Věta Hilbert – Speiser - Hilbert–Speiser theorem

v matematika, Věta Hilbert – Speiser je výsledek na cyklotomická pole, charakterizující ty s normální integrální základ. Obecněji platí pro jakoukoli konečnou abelian rozšíření z $Q$ , který Kroneckerova-Weberova věta jsou izomorfní s podpolemi cyklotomických polí.

Hilbert-Speiserova věta. Konečné abelianské rozšíření

K. / Q

má normální integrální základ, právě když je krotce rozvětvený přes

Q

.

To je podmínka, že by to mělo být a podpole z $Q (ζ n)$ kde $n$ je bez čtverce liché číslo. Tento výsledek představil Hilbert (1897, Satz 132, 1998, věta 132) v jeho Zahlbericht a tím Speiser (1916, k návrhu 8.1).

V případech, kdy věta říká, že normální integrální základna existuje, může být takový základ vytvořen pomocí Gaussovské období. Například pokud vezmeme $n$ prvočíslo $str > 2$ , $Q (ζ str)$ má normální integrální základ skládající se ze všech $str$ -th kořeny jednoty jiný než $1$ . Pro pole $K.$ obsažené v něm, trasování pole lze použít k vytvoření takového základu v $K.$ také (viz článek na Gaussovské období ). Pak v případě $n$ squarefree a odd, $Q (ζ n)$ je compositum podpolí tohoto typu pro prvočísla $str$ dělení $n$ (vyplývá to z jednoduchého argumentu o rozvětvení). Tento rozklad lze použít k ošetření kteréhokoli z jeho podpolí.

Cornelius Greither, Daniel R. Replogle a Karl Rubin et al. (1999 ) dokázal konverzaci k Hilbert-Speiserově větě:

Každý konečný krotce rozvětvený abelian rozšíření

K.

pevné pole s číslem

J

má relativní normální integrální základ právě tehdy

J = Q

.

Reference

Greither, Cornelius; Replogle, Daniel R .; Rubin, Karl; Srivastav, Anupam (1999), „Swanské moduly a Hilbert – Speiserova číselná pole“, Žurnál teorie čísel, 79: 164–173, doi:10.1006 / jnth.1999.2425
Hilbert, David (1897), „Die Theorie der algebraischen Zahlkörper“, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (v němčině), 4: 175–546, ISSN 0012-0456
Hilbert, David (1998), Teorie algebraických číselných polí, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-62779-1, PAN 1646901
Speiser, A. (1916), „Gruppendeterminante und Körperdiskriminante“, Mathematische Annalen, 77 (4): 546–562, doi:10.1007 / BF01456968, ISSN 0025-5831