Kartézský souřadnicový systém - Cartesian coordinate system
![]() | tento článek potřebuje další citace pro ověření.Červen 2012) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |

A Kartézský souřadnicový systém (Spojené království: /kɑːˈtiːzjən/, NÁS: /k.rˈtiʒən/) je souřadnicový systém který určuje každý směřovat jedinečně v letadlo sadou numerické souřadnice, což jsou podepsaný vzdálenosti do bodu ze dvou pevných kolmý orientované čáry, měřené stejně jednotka délky. Každá referenční čára se nazývá a souřadnicová osa nebo prostě osa (množný sekery) systému a bod, kde se setkají, je jeho původ u objednaného páru (0, 0). Souřadnice lze také definovat jako polohy kolmé projekce bodu na dvě osy, vyjádřené jako znaménkové vzdálenosti od počátku.
Stejným principem lze určit polohu libovolného bodu trojrozměrný prostor třemi kartézskými souřadnicemi, jeho značené vzdálenosti ke třem vzájemně kolmým rovinám (nebo ekvivalentně jeho kolmým průmětem na tři vzájemně kolmé čáry). Obecně, n Kartézské souřadnice (prvek nemovitý n-prostor ) uveďte bod v n-dimenzionální Euklidovský prostor pro všechny dimenze n. Tyto souřadnice jsou stejné, až podepsat, na vzdálenosti od bodu do n vzájemně kolmé hyperplanes.

Vynález kartézských souřadnic v 17. století autorem René Descartes (Latinsky název: Cartesius) způsobil převrat v matematice tím, že poskytl první systematické spojení mezi Euklidovská geometrie a algebra. Pomocí kartézského souřadnicového systému lze geometrické tvary (například křivky ) lze popsat pomocí Kartézské rovnice: algebraické rovnice zahrnující souřadnice bodů ležících na tvaru. Například kruh o poloměru 2, vycentrovaný na počátku roviny, lze popsat jako množinu všech bodů, jejichž souřadnice X a y uspokojit rovnici X2 + y2 = 4.
Kartézské souřadnice jsou základem analytická geometrie, a poskytovat poučné geometrické interpretace pro mnoho dalších oborů matematiky, jako např lineární algebra, komplexní analýza, diferenciální geometrie, vícerozměrný počet, teorie skupin a více. Známým příkladem je koncept graf funkce. Kartézské souřadnice jsou také základními nástroji pro většinu aplikovaných oborů, které se zabývají geometrií, včetně astronomie, fyzika, inženýrství a mnoho dalších. Jedná se o nejběžnější souřadnicový systém používaný v počítačová grafika, počítačem podporovaný geometrický design a další zpracování dat souvisejících s geometrií.
Dějiny
Přídavné jméno Kartézský odkazuje na francouzštinu matematik a filozof René Descartes, který tuto myšlenku publikoval v roce 1637. Nezávisle ji objevil Pierre de Fermat, který také pracoval ve třech dimenzích, ačkoli Fermat objev nezveřejnil.[1] Francouzský duchovní Nicole Oresme použité konstrukce podobné kartézským souřadnicím dlouho před časem Descartes a Fermat.[2]
Descartes i Fermat používali při léčbě jedinou osu a mají proměnnou délku měřenou ve vztahu k této ose. Koncept použití dvojice os byl představen později, po Descartově La Géométrie byl přeložen do latiny v roce 1649 uživatelem Frans van Schooten a jeho studenty. Tito komentátoři představili několik konceptů a pokusili se objasnit myšlenky obsažené v Descartově díle.[3]
Vývoj karteziánského souřadnicového systému by měl hrát zásadní roli při rozvoji EU počet podle Isaac Newton a Gottfried Wilhelm Leibniz.[4] Popis dvou souřadnic letadla byl později zobecněn do konceptu vektorové prostory.[5]
Od Descartes bylo vyvinuto mnoho dalších souřadnicových systémů, například polární souřadnice pro letadlo a sférický a válcové souřadnice pro trojrozměrný prostor.
