Kanonická singularita - Canonical singularity - Wikipedia

V matematice kanonické singularity se jeví jako singularity kanonického modelu a projektivní rozmanitost, a terminální singularity jsou speciální případy, které se jeví jako singularity minimální modely. Byli představeni Reid (1980). Terminální singularity jsou důležité v minimální modelový program protože hladké minimální modely nemusí vždy existovat, a proto je nutné připustit určité singularity, jmenovitě terminální singularity.

Definice

Předpokládejme to Y je normální odrůda taková, že její kanonická třída K._Y je Q-Cartier, a nechte F:X→Y být řešením singularit Y. Pak

${ displaystyle displaystyle K_ {X} = f ^ {*} (K_ {Y}) + součet _ {i} a_ {i} E_ {i}}$

kde součet přesahuje neredukovatelné výjimečné dělitele a A_i jsou racionální čísla, která se nazývají nesrovnalosti.

Pak singularity Y jsou nazývány:

terminál -li A_i > 0 pro všechny i

kanonický -li A_i ≥ 0 pro všechny i

log terminál -li A_i > -1 pro všechny i

protokol kanonický -li A_i ≥ -1 pro všechny i.

Vlastnosti

Zvláštnosti projektivní rozmanitosti PROTI jsou kanonické, pokud je odrůda normální, nějaká síla kanonický svazek řádků nesingulární části PROTI sahá až k řádku PROTI, a PROTI má to samé plurigenera jako každý jiný rozlišení jejích singularit. PROTI má kanonické singularity právě tehdy, když se jedná o a relativní kanonický model.

Zvláštnosti projektivní rozmanitosti PROTI jsou terminální, pokud je odrůda normální, nějaká síla kanonický svazek řádků nesingulární části PROTI se rozšiřuje na řádek PROTI, a PROTI odvolání kterékoli části PROTI^m mizí podél jakékoli složky codimension 1 prvku výjimečné místo a rozlišení jejích singularit.

Klasifikace v malých rozměrech

Dvourozměrné koncové singularity jsou hladké. Pokud má odrůda koncové singularity, pak její singulární body mají kodimenzionální alespoň 3, zejména v dimenzích 1 a 2 jsou všechny koncové singularity hladké. Ve 3 dimenzích jsou izolovány a byly klasifikovány podle Mori (1985).

Dvourozměrné kanonické singularity jsou stejné jako du Val singularity, a jsou analyticky izomorfní k podílům C² konečnými podskupinami SL₂(C).

Dvojrozměrné logaritmické singularity jsou analyticky izomorfní s kvocienty C² konečnými podskupinami GL₂(C).

Dvourozměrné logické kanonické singularity byly klasifikovány podle Kawamata (1988).

Páry

Obecněji lze tyto pojmy definovat pro pár ${ displaystyle (X, Delta)}$ kde ${ displaystyle Delta}$ je formální lineární kombinace prvočíselných dělitelů s takovými racionálními koeficienty ${ displaystyle K_ {X} + Delta}$ je ${ displaystyle mathbb {Q}}$-Cartier. Dvojice se volá

• terminál pokud Discrep${ displaystyle (X, Delta)> 0}$
• kanonický pokud Discrep${ displaystyle (X, Delta) geq 0}$
• klt (Terminál protokolu Kawamata), pokud je Diskrep${ displaystyle (X, Delta)> - 1}$ a ${ displaystyle lfloor Delta rfloor leq 0}$
• plt (čistě logovací terminál), pokud Discrep${ displaystyle (X, Delta)> - 1}$
• lc (log canonical) if Discrep${ displaystyle (X, Delta) geq -1}$.

Reference

• Kollár, János (1989), „Minimální modely algebraických trojí: Moriho program“, Astérisque (177): 303–326, ISSN  0303-1179, PAN  1040578
• Kawamata, Yujiro (1988), „Crepantský výbuch trojrozměrných kanonických singularit a jeho aplikace na degenerace povrchů“, Ann. matematiky., 2, 127 (1): 93–163, doi:10.2307/1971417, ISSN  0003-486X, JSTOR  1971417, PAN  0924674
• Mori, Shigefumi (1985), „Na trojrozměrných terminálních singularitách“, Nagojský matematický deník, 98: 43–66, doi:10.1017 / s0027763000021358, ISSN  0027-7630, PAN  0792770
• Reide, Milesi (1980), „Canonical 3-folds“, Journées de Géometrie Algébrique d'Angers, Juillet 1979 / Algebraic Geometry, Angers, 1979„Alphen aan den Rijn: Sijthoff & Noordhoff, s. 273–310, PAN  0605348
• Reide, Milesi (1987), „Průvodce mladého člověka po kanonických singularitách“, Algebraická geometrie, Bowdoin, 1985 (Brunswick, Maine, 1985), Proc. Symposy. Čistá matematika., 46„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, str. 345–414, PAN  0927963