Quadric (algebraická geometrie) - Quadric (algebraic geometry)

Dvě rodiny čar na hladkém (děleném) kvadrickém povrchu

v matematika, a kvadrický nebo kvadrický hyperpovrch je podprostor N-rozměrný prostor definovaný a polynomiální rovnice stupně 2 nad a pole. Kvadrics jsou základními příklady v algebraická geometrie. Teorie je zjednodušena prací v projektivní prostor spíše než afinní prostor. Příkladem je kvadrický povrch

${ displaystyle xy = zw}$

v projektivním prostoru ${ displaystyle { mathbf {P}} ^ {3}}$ přes komplexní čísla C. Kvadric má přirozenou činnost ortogonální skupina, a tak lze studium kvadriků považovat za potomka Euklidovská geometrie.

Mnoho vlastností kvadrics platí obecněji pro projektivní homogenní odrůdy. Další zobecnění kvadrics poskytuje Odrůdy Fano.

Základní vlastnosti

Podle definice, quadric X dimenze n přes pole k je podprostor ${ displaystyle mathbf {P} ^ {n + 1}}$ definován q = 0, kde q je nenulová homogenní polynom 2. stupně k v proměnných ${ displaystyle x_ {0}, ldots, x_ {n + 1}}$. (Homogennímu polynomu se také říká a formulářa tak q lze nazvat a kvadratická forma.) Pokud q je tedy produktem dvou lineárních forem X je spojení dvou hyperplanes. Je běžné předpokládat, že ${ displaystyle n geq 1}$ a q je neredukovatelné, který tento zvláštní případ vylučuje.

Tady algebraické odrůdy přes pole k jsou považovány za speciální třídu schémata přes k. Když k je algebraicky uzavřeno, lze také uvažovat o projektivní rozmanitosti elementárnějším způsobem, jako o podmnožině ${ displaystyle { mathbf {P}} ^ {N} (k) = (k ^ {N + 1} -0) / k ^ {*}}$ definované homogenními polynomiálními rovnicemi s koeficienty v k.

Singulární kvadrický povrch, kužel přes hladkou kuželovou křivku

Li q lze tedy (po nějaké lineární změně souřadnic) zapsat jako polynom ve vlastní podmnožině proměnných X je projektivní kužel přes kvadricku nižší dimenze. Je rozumné zaměřit pozornost na případ, kdy X není kužel. Pro k z charakteristický ne 2, X není kužel právě tehdy X je hladký přes k. Když k má charakteristiku ne 2, hladkost kvadrika je také ekvivalentní k Hesenská matice z q mít nenulovou hodnotu určující, nebo do přidružené bilineární formy b(X,y) = q(X+y) – q(X) – q(y) bytost nedegenerovat. Obecně platí, že pro k charakteristiky ne 2, hodnost quadric znamená hodnost hesenské matice. Kvadrik hodnosti r je iterovaný kužel přes hladký kvadrik dimenze r − 2.^[1]

Základním výsledkem je hladký kvadrik nad polem k je Racionální přes k kdyby a jen kdyby X má k-racionální bod.^[2] To znamená, že pokud existuje řešení rovnice q = 0 formuláře ${ displaystyle (a_ {0}, ldots, a_ {n + 1})}$ s ${ displaystyle a_ {0}, ldots, a_ {n + 1}}$ v k, ne celá nula (tedy odpovídající bodu v projektivním prostoru), pak existuje vzájemná korespondence definovaná racionální funkce přes k mezi ${ displaystyle { mathbf {P}} ^ {n}}$ minus podrozměrná podmnožina a X minus podrozměrná podmnožina. Například pokud k je nekonečný, z toho vyplývá, že pokud X má jednu k- racionální bod, pak to má nekonečně mnoho. Tuto rovnocennost dokazuje stereografická projekce. Racionální je zejména každá kvadricita nad algebraicky uzavřeným polem.

Kvadrik nad polem k je nazýván izotropní pokud má k- racionální bod. Příkladem anizotropního kvadrika je kvadric

${ displaystyle x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + cdots + x_ {n + 1} ^ {2} = 0}$

v projektivním prostoru ${ displaystyle { mathbf {P}} ^ {n + 1}}$ přes reálná čísla R.