Popis
Jedna dimenze
Volba kartézského souřadnicového systému pro jednorozměrný prostor - tj. Pro přímku - zahrnuje výběr bodu Ó čáry (počátek), jednotka délky a orientace čáry. Orientace vybírá, která ze dvou polovičních čar je určena Ó je pozitivní a které je negativní; pak řekneme, že přímka „je orientována“ (neboli „body“) od záporné poloviny směrem k kladné polovině. Pak každý bod P řádku lze určit jeho vzdáleností od Ó, vzato se znaménkem + nebo - podle toho, která půlřádka obsahuje P.
Řádek se zvoleným kartézským systémem se nazývá a číselná řada. Každé skutečné číslo má na lince jedinečné umístění. Naopak každý bod na čáře lze interpretovat jako a číslo v uspořádaném kontinuu, jako jsou reálná čísla.
Dva rozměry
Kartézský souřadnicový systém ve dvou rozměrech (nazývaný také a obdélníkový souřadný systém nebo ortogonální souřadnicový systém[6]) je definován znakem objednaný pár z kolmý řádky (osy), jeden jednotka délky pro obě osy a orientaci pro každou osu. Bod, kde se osy setkávají, je považován za počátek pro oba, čímž se každá osa změní na číselnou řadu. Pro jakýkoli bod P, je nakreslena čára P kolmo na každou osu a poloha, kde se setkává s osou, je interpretována jako číslo. Dvě čísla v tomto zvoleném pořadí jsou Kartézské souřadnice z P. Reverzní konstrukce umožňuje určit bod P vzhledem k jeho souřadnicím.
První a druhá souřadnice se nazývají úsečka a ordinovat z P, v uvedeném pořadí; a bod, kde se osy setkávají, se nazývá původ souřadnicového systému. Souřadnice jsou obvykle psány jako dvě čísla v závorkách, v tomto pořadí, oddělená čárkou, jako v (3, −10.5). Počátek má tedy souřadnice (0, 0)a body na kladných poloosách, vzdálené jednu jednotku od počátku, mají souřadnice (1, 0) a (0, 1).
V matematice, fyzice a strojírenství je první osa obvykle definována nebo zobrazena jako horizontální a orientovaná doprava a druhá osa je vertikální a orientovaná nahoru. (Nicméně v některých počítačová grafika kontexty, osa souřadnic může být orientována dolů.) Počátek je často označen Ó, a tyto dvě souřadnice jsou často označeny písmeny X a Ynebo X a y. Osy pak mohou být označovány jako X- osa a Y-osa. Volby písmen pocházejí z původní konvence, což je použití druhé části abecedy k označení neznámých hodnot. První část abecedy byla použita k označení známých hodnot.
A Euklidovské letadlo se zvoleným kartézským souřadným systémem se nazývá a Kartézské letadlo. V kartézské rovině lze definovat kanonické zástupce určitých geometrických obrazců, například jednotkový kruh (s poloměrem rovným jednotce délky a středem v počátku), jednotka čtverec (jehož úhlopříčka má koncové body na (0, 0) a (1, 1)), jednotka hyperbola, a tak dále.
Obě osy rozdělují rovinu na čtyři správné úhly, volala kvadranty. Kvadranty mohou být pojmenovány nebo očíslovány různými způsoby, ale kvadrant, kde jsou všechny souřadnice kladné, se obvykle nazývá první kvadrant.
Pokud jsou souřadnice bodu (X, y), pak jeho vzdálenosti z X-osy a z Y-osy jsou |y| a |X| kde | ... | označuje absolutní hodnota čísla.
