {adj} (A) , dA).}$

Důkaz. Laplaceův vzorec pro determinant matice A lze uvést jako

${ displaystyle det (A) = součet _ {j} A_ {ij} operatorname {adj} ^ { rm {T}} (A) _ {ij}.}$

Všimněte si, že součet se provádí přes nějaký libovolný řádek i matice.

Determinant A lze považovat za funkci prvků prvku A:

${ displaystyle det (A) = F , (A_ {11}, A_ {12}, ldots, A_ {21}, A_ {22}, ldots, A_ {nn})}$

tak, že řetězové pravidlo, jeho rozdíl je

${ displaystyle d det (A) = součet _ {i} součet _ {j} { částečný F přes částečný A_ {ij}} , dA_ {ij}.}$

Tento součet se provádí přes všechny n×n prvky matice.

Najít ∂F/∂A_ij vezměte v úvahu, že na pravé straně Laplaceova vzorce je index i lze zvolit dle libosti. (Za účelem optimalizace výpočtů: Jakákoli jiná volba by nakonec přinesla stejný výsledek, ale mohlo by to být mnohem těžší). Zejména jej lze zvolit tak, aby odpovídal prvnímu indexu ∂ / ∂A_ij:

${ displaystyle { částečné det (A) nad částečné A_ {ij}} = { částečné součet _ {k} A_ {ik} operatorname {adj} ^ { rm {T}} (A) _ {ik} over částečné A_ {ij}} = součet _ {k} { částečné (A_ {ik} operatorname {adj} ^ { rm {T}} (A) _ {ik}) přes částečné A_ {ij}}}$

Pravidlem produktu tedy

${ displaystyle { částečné det (A) nad částečné A_ {ij}} = součet _ {k} { částečné A_ {ik} nad částečné A_ {ij}} operatorname {adj} ^ { rm {T}} (A) _ {ik} + sum _ {k} A_ {ik} { částečné operatorname {adj} ^ { rm {T}} (A) _ {ik} přes částečné A_ {ij}}.}$

Nyní, pokud je prvek matice A_ij a a kofaktor adj^T(A)_ik prvku A_ik leží na stejném řádku (nebo sloupci), pak kofaktor nebude funkcí A_ij, protože kofaktor A_ik je vyjádřeno pomocí prvků, které nejsou ve vlastním řádku (ani sloupci). Tím pádem,

${ displaystyle { částečné operatorname {adj} ^ { rm {T}} (A) _ {ik} nad částečné A_ {ij}} = 0,}$

tak

${ displaystyle { částečné det (A) nad částečné A_ {ij}} = součet _ {k} operatorname {adj} ^ { rm {T}} (A) _ {ik} { částečné A_ {ik} nad částečné A_ {ij}}.}$

Všechny prvky A jsou na sobě nezávislé, tj.

${ displaystyle { částečné A_ {ik} nad částečné A_ {ij}} = delta _ {jk},}$

kde δ je Kroneckerova delta, tak

${ displaystyle { částečné det (A) nad částečné A_ {ij}} = součet _ {k} operatorname {adj} ^ { rm {T}} (A) _ {ik} delta _ {jk} = operatorname {adj} ^ { rm {T}} (A) _ {ij}.}$

Proto,

${ displaystyle d ( det (A)) = součet _ {i} součet _ {j} operatorname {adj} ^ { rm {T}} (A) _ {ij} , dA_ {ij} ,}$

a použití výnosů Lemma

${ displaystyle d ( det (A)) = operatorname {tr} ( operatorname {adj} (A) , dA). čtverec}$

Pomocí pravidla řetězu

Lemma 1. ${ displaystyle det '(I) = mathrm {tr}}$, kde ${ displaystyle det '}$ je rozdíl ${ displaystyle det}$.

Tato rovnice znamená, že rozdíl ${ displaystyle det}$, hodnoceno v matici identity, se rovná stopě. Diferenciál ${ displaystyle det '(I)}$ je lineární operátor, který mapuje n × n matice na reálné číslo.