Lineární podprostory kvadrics

Ústřední částí geometrie kvadrics je studium lineárních prostorů, které obsahují. (V kontextu projektivní geometrie lineární podprostor o ${ displaystyle { mathbf {P}} ^ {N}}$ je izomorfní s ${ displaystyle { mathbf {P}} ^ {a}}$ pro některé ${ displaystyle a leq N}$.) Klíčovým bodem je, že každý lineární prostor obsažený v hladké kvadrice má rozměr nanejvýš polovinu dimenze kvadrika. Navíc, když k je algebraicky uzavřeno, jedná se o optimální vazbu, což znamená, že každá plynulá kvadrika dimenze n přes k obsahuje lineární podprostor dimenze ${ displaystyle lfloor n / 2 rfloor}$.^[3]

Přes jakékoli pole k, hladký kvadrik dimenze n je nazýván rozdělit pokud obsahuje lineární prostor dimenze ${ displaystyle lfloor n / 2 rfloor}$ přes k. Každá hladká kvadrika nad algebraicky uzavřeným polem je tedy rozdělena. Pokud kvadrik X přes pole k je rozdělena, pak ji lze zapsat (po lineární změně souřadnic) jako

${ displaystyle x_ {0} x_ {1} + x_ {2} x_ {3} + cdots + x_ {2m-2} x_ {2m-1} + x_ {2m} ^ {2} = 0}$

-li X má rozměr 2m - 1 nebo

${ displaystyle x_ {0} x_ {1} + x_ {2} x_ {3} + cdots + x_ {2m} x_ {2m + 1} = 0}$

-li X má rozměr 2m.^[4] Zejména nad algebraicky uzavřeným polem existuje pouze jedna hladká kvadricka každé dimenze, až po izomorfismus.

U mnoha aplikací je důležité popsat prostor Y všech lineárních podprostorů maximální dimenze v dané hladké kvadrice X. (Pro jasnost předpokládejme, že X je rozdělen k.) Výrazným jevem je to Y je připojeno -li X má lichý rozměr, zatímco má dvě připojené komponenty, pokud X má sudý rozměr. To znamená, že existují dva různé „typy“ maximálních lineárních prostorů X když X má sudý rozměr. Tyto dvě rodiny lze popsat pomocí: pro plynulý kvadrik X dimenze 2m, opravit jeden m-letadlo Q obsaženo v X. Pak dva typy m- letadla P obsaženo v X se liší podle toho, zda je rozměr průsečík ${ displaystyle P cap Q}$ je sudé nebo liché.^[5] (Dimenze prázdné množiny je zde považována za -1.)

Nízkodimenzionální kvadrics

Nechat X být rozděleným kvadrikem nad polem k. (Zejména, X může být jakákoli hladká kvadrika přes algebraicky uzavřené pole.) V nízkých rozměrech X a lineární prostory, které obsahuje, lze popsat následovně.

• Kvadrická křivka v ${ displaystyle mathbf {P} ^ {2}}$ se nazývá a kónický. Kousek kužele k je izomorfní k projektivní linii ${ displaystyle mathbf {P} ^ {1}}$ přes k, vložený do ${ displaystyle mathbf {P} ^ {2}}$ do 2. dne Veronese vložení.^[6] (Například elipsy, paraboly a hyperboly jsou různé druhy kuželoseček v afinní rovině R, ale jejich uzávěry v projektivní rovině jsou všechny izomorfní ${ displaystyle mathbf {P} ^ {1}}$ přes R.)

• Rozdělený kvadrický povrch X je izomorfní s ${ displaystyle mathbf {P} ^ {1} times mathbf {P} ^ {1}}$, vložený do ${ displaystyle mathbf {P} ^ {3}}$ podle Vkládání Segre. Prostor čar v kvadrickém povrchu X má dvě připojené komponenty, z nichž každá je izomorfní ${ displaystyle mathbf {P} ^ {1}}$.^[7]

• Rozdělený čtyřnásobný trojnásobek X lze zobrazit jako izotropní Grassmannian pro symplektická skupina Sp (4,k). (To souvisí s výjimečným izomorfismem lineární algebraické skupiny mezi SO (5,k) a ${ displaystyle operatorname {Sp} (4, k) / { pm 1 }}$.) Jmenovitě daný 4-dimenzionální vektorový prostor PROTI s symlektická forma, čtyřnásobný trojnásobek X lze identifikovat s prostorem LGr (2,4) 2-rovin v PROTI na které se formulář omezuje na nulu. Dále prostor řádků v kvadrickém trojnásobku X je izomorfní s ${ displaystyle mathbf {P} ^ {3}}$.^[8]

