Určující odrůda - Determinantal variety

v algebraická geometrie, determinantní odrůdy jsou prostory matic s danou horní hranicí hodnosti. Jejich význam vychází ze skutečnosti, že mnoho příkladů v algebraické geometrii má tuto formu, například Vkládání Segre produktu dvou projektivní prostory.

Definice

Dáno m a n a r m, n), determinantní odrůda Y_r je množina všech m × n matice (nad polemk) s hodnocením ≤r. To je přirozeně algebraická rozmanitost jako podmínka, že matice má hodnocení ≤r je dáno zmizením všech jeho (r + 1) × (r + 1) nezletilí. Vzhledem k obecnému m × n matice, jejíž položky jsou algebraicky nezávislý proměnné X_i,j, tito nezletilí jsou polynomy stupně r + 1. Ideál k[X_i,j] generované těmito polynomy je a určující ideál. Protože rovnice definující nezletilé jsou homogenní, lze uvažovat Y_r buď jako afinní odrůda v mn-dimenzionální afinní prostor, nebo jako projektivní rozmanitost v (mn - 1) -dimenzionální projektivní prostor.

Vlastnosti

The radikální ideál definování determinantní odrůdy je generováno (r + 1) × (r + 1) nezletilí matice (Bruns-Vetter, Theorem 2.10).

Za předpokladu, že to vezmeme v úvahu Y_r jako afinní odrůda, jeho rozměr je r(m + n − r). Jeden způsob, jak to vidět, je následující: vytvořit produktový prostor ${displaystyle mathbf {A} ^ {mn} imes mathbf {Gr} (r, m)}$ přes ${displaystyle mathbf {A} ^ {mn}}$ kde ${displaystyle mathbf {Gr} (r, m)}$ je Grassmannian z r- letadla v m-dimenzionální vektorový prostor a vezměte v úvahu podprostor ${displaystyle Z_ {r} = {(A, W) střední A (k ^ {n}) subseteq W}}$ , což je desingularizace z ${displaystyle Y_ {r}}$ (přes otevřenou sadu matic s přesností přesně r, tato mapa je izomorfismus), a ${displaystyle Z_ {r}}$ je vektorový svazek přes ${displaystyle mathbf {Gr} (r, m)}$ který je izomorfní s ${displaystyle mathrm {Hom} (k ^ {n}, {mathcal {R}})}$ kde ${displaystyle {mathcal {R}}}$ je tautologický svazek nad Grassmannianem. Tak ${displaystyle dim Y_ {r} = ztlumit Z_ {r}}$ protože jsou birationally ekvivalent, a ${displaystyle dim Z_ {r} = matný mathbf {Gr} (r, m) + nr = r (m-r) + nr}$ protože vlákno ${displaystyle mathrm {Hom} (k ^ {n}, {mathcal {R}})}$ má rozměr č.

Výše uvedené ukazuje, že matice hodnosti <r obsahuje singulární lokus z ${displaystyle Y_ {r}}$ a ve skutečnosti má člověk rovnost. Tuto skutečnost lze ověřit pomocí toho, že radikální ideál dávají nezletilí spolu s Jacobské kritérium pro nesmyslnost.

Odrůda Y_r přirozeně působí ${displaystyle G = mathbf {GL} (m) imes mathbf {GL} (n)}$ , produkt z obecné lineární skupiny. Problém stanovení syzygies z ${displaystyle Y_ {r}}$ , když charakteristický z pole je nula, bylo vyřešeno Alain Lascoux pomocí přirozeného působeníG.

související témata

Jeden může „globalizovat“ pojem determinantních variet uvažováním prostoru lineárních map mezi dvěma vektorovými svazky na algebraické varietě. Potom determinantní odrůdy spadají do obecného studia degenerace loci. Výraz pro třídu kohomologie těchto lokusů degenerace je dán Thom-Porteousův vzorec, viz (Fulton-Pragacz).

Reference

Bruns, Winfried; Vetter, Udo (1988). Rozhodující prsteny. Přednášky z matematiky. 1327. Springer-Verlag. doi:10.1007 / BFb0080378. ISBN 978-3-540-39274-3.
Fulton, William; Pragacz, Piotr (1998). Schubertovy odrůdy a lokusy degenerace. Přednášky z matematiky. 1689. Springer-Verlag. doi:10.1007 / BFb0096380. ISBN 978-3-540-69804-3.
Lascoux, Alain (1978). „Syzygies des variétés déterminantales“. Pokroky v matematice. 30 (3): 202–237. doi:10.1016/0001-8708(78)90037-3.
Miller, Ezra; Sturmfels, Bernd (2005). Kombinatorická komutativní algebra. Postgraduální texty z matematiky. 227. Springer. ISBN 978-0-387-23707-7.
Weyman, Jerzy (2003). Cohomology of Vector Bundles and Syzygies. Cambridge Tracts v matematice. 149. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-62197-7.