Lefschetzova tužka - Lefschetz pencil

v matematika, a Lefschetzova tužka je stavba v algebraická geometrie zvažuje Solomon Lefschetz, který se používá k analýze algebraická topologie z algebraická rozmanitost PROTI.

Popis

A tužka je zvláštní druh lineární systém dělitelů na PROTI, jmenovitě rodina s jedním parametrem, parametrizovaná pomocí projektivní linie. To znamená, že v případě a komplexní algebraická rozmanitost PROTI, tužka Lefschetz je něco jako fibrace přes Riemannova koule; ale se dvěma výhradami o singularitě.

První bod přijde, pokud to předpokládáme PROTI je uveden jako a projektivní rozmanitost a dělitelé dále PROTI jsou sekce nadroviny. Předpokládejme dané hyperplány H a H′, Táhnoucí se tužkou - jinými slovy, H darováno L = 0 a H′ Od L′ = 0 pro lineární tvary L a L′ A obecná část nadroviny je PROTI protíná s

${ displaystyle lambda L + mu L ^ { prime} = 0. }$

Pak křižovatka J z H s H′ Má kodimenzionální dva. Tady je racionální mapování

${ displaystyle V rightarrow P ^ {1} }$

který je ve skutečnosti dobře definován pouze mimo body na křižovatce J s PROTI. Chcete-li vytvořit dobře definované mapování, některé vyhodit do vzduchu musí být aplikován na PROTI.

Druhým bodem je, že vlákna se mohou sama „zdegenerovat“ a získat singulární body (kde Bertiniho lemma platí Všeobecné část nadroviny bude hladká). Lefschetzova tužka omezuje povahu získaných singularit, takže topologii může analyzovat mizející cyklus metoda. Vlákna se singularitami musí mít jedinečnou kvadratickou singularitu.^[1]

Ukázalo se, že tužky Lefschetz existují v charakteristická nula. Platí podobným způsobem, ale komplikovaněji než, Morseovy funkce na hladké potrubí. Ukázalo se také, že tužky Lefschetz existují v charakteristický p pro topologii étale.

Simon Donaldson našel v Lefschetz tužkách roli symplektická topologie, což vedlo k novějšímu zájmu o výzkum.

Viz také

• Teorie Picard – Lefschetz

Reference

• Donaldson, Simon K. (1998). "Lefschetzovy fibrace v symplektické geometrii". Documenta Mathematica (Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. II (Berlin, 1998)). Extra díl II: 309–314. PAN  1648081.
• Griffiths, Phillip; Harris, Joe (1994). Principy algebraické geometrie. Wiley Classics Library. Wiley Interscience. str. 509. ISBN  0-471-05059-8.

Poznámky

externí odkazy

• Gompf, Robert (2005). „Co je to Lefschetzova tužka?“ (PDF). Oznámení Americké matematické společnosti. 52 (8).
• Gompf, Robert (2001). „Topologie symplektických potrubí“ (PDF). Turkish Journal of Mathematics. 25: 43–59. PAN  1829078.