• Rozdělené čtyřnásobné čtyřnásobné X lze zobrazit jako Grassmannian Gr (2,4), prostor 2-rovin ve 4-dimenzionálním vektorovém prostoru (nebo ekvivalentně, čar v ${ displaystyle mathbf {P} ^ {3}}$). (To souvisí s výjimečným izomorfismem lineárních algebraických skupin mezi SO (6,k) a ${ displaystyle operatorname {SL} (4, k) / { pm 1 }}$.) Prostor 2-rovin v kvadrickém 4-násobku X má dvě připojené komponenty, z nichž každá je izomorfní ${ displaystyle mathbf {P} ^ {3}}$.^[9]

• Prostor 2-rovin v děleném kvadrickém pětinásobku je izomorfní s děleným čtyřnásobným šestinásobkem. Podobně jsou obě složky prostoru 3-rovin v rozděleném čtyřnásobném šestinásobku izomorfní s rozděleným čtyřnásobným šestinásobkem. (Souvisí to s fenoménem soudnost pro skupinu Spin (8).)

Jak tyto příklady naznačují, prostor m- letadla v děleném kvadriku dimenze 2m má vždy dvě připojené komponenty, z nichž každá je izomorfní s izotropním Grassmannianem z (m - 1) - letadla v děleném kvadriku dimenze 2m − 1.^[10] Žádný odraz v ortogonální skupině mapuje jednu složku izomorfně na druhou.

Bruhatův rozklad

Hladký kvadrik nad polem k je projektivní homogenní odrůda pro ortogonální skupinu (a pro speciální ortogonální skupina ), zobrazeno jako lineární algebraické skupiny k. Jako každá projektivní homogenní odrůda pro a rozdělená redukční skupina, split quadric X má algebraický buněčný rozklad, známý jako Bruhatův rozklad. (Zejména to platí pro každou hladkou kvadriku přes algebraicky uzavřené pole.) To znamená, X lze psát jako konečné spojení disjunktních podmnožin, které jsou izomorfní s afinními mezerami k různých rozměrů. (U projektivních homogenních odrůd se buňky nazývají Schubertovy buňkya jejich uzávěry se nazývají Odrůdy Schubert.) Buněčné odrůdy jsou mezi všemi algebraickými odrůdami velmi speciální. Například buněčná odrůda je Racionální, a pro k = C) Hodgeova teorie hladké projektivní buněčné rozmanitosti je triviální v tom smyslu ${ displaystyle h ^ {p, q} (X) = 0}$ pro ${ Displaystyle p neq q}$. Pro buněčnou odrůdu je Chow skupina algebraických cyklů zapnuto X je bezplatná abelianská skupina na množině buněk, stejně jako integrální homologie z X (li k = C).^[11]

Split quadric X dimenze n má pouze jednu buňku z každé dimenze r, s výjimkou střední dimenze sudého kvadrika, kde jsou dvě buňky. Odpovídající buněčné uzávěry (odrůdy Schubert) jsou:^[12]

• Pro ${ displaystyle 0 leq r$, lineární prostor ${ displaystyle mathbf {P} ^ {r}}$ obsaženo v X.

• Pro r = n/ 2, obě odrůdy Schubert jsou lineární prostory ${ displaystyle mathbf {P} ^ {r}}$ obsaženo v X, jeden z každé ze dvou rodin středodimenzionálních lineárních prostorů (jak je popsáno výše).

• Pro ${ Displaystyle n / 2$, Schubertova rozmanitost dimenze r je křižovatkou X s lineárním prostorem dimenze r + 1 palec ${ displaystyle mathbf {P} ^ {n + 1}}$; tak to je r-dimenzionální quadric. Je to iterovaný kužel na hladké kvadrice dimenze 2r − n.

Pomocí Bruhatova rozkladu je snadné vypočítat Chow prsten rozděleného kvadrika dimenze n nad polem, následovně.^[13] Když základním polem jsou komplexní čísla, je to také integrál kohomologie prsten hladkého kvadrika, s ${ displaystyle CH ^ {j}}$ mapování izomorfně na ${ displaystyle H ^ {2j}}$. (Cohomologie v lichých stupních je nulová.)

• Pro n = 2m − 1, ${ displaystyle CH ^ {*} (X) cong mathbb {Z} [h, l] / (h ^ {m} -2l, l ^ {2})}$, kde |h| = 1 a |l| = m.

• Pro n = 2m, ${ displaystyle CH ^ {*} (X) cong mathbb {Z} [h, l] / (h ^ {m + 1} -2hl, l ^ {2} -ah ^ {m} l)}$, kde |h| = 1 a |l| = m, a A je 0 pro m liché a 1 pro m dokonce.