Důkaz. Použití definice a směrový derivát společně s jednou z jejích základních vlastností pro diferencovatelné funkce máme

${ displaystyle det '(I) (T) = nabla _ {T} det (I) = lim _ { varepsilon až 0} { frac { det (I + varepsilon T) - det Já} { varepsilon}}}$

${ displaystyle det (I + varepsilon T)}$ je polynom v ${ displaystyle varepsilon}$ řádu n. Úzce souvisí s charakteristický polynom z ${ displaystyle T}$. Konstantní termín (${ displaystyle varepsilon = 0}$) je 1, zatímco lineární člen v ${ displaystyle varepsilon}$ je ${ displaystyle mathrm {tr} T}$.

Lemma 2. Pro invertibilní matici A, my máme: ${ displaystyle det '(A) (T) = det A ; mathrm {tr} (A ^ {- 1} T)}$.

Důkaz. Zvažte následující funkci X:

${ displaystyle det X = det (AA ^ {- 1} X) = ( det A) det (A ^ {- 1} X)}$

Vypočítáme rozdíl ${ displaystyle det X}$ a vyhodnotit to na ${ displaystyle X = A}$ pomocí Lemmy 1, výše uvedené rovnice a pravidla řetězu:

${ displaystyle det '(A) (T) = det A det' (I) (A ^ {- 1} T) = det A mathrm {tr} (A ^ {- 1} T )}$

Teorém. (Jacobiho vzorec) ${ displaystyle { frac {d} {dt}} det A = mathrm {tr} left ( mathrm {adj} A { frac {dA} {dt}} right)}$

Důkaz. Li ${ displaystyle A}$ je invertibilní, Lemma 2, s ${ displaystyle T = dA / dt}$

${ displaystyle { frac {d} {dt}} det A = det A ; mathrm {tr} left (A ^ {- 1} { frac {dA} {dt}} right) = mathrm {tr} left ( mathrm {adj} A ; { frac {dA} {dt}} right)}$

pomocí rovnice vztahující se k doplnit z ${ displaystyle A}$ na ${ displaystyle A ^ {- 1}}$. Nyní vzorec platí pro všechny matice, protože sada invertibilních lineárních matic je v prostoru matic hustá.

Důsledek

Následuje užitečný vztah spojující stopa k determinantu přidruženého exponenciální matice:

Toto tvrzení je jasné pro diagonální matice a následuje důkaz obecného tvrzení.

Pro všechny invertibilní matice ${ displaystyle A (t)}$, v předchozí části „Via Chain Rule“, ukázali jsme to

${ displaystyle { frac {d} {dt}} det A (t) = det A (t) ; operatorname {tr} vlevo (A (t) ^ {- 1} , { frac {d} {dt}} A (t) vpravo)}$

S ohledem na ${ displaystyle A (t) = exp (tB)}$ v této rovnici se získá:

${ displaystyle { frac {d} {dt}} det e ^ {tB} = operatorname {tr} (B) det e ^ {tB}}$

Požadovaný výsledek následuje jako řešení této obyčejné diferenciální rovnice.

Aplikace

Několik forem vzorce je základem Algoritmus Faddeev – LeVerrier pro výpočet charakteristický polynom a explicitní aplikace Cayley-Hamiltonova věta. Například počínaje následující rovnicí, která byla prokázána výše:

${ displaystyle { frac {d} {dt}} det A (t) = det A (t) operatorname {tr} vlevo (A (t) ^ {- 1} , { frac { d} {dt}} A (t) vpravo)}$

a pomocí ${ displaystyle A (t) = ti-B}$, dostaneme:

${ displaystyle { frac {d} {dt}} det (tI-B) = det (ti-B) operatorname {tr} [(ti-B) ^ {- 1}] = operatorname {tr } [ operatorname {adj} (ti-B)]}$

kde adj označuje adjugovaná matice.

Poznámky

Reference

• Magnus, Jan R .; Neudecker, Heinz (1999). Maticový diferenciální počet s aplikacemi ve statistice a ekonometrii (Přepracované vydání.). Wiley. ISBN  0-471-98633-X.
• Bellmann, Richard (1997). Úvod do maticové analýzy. SIAM. ISBN  0-89871-399-4.