v algebra, a vícerozměrný polynom
![{displaystyle f (x) = součet _ {alpha} a_ {alpha} x ^ {alpha} {ext {, kde}} alpha = (i_ {1}, tečky, i_ {r}) v mathbb {N} ^ { r} {ext {a}} x ^ {alpha} = x_ {1} ^ {i_ {1}} cdots x_ {r} ^ {i_ {r}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/865d3e7afd5f7637c3e80f365e40061170c70019)
je kvazi homogenní nebo vážený homogenní, pokud existují r celá čísla
, volala závaží proměnných, takže součet
je stejný pro všechny nenulové výrazy F. Tato částka w je hmotnost nebo stupeň polynomu.
Termín kvazi homogenní pochází ze skutečnosti, že polynom F je kvazihomogenní právě tehdy
![{displaystyle f (lambda ^ {w_ {1}} x_ {1}, ldots, lambda ^ {w_ {r}} x_ {r}) = lambda ^ {w} f (x_ {1}, ldots, x_ {r })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0224d8d8ba47d84aca93adad9181893daf1fd1f6)
pro každého
v libovolném poli obsahujícím koeficienty.
Polynom
je kvazihomogenní s váhami
kdyby a jen kdyby
![{displaystyle f (y_ {1} ^ {w_ {1}}, ldots, y_ {n} ^ {w_ {n}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d09dabc59fa5e77cf96d5d9f615b35b8c9390261)
je homogenní polynom v
. Zejména homogenní polynom je vždy kvazihomogenní, se všemi váhami rovnými 1.
Polynom je kvazihomogenní právě tehdy, když je splněn celý
patří ke stejnému afinní nadrovina. Jako Newtonův mnohostěn polynomu je konvexní obal sady
kvazihomogenní polynomy lze také definovat jako polynomy, které mají degenerovaný Newtonův polytop (zde „degenerovaný“ znamená „obsažený v nějaké afinní nadrovině“).
Úvod
Zvažte polynom
. Tenhle nemá šanci být homogenní polynom; pokud však místo uvažování
použijeme pár
testovat stejnorodost, pak
![{displaystyle f (lambda ^ {3} x, lambda y) = 5 (lambda ^ {3} x) ^ {3} (lambda y) ^ {3} + (lambda ^ {3} x) (lambda y) ^ {9} -2 (lambda y) ^ {12} = lambda ^ {12} f (x, y).,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d50ec14ea05f4992501baf5eaf147445c76783ed)
Říkáme to
je kvazihomogenní polynom z typ(3,1), protože jeho tři páry (i1,i2) exponentů (3,3), (1,9) a (0,12) všechny splňují lineární rovnici
. Zejména to říká, že Newtonův polytop z
leží v afinním prostoru s rovnicí
uvnitř
.
Výše uvedená rovnice je ekvivalentní této nové:
. Někteří autoři[1] raději použijeme tuto poslední podmínku a raději řekneme, že náš polynom je kvazihomogenní typu (
).
Jak je uvedeno výše, homogenní polynom
stupně d je jen kvazihomogenní polynom typu (1,1); v tomto případě všechny jeho páry exponentů uspokojí rovnici
.
Definice
Nechat
být polynomem v r proměnné
s koeficienty ve komutativním kruhu R. Vyjádříme to jako konečný součet
![{displaystyle f (x) = součet _ {alfa v mathbb {N} ^ {r}} a_ {alpha} x ^ {alpha}, alpha = (i_ {1}, ldots, i_ {r}), a_ {alfa } v mathbb {R}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cfcfab87b9ca2427d22d37bc4627370a0500e02)
Říkáme to F je kvazi homogenní typu
,
pokud nějaké existují
takhle
![{displaystyle langle alpha, varphi angle = sum _ {k} ^ {r} i_ {k} varphi _ {k} = a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08ae8eb6f50de8b507bfc4beec4b894897c913b6)
kdykoli
.
Reference
- ^ J. Steenbrink (1977). Compositio Mathematica, svazek 34, č. 2. Noordhoff International Publishing. str. 211 (k dispozici on-line na Numdam )