Přidružený odstupňovaný prsten - Associated graded ring

v matematika, přidružený odstupňovaný prsten a prsten R s ohledem na vlastní ideál Já je odstupňovaný prsten:

${ displaystyle operatorname {gr} _ {I} R = oplus _ {n = 0} ^ { infty} I ^ {n} / I ^ {n + 1}}$.

Podobně, pokud M je levice R-modul, pak přidružený odstupňovaný modul je odstupňovaný modul přes ${ displaystyle operatorname {gr} _ {I} R}$:

${ displaystyle operatorname {gr} _ {I} M = oplus _ {0} ^ { infty} I ^ {n} M / I ^ {n + 1} M}$.

Základní definice a vlastnosti

Pro prsten R a ideální Já, násobení v ${ displaystyle operatorname {gr} _ {I} R}$ je definována takto: Nejprve zvažte homogenní prvky ${ displaystyle a v I ^ {i} / I ^ {i + 1}}$ a ${ displaystyle b v I ^ {j} / I ^ {j + 1}}$ a předpokládejme ${ displaystyle a ' v I ^ {i}}$ je zástupcem společnosti A a ${ displaystyle b ' v I ^ {j}}$ je zástupcem společnosti b. Poté definujte ${ displaystyle ab}$ být třídou rovnocennosti ${ displaystyle a'b '}$ v ${ displaystyle I ^ {i + j} / I ^ {i + j + 1}}$. Všimněte si, že to je dobře definované modulo ${ displaystyle I ^ {i + j + 1}}$. Násobení nehomogenních prvků je definováno pomocí distribuční vlastnosti.

Kroužek nebo modul může souviset s přidruženým odstupňovaným prstenem nebo modulem prostřednictvím mapa počátečního formuláře. Nechat M být R-modul a Já ideál R. Dáno ${ displaystyle f v M}$, počáteční forma z F v ${ displaystyle operatorname {gr} _ {I} M}$, psaný ${ displaystyle mathrm {in} (f)}$, je třída ekvivalence F v ${ displaystyle I ^ {m} M / I ^ {m + 1} M}$ kde m je maximální celé číslo takové, že ${ displaystyle f v I ^ {m} M}$. Li ${ displaystyle f v I ^ {m} M}$ pro každého m, pak nastavte ${ displaystyle mathrm {in} (f) = 0}$. Mapa počátečního formuláře je pouze mapou množin a obecně nikoli a homomorfismus. Pro submodul ${ displaystyle N podmnožina M}$, ${ displaystyle mathrm {in} (N)}$ je definován jako submodul ${ displaystyle operatorname {gr} _ {I} M}$ generováno uživatelem ${ displaystyle { mathrm {in} (f) | f v N }}$. To nemusí být stejné jako submodul ${ displaystyle operatorname {gr} _ {I} M}$ generovány jedinými počátečními formami generátorů N.

Prsten zdědí některé „dobré“ vlastnosti z přidruženého odstupňovaného prstenu. Například pokud R je noetherian místní prsten, a ${ displaystyle operatorname {gr} _ {I} R}$ je integrální doména, pak R je sama o sobě integrální doménou.^[1]

gr kvocientového modulu

Nechat ${ displaystyle N podmnožina M}$ být ponechány moduly přes prsten R a Já ideál R. Od té doby

${ displaystyle {I ^ {n} (M / N) nad I ^ {n + 1} (M / N)} simeq {I ^ {n} M + N nad I ^ {n + 1} M + N} simeq {I ^ {n} M přes I ^ {n} M cap (I ^ {n + 1} M + N)} = {I ^ {n} M přes I ^ {n} M cap N + I ^ {n + 1} M}}$

(poslední rovnost je o modulární zákon ), existuje kanonická identifikace:^[2]

${ displaystyle operatorname {gr} _ {I} (M / N) = operatorname {gr} _ {I} M / operatorname {in} (N)}$

kde

${ displaystyle operatorname {in} (N) = bigoplus _ {n = 0} ^ { infty} {I ^ {n} M cap N + I ^ {n + 1} M přes I ^ {n +1} M},}$

volal submodul generovaný počátečními formami prvků ${ displaystyle N}$.

Příklady

Nechat U být univerzální obalová algebra lže algebry ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ přes pole k; filtruje se podle stupňů. The Poincaré – Birkhoff – Wittova věta to naznačuje ${ displaystyle operatorname {gr} U}$ je polynomiální kruh; ve skutečnosti je to souřadnicový kruh ${ displaystyle k [{ mathfrak {g}} ^ {*}]}$.

Přidružená odstupňovaná algebra a Cliffordova algebra je vnější algebra; tj. a Cliffordova algebra degeneruje do vnější algebra.

Zobecnění na multiplikativní filtraci

Přidružená známka může být také definována obecněji pro multiplikativní sestupné filtrace z R (viz také filtrovaný prsten.) Nechte F být sestupným řetězcem ideálů formy

${ displaystyle R = I_ {0} supset I_ {1} supset I_ {2} supset dotsb}$

takhle ${ displaystyle I_ {j} I_ {k} podmnožina I_ {j + k}}$. Odstupňovaný kruh spojený s touto filtrací je ${ displaystyle operatorname {gr} _ {F} R = oplus _ {n = 0} ^ { infty} I_ {n} / I_ {n + 1}}$. Násobení a počáteční mapa formuláře jsou definovány výše.

Viz také

• Hodnocení (matematika)
• Reesova algebra

Reference

• Eisenbud, David (1995). Komutativní algebra. Postgraduální texty z matematiky. 150. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN  0-387-94268-8. PAN  1322960.
• Matsumura, Hideyuki (1989). Komutativní prstencová teorie. Cambridge studia pokročilé matematiky. 8. Z japonštiny přeložil M. Reid (druhé vydání). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN  0-521-36764-6. PAN  1011461.
• Zariski, Oscar; Samuel, Pierre (1975), Komutativní algebra. Sv. II, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90171-8, PAN  0389876