Tady h je třída sekce nadroviny a l je třída maximálního lineárního podprostoru X. (Pro n = 2m, třída druhého typu maximálního lineárního podprostoru je ${ displaystyle h ^ {m} -l}$.) Tento výpočet ukazuje důležitost lineárních podprostorů kvadrika: Chowův kruh všech algebraických cyklů na X je generován „zřejmým“ prvkem h (stáhl se ze třídy ${ displaystyle c_ {1} O (1)}$ nadroviny v ${ displaystyle { mathbf {P}} ^ {n + 1}}$) spolu s třídou maximálního lineárního podprostoru X.

Izotropní Grassmannians a odrůda spinor

Prostor r- letadla hladce n-dimenzionální kvadric (jako kvadric sám) je projektivní homogenní odrůda, známá jako izotropní Grassmannian nebo ortogonální Grassmannian OGr (r + 1, n + 2). (Číslování odkazuje na rozměry odpovídajících vektorových prostorů. V případě středních dimenzionálních lineárních podprostorů kvadrika sudé dimenze 2m, píše jeden ${ displaystyle operatorname {OGr} _ {+} (m + 1,2 m + 2)}$ pro jednu ze dvou spojených komponent.) Výsledkem je, že izotropní Grassmannianové dělené kvadriky nad polem mají také algebraické buněčné rozklady.

Izotropní Grassmannian Ž = OGr (m,2m + 1) z (m - 1) - letadla v plynulém kvadriku dimenze 2m - 1 se také nazývá odrůda spinor, dimenze m(m + 1) / 2. (Další popis odrůdy spinor je jako ${ displaystyle operatorname {OGr} _ {+} (m + 1,2 m + 2)}$.^[10]) Vysvětlete název: nejmenší SO (2m + 1)-ekvivariant projektivní vkládání Ž přistane v projektivním prostoru dimenze ${ displaystyle 2 ^ {m} -1}$.^[14] Působení SO (2m + 1) v tomto projektivním prostoru nepochází z lineárního vyjádření SO (2m+1) nad k, ale spíše z reprezentace jeho jednoduše připojeno dvojitý kryt, spinová skupina Točit (2m + 1) přes k. Tomu se říká rotační reprezentace of Spin (2m + 1), dimenze ${ displaystyle 2 ^ {m}}$.

Nad komplexními čísly je izotropní Grassmannian OGr (r + 1, n + 2) z r- letadla v n-dimenzionální quadric X je homogenní prostor pro komplexní algebraickou skupinu ${ displaystyle G = operatorname {SO} (n + 2, mathbf {C})}$, a také pro jeho maximální kompaktní podskupina, kompaktní Lieova skupina TAK(n + 2). Z druhého hlediska je to izotropní Grassmannian

${ displaystyle operatorname {SO} (n + 2) / ( operatorname {U} (r + 1) times operatorname {SO} (n-2r)),}$

kde ty(r+1) je jednotná skupina. Pro r = 0, izotropní Grassmannian je kvadric sám, který lze tedy zobrazit jako

${ displaystyle operatorname {SO} (n + 2) / ( operatorname {U} (1) times operatorname {SO} (n)).}$

Například komplexní spinorová odrůda OGr (m, 2m + 1) lze zobrazit jako SO (2m + 1) / U (m), a také jako SO (2m+2) / U (m+1). Tyto popisy lze použít k výpočtu kohomologického kruhu (nebo ekvivalentně Chowova kruhu) odrůdy spinor:

${ displaystyle CH ^ {*} operatorname {OGr} (m, 2m + 1) cong mathbb {Z} [e_ {1}, ldots, e_ {m}] / (e_ {j} ^ {2 } -2e_ {j-1} e_ {j + 1} + 2e_ {j-2} e_ {j + 2} - cdots + (- 1) ^ {j} e_ {2j} = 0 { text {pro vše}} j),}$

Kde Třídy Chern ${ displaystyle c_ {j}}$ přirozené pozice-m vektorový svazek se rovná ${ displaystyle 2e_ {j}}$.^[15] Tady ${ displaystyle e_ {j}}$ se rozumí 0 proj > m.