Tři rozměry

Kartézský souřadnicový systém pro trojrozměrný prostor se skládá z uspořádaného tripletu linií ( sekery), které procházejí společným bodem ( původ) a jsou dvojice kolmé; orientace pro každou osu; a jednu jednotku délky pro všechny tři osy. Stejně jako v dvourozměrném případě se každá osa stává číselnou čarou. Pro jakýkoli bod P vesmíru, uvažuje se o hyperplánu P kolmo ke každé souřadnicové ose a interpretuje bod, ve kterém tato nadrovina ořízne osu jako číslo. Kartézské souřadnice P jsou tato tři čísla ve zvoleném pořadí. Opačná konstrukce určuje bod P vzhledem k jeho třem souřadnicím.
Alternativně každá souřadnice bodu P lze brát jako vzdálenost od P k nadrovině definované dalšími dvěma osami, se znaménkem určeným orientací odpovídající osy.
Každá dvojice os definuje a souřadnicová nadrovina. Tyto hyperplány dělí prostor na osm trihedra, volala oktanty.
Oktanty jsou: | (+ x, + y, + z) | (-x, + y, + z) | (+ x, + y, -z) | (-x, + y, -z) | (+ x, -y, + z) | (-x, -y, + z) | (+ x, -y, -z) | (-x, -y, -z) |
Souřadnice jsou obvykle psány jako tři čísla (nebo algebraické vzorce) obklopená závorkami a oddělená čárkami, jako v (3, −2.5, 1) nebo (t, u + proti, π / 2). Počátek má tedy souřadnice (0, 0, 0)a jednotkové body na třech osách jsou (1, 0, 0), (0, 1, 0), a (0, 0, 1).
Ve třech osách nejsou žádné standardní názvy souřadnic (termíny úsečka, ordinovat a aplikovat se někdy používají). Souřadnice jsou často označeny písmeny X, Y, a Znebo X, y, a z. Osy pak mohou být označovány jako X-osa, Y- osa a Z-os, resp. Poté lze souřadnicové hyperplány označovat jako XY-letadlo, YZ- letadlo a XZ-letadlo.
V matematice, fyzice a technických kontextech jsou první dvě osy často definovány nebo zobrazeny jako horizontální, přičemž třetí osa směřuje nahoru. V takovém případě lze vyvolat třetí souřadnici výška nebo nadmořská výška. Orientace se obvykle volí tak, aby úhel 90 stupňů od první osy ke druhé ose vypadal při pohledu z bodu proti směru hodinových ručiček (0, 0, 1); konvence, která se běžně nazývá the pravidlo pravé ruky.

Vyšší rozměry
Protože kartézské souřadnice jsou jedinečné a nejednoznačné, lze body kartézské roviny identifikovat pomocí dvojic reálná čísla; to je s kartézský součin , kde je množina všech reálných čísel. Stejným způsobem body v libovolném Euklidovský prostor dimenze n být identifikován s n-tice (seznamy) z n reálná čísla, tedy s kartézským součinem .
Zobecnění
Koncept karteziánských souřadnic se zobecňuje tak, aby umožňoval osy, které nejsou navzájem kolmé, a / nebo různé jednotky podél každé osy. V takovém případě se každá souřadnice získá promítnutím bodu na jednu osu ve směru, který je rovnoběžný s druhou osou (nebo obecně s nadrovina definované všemi ostatními osami). V takovém šikmý souřadnicový systém výpočty vzdáleností a úhlů musí být upraveny oproti výpočtům ve standardních kartézských systémech a mnoho standardních vzorců (například Pytagorovy vzorce pro vzdálenost) neplatí (viz afinní letadlo ).
Zápisy a konvence
Kartézské souřadnice bodu jsou obvykle zapsány závorky a odděleny čárkami, jako v (10, 5) nebo (3, 5, 7). Původ je často označen velkým písmenem Ó. V analytické geometrii jsou neznámé nebo obecné souřadnice často označovány písmeny (X, y) v rovině a (X, y, z) v trojrozměrném prostoru. Tento zvyk pochází z konvence algebry, která používá písmena blízko konce abecedy pro neznámé hodnoty (například souřadnice bodů v mnoha geometrických úlohách) a písmena blízko začátku pro dané veličiny.
