Úplná křižovatka - Complete intersection
V matematice, an algebraická rozmanitost PROTI v projektivní prostor je úplná křižovatka pokud je ideál V generován přesně codim V elementy. To je, pokud PROTI má dimenze m a leží v projektivním prostoru Pn, mělo by existovat n − m homogenní polynomy
- Fi(X0, ..., Xn), 1 ≤ i ≤ n − m,
v homogenní souřadnice Xj, které generují všechny ostatní homogenní polynomy, které mizí na V.
Geometricky, každý Fi definuje a nadpovrch; průsečík těchto hyperplošin by měl být PROTI. Křižovatka n-m hyperplochy budou mít vždy alespoň rozměr m, za předpokladu, že pole skalárů je algebraicky uzavřené pole tak jako komplexní čísla. Otázkou v zásadě je, zda můžeme tuto dimenzi zmenšit m, bez dalších bodů v křižovatce? Tuto podmínku je poměrně těžké zkontrolovat, jakmile se codimension n − m ≥ 2. Když n − m = 1 tedy PROTI je automaticky hyperplocha a není co dokazovat.
Příklady
Snadné příklady úplných průsečíků jsou dány hyperplošinami, které jsou definovány mizejícím lokusem jednoho polynomu. Například,
uvádí příklad kvintického trojnásobku. Může být obtížné najít explicitní příklady úplných průsečíků vyšších dimenzionálních odrůd pomocí dvou nebo více explicitních příkladů (bestiář), ale existuje explicitní příklad trojnásobného typu dána
Nepříklady
Twisted Cubic
Jednou z metod pro konstrukci lokálních úplných křižovatek je vzít projektivní úplnou odrůdu křižovatek a vložit ji do projektovaného prostoru s vyšší dimenzí. Klasickým příkladem toho je zkroucený kubický v : je to hladký lokální průnik, což znamená v každém grafu, že jej lze vyjádřit jako mizející lokus dvou polynomů, ale globálně je vyjádřen mizejícím lokusem více než dvou polynomů. Můžeme to zkonstruovat pomocí velmi velkého svazku řádků přes dávat vložení
- podle
Všimněte si, že . Pokud to necháme vložení poskytuje následující vztahy:
Proto je zkroucená kubika projektivní schéma
Spojení odrůd lišících se v rozměrech
Dalším pohodlným způsobem, jak zkonstruovat neúplnou křižovatku, která nikdy nemůže být lokální úplnou křižovatkou, je sjednocení dvou různých odrůd, kde jejich rozměry nesouhlasí. Klasickým příkladem tohoto jevu je například spojení přímky a roviny protínající se v bodě. Je to dáno schématem
Multidegree
Kompletní křižovatka má a multidegree, psaný jako n-tice (správně a multiset ) stupňů definování hyperplošin. Například převzetí kvadrik P3 opět, (2,2) je multidegree úplného průsečíku dvou z nich, které když jsou uvnitř obecná pozice je eliptická křivka. The Hodge čísla komplexních hladkých úplných křižovatek bylo zpracováno Kunihiko Kodaira.
Obecná pozice
U podrobnějších otázek je třeba se podrobněji zabývat povahou křižovatky. Pro splnění a. Mohou být vyžadovány hyperplochy transverzálnost stav (jako jejich tečné mezery v obecné poloze v průsečících). Křižovatka může být schéma-teoretický jinými slovy zde homogenní ideál generované Fi(X0, ..., Xn) může být požadováno, aby byl určujícím ideálem PROTI, a nejen mít správné radikální. v komutativní algebra, je podmínka úplného průniku přeložena do pravidelná sekvence termíny, umožňující definici místní úplná křižovatka, nebo po nějakém lokalizace ideál má definující pravidelné sekvence.
Topologie
Homologie
Protože úplné průniky dimenze v jsou průsečíky úseků hyperplánů, můžeme to odvodit pomocí věty o hyperplášti Lefschetz
pro . Kromě toho je možné ověřit, že homologické skupiny jsou vždy torzní bez použití věty o univerzálním koeficientu. To znamená, že skupina střední homologie je určena eulerovou charakteristikou prostoru.
Eulerova charakteristika
Hirzebruch dal generující funkci počítající rozměr všech úplných průsečíků více stupňů . Čte to
Reference
- Looijenga, E. J. N. (1984), Izolované singulární body na úplných křižovatkách, Série přednášek London Mathematical Society, 77, Cambridge: Cambridge University Press, doi:10.1017 / CBO9780511662720, ISBN 0-521-28674-3, PAN 0747303
- Meyer, Christian (2005), Modulární Calabi-Yau trojnásobně, 22, Fields Institute Monografie, s. 194, ISBN 978-0-8218-3908-9
- Hübsch, Tristan, Rozdělovače Calabi-Yau, bestiář pro fyziky, World Scientific, str. 380, ISBN 978-981-02-0662-8
- Eulerova charakteristika úplných křižovatek (PDF), archivovány z originál (PDF) dne 15. 8. 2017
externí odkazy
- Kompletní křižovatky v atlasu potrubí