Spinor svazky na kvadrics

The spinor svazky hrají mezi všemi zvláštní roli vektorové svazky na kvadriku, analogický k maximálním lineárním podprostorům mezi všemi subvarietami kvadrika. Chcete-li tyto svazky popsat, dovolte X být rozděleným kvadrikem dimenze n přes pole k. Speciální ortogonální skupina SO (n+2) přes k jedná X, a proto to dělá i jeho dvojitý obal, rotační skupina G = Točit (n+2) přes k. V těchto podmínkách X je homogenní prostor G/P, kde P je maximum parabolická podskupina z G. The polojednoduchý část P je spin skupina Spin (n) a existuje standardní způsob, jak rozšířit reprezentace rotace Spinu (n) k reprezentacím P. (Existují dvě reprezentace rotace ${ displaystyle V _ {+}, V _ {-}}$ pro n = 2m, každá z dimenzí ${ displaystyle 2 ^ {m-1}}$a jedna reprezentace rotace PROTI pro n = 2m - 1, dimenze ${ displaystyle 2 ^ {m-1}}$.) Pak se spinorové svazky na kvadriku X = G/P jsou definovány jako G- ekvivariantní vektorové svazky spojené s těmito reprezentacemi P. Existují tedy dva spinorové svazky ${ displaystyle S _ {+}, S _ {-}}$ hodnosti ${ displaystyle 2 ^ {m-1}}$ pro n = 2ma jeden spinorový svazek S hodnosti ${ displaystyle 2 ^ {m-1}}$ pro n = 2m - 1. Pro n dokonce jakýkoli odraz v ortogonální skupině zapne dva spinorové svazky X.^[14]

Například dva spinorové svazky na kvadrickém povrchu ${ displaystyle X cong mathbf {P} ^ {1} times mathbf {P} ^ {1}}$ jsou řádkové svazky O (−1,0) a O (0, −1). Spinorový svazek na čtyřnásobném trojnásobku X je přirozený podskupina pořadí 2 X viděn jako izotropní Grassmannian 2-rovin ve 4-dimenzionálním symplektickém vektorovém prostoru.

Označení významu spinorových svazků: Michail Kapranov ukázal, že omezený odvozená kategorie z koherentní snopy na split quadric X přes pole k má plný výjimečná kolekce zahrnující spinorové svazky spolu s „zřejmým“ svazky řádků Ó(j) omezeno z projektivního prostoru:

${ displaystyle D ^ {b} (X) = langle S _ {+}, S _ {-}, O, O (1), ldots, O (n-1) rangle}$

-li n je sudý, a

${ displaystyle D ^ {b} (X) = langle S, O, O (1), ldots, O (n-1) rangle}$

-li n je zvláštní.^[16] Konkrétně to znamená případ rozdělení Richard Swan Výpočet Grothendieckova skupina algebraických vektorových svazků na hladké kvadrice; je to bezplatná abelianská skupina

${ displaystyle K_ {0} (X) = mathbb {Z} {S _ {+}, S _ {-}, O, O (1), ldots, O (n-1) }}$

pro n dokonce, a

${ displaystyle K_ {0} (X) = mathbb {Z} {S, O, O (1), ldots, O (n-1) }}$

pro n zvláštní.^[17] Když k = C, topologická skupina K. ${ displaystyle K ^ {0} (X)}$ (spojitých komplexních vektorových svazků na kvadriku X) je dán stejným vzorcem a ${ displaystyle K ^ {1} (X)}$ je nula.

Poznámky

Reference

• Elman, Richard; Karpenko, Nikita; Merkurjev, Alexander (2008), Algebraická a geometrická teorie kvadratických foremAmerická matematická společnost, ISBN  978-0-8218-4329-1, PAN  2427530
• Fulton, William (1998), Teorie křižovatky, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-98549-7, PAN  1644323
• Harris, Joe (1995), Algebraická geometrie: první kurz, Springer-Verlag, ISBN  0-387-97716-3, PAN  1416564
• Kapranov, Michail (1988), „O odvozených kategoriích koherentních svazků v některých homogenních prostorech“, Inventiones Mathematicae, 92: 479–508, doi:10.1007 / BF01393744, PAN  0939472
• Mimura, Mamoru; Toda, Hirosi (1992), Topologie Lieových skupinAmerická matematická společnost, ISBN  978-0821813423, PAN  1122592
• Ottaviani, Giorgio (1988), „Spinor bundles on quadrics“, Transakce Americké matematické společnosti, 307: 301–316, doi:10.1090 / S0002-9947-1988-0936818-5, PAN  0936818
• Labuť, Richarde (1985), „K-teorie kvadrických hyperplošin“, Annals of Mathematics, 122: 113–153, doi:10.2307/1971371, PAN  0799254