Tyto konvenční názvy se často používají v jiných doménách, jako je fyzika a inženýrství, i když lze použít i jiná písmena. Například v grafu, který ukazuje, jak a tlak se liší podle čas, mohou být označeny souřadnice grafu str a t. Každá osa je obvykle pojmenována po souřadnici, která je měřena podél ní; takže jeden říká osa x, osa y, osa t, atd.
Další běžnou konvencí pro pojmenování souřadnic je použití dolních indexů, as (X1, X2, ..., Xn) pro n souřadnice v n-dimenzionální prostor, zvláště když n je větší než 3 nebo nespecifikováno. Někteří autoři dávají přednost číslování (X0, X1, ..., Xn−1). Tyto notace jsou zvláště výhodné v programování: uložením souřadnic bodu jako pole, místo a záznam, dolní index může sloužit k indexování souřadnic.
Na matematických ilustracích dvourozměrných kartézských systémů je první souřadnice (tradičně nazývaná úsečka ) se měří podél a horizontální osa, orientovaná zleva doprava. Druhá souřadnice ( ordinovat ) se poté měří podél a vertikální osa, obvykle orientovaná zdola nahoru. Malé děti, které se učí kartézský systém, se běžně učí pořadí čtení hodnot před upevněním X-, y-, a z-osové koncepty, počínaje 2D mnemotechnikou (např. „Procházka chodbou, pak nahoru po schodech“ podobná rovně X-osa pak svisle nahoru podél y-osa).[7]
Počítačová grafika a zpracování obrazu, nicméně často používají souřadnicový systém s y-osa orientovaná dolů na displeji počítače. Tato konvence se vyvinula v 60. letech 20. století (nebo dříve) způsobem, ve kterém byly obrázky původně uloženy vyrovnávací paměti displeje.
U trojrozměrných systémů je konvencí zobrazovat xy- letadlo vodorovně, s z-osa přidaná k reprezentaci výšky (pozitivní nahoru). Dále existuje konvence pro orientaci X- osa směrem k divákovi, předpjatá doprava nebo doleva. Pokud je diagram (3D projekce nebo 2D perspektivní kresba ) ukazuje X- a y-osa vodorovně a svisle, pak z- osa by měla být zobrazena směrem „ven ze stránky“ směrem k divákovi nebo fotoaparátu. V takovém 2D diagramu 3D souřadnicového systému je z-osa by vypadala jako čára nebo paprsek směřující dolů a doleva nebo dolů a doprava, v závislosti na předpokládaném divákovi nebo fotoaparátu perspektivní. V jakémkoli diagramu nebo zobrazení je orientace tří os jako celku libovolná. Orientace os vůči sobě by však měla vždy odpovídat pravidlo pravé ruky, pokud není výslovně uvedeno jinak. Předpokládají to všechny zákony fyziky a matematiky pravostrannost, což zajišťuje konzistenci.
U 3D diagramů se názvy „úsečka“ a „souřadnice“ používají jen zřídka X a y, resp. Když jsou, z-koordinátor se někdy nazývá aplikovat. Slova úsečka, ordinovat a aplikovat se někdy používají spíše k označení souřadnicových os než hodnot souřadnic.[6]
Kvadranty a oktanty

Osy dvourozměrného karteziánského systému rozdělují rovinu na čtyři nekonečné oblasti, tzv kvadranty,[6] každý ohraničený dvěma poloosami. Ty jsou často očíslovány od 1. do 4. a označeny římské číslice: I (kde znaménka dvou souřadnic jsou I (+, +), II (-, +), III (-, -) a IV (+, -). Když jsou osy nakresleny podle matematického zvyku , číslování pokračuje proti směru hodinových ručiček začínající od pravého horního (severovýchodního) kvadrantu.
