Monomiální základ - Monomial basis

v matematika the monomiální základ a polynomiální kruh je jeho základem (jako a vektorový prostor nebo bezplatný modul nad polem nebo kruhem koeficientů), který se skládá z množiny všech monomials. Monomials tvoří základ, protože každý polynomiální může být jednoznačně napsán jako konečný lineární kombinace monomiálů (to je bezprostřední důsledek definice polynomu).

Jeden neurčitý

The polynomiální kruh K.[X] z jednorozměrný polynom přes pole K. je K.-vektorový prostor, který má

${ displaystyle 1, x, x ^ {2}, x ^ {3}, ldots}$

jako (nekonečný) základ. Obecněji, pokud K. je prsten, K.[X] je bezplatný modul, který má stejný základ.

Polynomy stupně nanejvýš d tvoří také vektorový prostor (nebo volný modul v případě prstence koeficientů), který má

${ displaystyle 1, x, x ^ {2}, ldots}$

jako základ

The kanonická forma polynomu je jeho výraz na tomto základě:

${ displaystyle a_ {0} + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + ldots + a_ {d} x ^ {d},}$

nebo pomocí kratšího sigma notace:

${ displaystyle sum _ {i = 0} ^ {d} a_ {i} x ^ {i}.}$

Monomiální základ je přirozeně úplně objednané, a to buď zvyšováním stupňů

${ displaystyle 1$

nebo snížením stupňů

${ displaystyle 1> x> x ^ {2}> cdots.}$

Několik neurčitých

V případě několika neurčitých ${ displaystyle x_ {1}, ldots, x_ {n},}$ monomial je produkt

${ displaystyle x_ {1} ^ {d_ {1}} x_ {2} ^ {d_ {2}} cdots x_ {n} ^ {d_ {n}},}$

Kde ${ displaystyle d_ {i}}$ jsou nezáporná celá čísla. Tak jako ${ displaystyle x_ {i} ^ {0} = 1,}$ exponent rovný nule znamená, že odpovídající neurčitý se neobjeví v monomii; zejména${ displaystyle 1 = x_ {1} ^ {0} x_ {2} ^ {0} cdots x_ {n} ^ {0}}$je monomial.

Podobně jako v případě jednorozměrných polynomů, i polynomy v ${ displaystyle x_ {1}, ldots, x_ {n}}$ tvoří vektorový prostor (pokud koeficienty patří do pole) nebo volný modul (pokud koeficienty patří do kruhu), který má jako základ sadu všech monomiálů, tzv. monomiální základ

The homogenní polynomy stupně ${ displaystyle d}$ tvoří podprostor, který má monomialy stupně ${ displaystyle d = d_ {1} + cdots + d_ {n}}$ jako základ. Dimenzí tohoto podprostoru je počet monomií stupňů ${ displaystyle d}$, který je

${ displaystyle { binom {d + n-1} {d}} = { frac {n (n + 1) cdots (n + d-1)} {d!}},}$

kde ${ displaystyle { binom {d + n-1} {d}}}$ označuje a binomický koeficient.

Polynomy stupně nanejvýš ${ displaystyle d}$ tvoří také podprostor, který má maximálně monomily stupně ${ displaystyle d}$ jako základ. Počet těchto monomiálů je rozměr tohoto podprostoru rovný

${ displaystyle { binom {d + n} {d}} = { binom {d + n} {n}} = { frac {(d + 1) cdots (d + n)} {n!} }.}$

Navzdory jednorozměrnému případu neexistuje nic přirozeného celková objednávka monomiální základny. U problémů, které vyžadují výběr celkové objednávky, jako např Gröbnerův základ výpočty, jeden obecně zvolí přípustný monomiální řád, to je celkový řád na množině monomiálů takový, že

${ displaystyle m$

a

${ displaystyle 1 leq m}$

pro každou monomii ${ displaystyle m, n, q.}$

Viz také

• Hornerova metoda
• Polynomiální sekvence
• Newtonův polynom
• Lagrangeův polynom
• Legendární polynom
• Bernsteinova forma
• Čebyševova forma