Stupeň algebraické odrůdy - Degree of an algebraic variety

tento článek ne uvést žádný Zdroje. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Stupeň algebraické odrůdy“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Prosince 2009) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, stupeň z afinní nebo projektivní rozmanitost z dimenze n je počet průsečíků odrůdy s n hyperplanes v obecná pozice.^[1] Pro algebraická množina, musí se průsečíky počítat s jejich multiplicita křižovatky, kvůli možnosti více komponent. U (neredukovatelných) odrůd platí, že pokud vezmeme v úvahu multiplicitu a v afinním případě body v nekonečnu, hypotéza obecná pozice může být nahrazena mnohem slabší podmínkou, že průnik odrůdy má nulovou dimenzi (tj. sestává z konečného počtu bodů). Toto je zobecnění Bézoutova věta (Důkaz viz Hilbertovy řady a Hilbertovy polynomy § Stupeň projektivní rozmanitosti a Bézoutova věta ).

Stupeň není vnitřní vlastností odrůdy, protože závisí na konkrétním vložení odrůdy do afinního nebo projektivního prostoru.

Stupeň a nadpovrch se rovná celkový stupeň její definující rovnice. Zobecnění Bézoutova věta tvrdí, že v případě průniku n projektivní hyperplochy mají codimension n, pak je míra průsečíku součinem stupňů hyperplochy.

Míra projektivní odrůdy je hodnocení na 1 čitatele Hilbertova řada jeho souřadnicový kruh. Z toho vyplývá, že vzhledem k rovnicím odrůdy lze stupeň vypočítat z a Gröbnerův základ z ideál těchto rovnic.

Definice

Pro PROTI vložený do a projektivní prostor Pⁿ a definováno přes některé algebraicky uzavřené pole K., titul d z PROTI je počet průsečíků PROTI, definováno přes K., s lineární podprostor L v obecná pozice, když

${ displaystyle dim (V) + dim (L) = n.}$

Zde ztlumit (PROTI) je dimenze z PROTIa kodimenzionální z L se bude rovnat té dimenzi. Titul d je vnější veličina a není vnitřní jako vlastnost PROTI. Například projektivní linie má (v podstatě jedinečný) vložení titulu n v Pⁿ.

Vlastnosti

Stupeň a nadpovrch F = 0 je stejný jako celkový stupeň z homogenní polynom F definování (v případě F má opakované faktory, se kterými se teorie křižovatek počítá multiplicita, jako v Bézoutova věta ).

Další přístupy

Pro sofistikovanější přístup, lineární systém dělitelů definování vložení PROTI může souviset s svazek řádků nebo invertibilní svazek definování vkládání svým prostorem sekcí. The tautologický svazek linek na Pⁿ táhne zpět do PROTI. Stupeň určuje první Třída Chern. Stupeň lze vypočítat také v cohomologický prsten z Pⁿnebo Chow prsten, s třídou a nadrovina protínající třídu PROTI přiměřený počet opakování.

Rozšíření Bézoutovy věty

Stupeň lze použít k zobecnění Bézoutovy věty očekávaným způsobem na průsečíky n hyperplochy v Pⁿ.

Poznámky