Podobně trojrozměrný kartézský systém definuje rozdělení prostoru do osmi oblastí nebo oktanty,[6] podle značek souřadnic bodů. Konvence používaná pro pojmenování konkrétního oktantu je vypsat jeho znaky, např. (+ + +) nebo (− + −). Zobecnění kvadrantu a oktantu na libovolný počet dimenzí je orthanta platí podobný systém pojmenování.
Kartézské vzorce pro rovinu
Vzdálenost mezi dvěma body
The Euklidovská vzdálenost mezi dvěma body roviny s kartézskými souřadnicemi a je
Toto je kartézská verze Pythagorova věta. V trojrozměrném prostoru vzdálenost mezi body a je
kterou lze získat dvěma po sobě jdoucími aplikacemi Pythagorovy věty.[8]
Euklidovské transformace
The Euklidovské transformace nebo Euklidovské pohyby jsou (bijektivní ) mapování bodů Euklidovské letadlo sobě samým, které zachovávají vzdálenosti mezi body. Existují čtyři typy těchto mapování (nazývané také izometrie): překlady, rotace, odrazy a klouzavé odrazy.[9]
Překlad
Překlady množina bodů v rovině, zachovávající vzdálenosti a směry mezi nimi, je ekvivalentní přidání pevné dvojice čísel (A, b) na kartézské souřadnice každého bodu v množině. To znamená, že pokud jsou původní souřadnice bodu (X, y), po překladu budou
Otáčení
Na točit se postava proti směru hodinových ručiček kolem původu o nějaký úhel je ekvivalentní nahrazení každého bodu souřadnicemi (X,y) bodem se souřadnicemi (X',y '), kde
Tím pádem:
Odraz
Li (X, y) jsou tedy kartézské souřadnice bodu (−X, y) jsou souřadnice jeho odraz přes druhou souřadnou osu (osa y), jako by tato čára byla zrcadlem. Rovněž, (X, −y) jsou souřadnice jeho odrazu přes první souřadnicovou osu (osa x). Obecněji řečeno, odraz přes čáru přes počátek vytvářející úhel s osou x je ekvivalentní nahrazení každého bodu souřadnicemi (X, y) bodem se souřadnicemi (X′,y′), kde
Tím pádem:
Klouzavý odraz
Klouzavý odraz je složení odrazu přes čáru, po kterém následuje překlad ve směru této čáry. Je vidět, že na pořadí těchto operací nezáleží (překlad může být první, následovaný odrazem).
Obecná maticová forma transformací
Tyto Euklidovské transformace roviny lze popsat jednotným způsobem pomocí matic. Výsledek aplikace euklidovské transformace na bod je dáno vzorcem
kde A je 2 × 2 ortogonální matice a b = (b1, b2) je libovolná seřazená dvojice čísel;[10] to je
kde
- [Řádkové vektory se používají pro souřadnice bodů a matice je zapsána vpravo.]
Být ortogonálnímatice A musí mít ortogonální řádky se stejnou euklidovskou délkou jedné, tj.
a
To se rovná tomu, že se to říká A krát jeho přemístit musí být matice identity. Pokud tyto podmínky neplatí, popisuje vzorec obecnější afinní transformace letadla za předpokladu, že určující z A není nula.
Vzorec definuje překlad kdyby a jen kdyby A je matice identity. Transformace je rotace kolem nějakého bodu právě tehdy A je rotační matice, znamenající, že
Odraz nebo klouzavý odraz se dosáhne, když
Za předpokladu, že se překlad nepoužívá, lze transformace kombinovat jednoduchým vynásobením přidružených transformačních matic.
Afinní transformace
Dalším způsobem, jak reprezentovat transformace souřadnic v kartézských souřadnicích, je provedení afinní transformace. V afinních transformacích je přidána další dimenze a všem bodům je přidělena hodnota 1 pro tuto další dimenzi. Výhodou toho je, že bodové překlady lze zadat v posledním sloupci matice A. Tímto způsobem se všechny euklidovské transformace stanou transakčními jako násobení maticových bodů. Afinní transformace je dána: