Naivní teorie množin (kniha) - Naive Set Theory (book)

Viz také Naivní teorie množin pro matematické téma.

První vydání

Naivní teorie množin je matematika učebnice od Paul Halmos poskytující vysokoškolský úvod do teorie množin.^[1] Původně publikoval Van Nostrand v roce 1960,^[2] to bylo přetištěno v Springer-Verlag Pregraduální texty z matematiky série v roce 1974.^[3]

I když název uvádí, že je naivní, což se obvykle chápe bez axiomy, kniha přináší všechny axiomy Teorie množin ZFC (kromě Axiom nadace ) a poskytuje správné a přísné definice základních objektů.^[2]^[4] Kde se liší od „true“ axiomatická teorie množin kniha je její charakter: neexistují žádné diskuse o axiomatických markantech a téměř nic není o pokročilých tématech jako velcí kardinálové. Místo toho se snaží být srozumitelný pro někoho, kdo nikdy předtím nepřemýšlel o teorii množin.

Halmos později uvedl, že to byla nejrychlejší kniha, kterou napsal, přičemž mu trvalo asi šest měsíců, a že se kniha „napsala sama“.^[5]

Absence nadace Axiom

Jak je uvedeno výše, kniha vynechává Axiom nadace. Halmos opakovaně tančí kolem otázky, zda se soubor může obsahovat.

p. 1: „sada může být také součástí některých jiný sada "(zvýraznění přidáno)
p. 3: „je ${displaystyle A}$ ∈ ${displaystyle A}$ někdy pravda? Určitě to neplatí o žádném rozumném souboru, který někdo kdy viděl. “
p. 6: " ${displaystyle B}$ ∈ ${displaystyle B}$ ... nepravděpodobné, ale zjevně nemožné “

Ale Halmos nám dokazuje, že existují určité množiny, které se samy nemohou udržet.

p. 44: Halmos nám to umožňuje dokázat ${displaystyle omega}$ ∉ ${displaystyle omega}$ . Pro kdyby ${displaystyle omega}$ ∈ ${displaystyle omega}$ , pak ${displaystyle omega}$ − { ${displaystyle omega}$ } bude stále nástupnickou sadou, protože ${displaystyle omega}$ ≠ ∅ a ${displaystyle omega}$ není nástupcem žádného přirozeného čísla. Ale ${displaystyle omega}$ není podmnožinou ${displaystyle omega}$ − { ${displaystyle omega}$ }, což je v rozporu s definicí ${displaystyle omega}$ jako podmnožina každé sady nástupců.
p. 47: Halmos dokazuje lemma, že „žádné přirozené číslo není podmnožinou žádného z jeho prvků.“ To nám umožňuje dokázat, že žádné přirozené číslo nemůže obsahovat samo sebe. Pro kdyby ${displaystyle n}$ ∈ ${displaystyle n}$ , kde ${displaystyle n}$ je tedy přirozené číslo ${displaystyle n}$ ⊂ ${displaystyle n}$ ∈ ${displaystyle n}$ , což je v rozporu s lemmatem.
p. 75: „An pořadové číslo je definována jako dobře uspořádaná množina ${displaystyle alpha}$ takhle ${displaystyle s (xi) = xi}$ pro všechny ${displaystyle xi}$ v ${displaystyle alpha}$ ; tady ${displaystyle s (xi)}$ je stejně jako dříve počáteční segment ${displaystyle {eta}$ ∈ ${displaystyle alpha:}$ ${displaystyle eta}$ < ${displaystyle xi}$ }. "Řazení studní je definováno takto: if ${displaystyle xi}$ a ${displaystyle eta}$ jsou prvky pořadového čísla ${displaystyle alpha}$ , pak ${displaystyle xi}$ < ${displaystyle eta}$ prostředek ${displaystyle xi}$ ∈ ${displaystyle eta}$ (str. 75-76). Svým výběrem symbolu ${displaystyle xi}$
p. 75: výše uvedená definice řadového čísla také znemožňuje mít ${displaystyle alpha}$ ∈ ${displaystyle alpha}$ , kde ${displaystyle alpha}$ je pořadové číslo. To je Protože ${displaystyle alpha}$ ∈ ${displaystyle alpha}$ naznačuje ${displaystyle alpha}$ = s ( ${displaystyle alpha}$ ). To nám dává ${displaystyle alpha}$ ∈ ${displaystyle alpha}$ = s ( ${displaystyle alpha}$ ) = ${displaystyle {eta}$ ∈ ${displaystyle alpha:}$ ${displaystyle eta}$ < ${displaystyle alpha}$ }, což znamená ${displaystyle alpha}$ < ${displaystyle alpha}$ , což znamená ${displaystyle alpha}$ ≠ ${displaystyle alpha}$ (protože

Errata

p. 30, řádek 10: „x na y“ by mělo být „x do y“.
p. 73, řádek 19: „for each z in X“ should be „for each a in X“.
p. 75, řádek 3: „tehdy a jen tehdy, když x ∈ F (n)“ by mělo být „právě tehdy, když x = {b: S (n, b)}“.

Viz také

Seznam publikací z matematiky

Bibliografie

Halmos, Paul, Naivní teorie množin. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Přetištěno Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Vydání Springer-Verlag). Přetištěno Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (Brožované vydání).

Reference

^ Recenze Naivní teorie množin H. Mirkil (duben 1961), Americký matematický měsíčník 68 (4): 392, doi:10.2307/2311615.
^ ^A ^b Recenze Naivní teorie množinL. Rieger, PAN0114756.
^ PAN0453532
^ Recenze Naivní teorie množin, Alfons Borgers (červenec 1969), Journal of Symbolic Logic 34 (2): 308, doi:10.2307/2271138.
^ Ewing, John H .; Gehring, Frederick W., eds. (1991), Paul Halmos: slaví 50 let matematiky, Springer-Verlag, Rozhovor Halmosa s Donaldem J. Albersem, str. 16, ISBN 0-387-97509-8.

externí odkazy

Seznam učebnic teorie množin sestavené účastníky výměny matematických zásobníků
Recenze:Naivní teorie množin z Goodreads.

[1] Recenze Naivní teorie množin H. Mirkil (duben 1961), Americký matematický měsíčník 68 (4): 392, doi:10.2307/2311615.

[Rieger-2] A ^b Recenze Naivní teorie množinL. Rieger, PAN0114756.

[3] PAN0453532

[4] Recenze Naivní teorie množin, Alfons Borgers (červenec 1969), Journal of Symbolic Logic 34 (2): 308, doi:10.2307/2271138.

[5] Ewing, John H .; Gehring, Frederick W., eds. (1991), Paul Halmos: slaví 50 let matematiky, Springer-Verlag, Rozhovor Halmosa s Donaldem J. Albersem, str. 16, ISBN 0-387-97509-8.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]