Sylvesters vzorec - Sylvesters formula - Wikipedia

v teorie matic, Sylvesterův vzorec nebo Sylvestrova věta o matici (pojmenoval podle J. J. Sylvester ) nebo Interpolace Lagrange-Sylvester vyjadřuje analytický funkce F(A) a matice A jako polynom v A, pokud jde o vlastní čísla a vlastní vektory z A.^[1][2] Uvádí to^[3]

${ displaystyle f (A) = součet _ {i = 1} ^ {k} f ( lambda _ {i}) ~ A_ {i} ~,}$

Kde λ_i jsou vlastní čísla z Aa matice

${ displaystyle A_ {i} equiv prod _ {j = 1 nahoře j neq i} ^ {k} { frac {1} { lambda _ {i} - lambda _ {j}}} vlevo (A- lambda _ {j} já vpravo)}$

jsou odpovídající Frobenius covariants z A, což jsou (projekční) matice Lagrangeovy polynomy z A.

Podmínky

Sylvesterův vzorec platí pro všechny diagonalizovatelná matice A s k zřetelná vlastní čísla, λ₁, …, λ_ka jakoukoli funkci F definované u některé podmnožiny souboru komplexní čísla takhle F(A) je dobře definován. Poslední podmínka znamená, že každé vlastní číslo λ_i je v doméně Fa to každé vlastní číslo λ_i s množstvím m_i > 1 je uvnitř domény, s F bytost (m_i — 1) časy diferencovatelné v λ_i.^{[1]:Def. 6.4}

Příklad

Zvažte matici dva ku dvěma:

${ displaystyle A = { begin {bmatrix} 1 & 3 4 & 2 end {bmatrix}}.}$

Tato matice má dvě vlastní čísla, 5 a -2. Jeho Frobeniovi kovarianty jsou

${ displaystyle { begin {aligned} A_ {1} & = c_ {1} r_ {1} = { begin {bmatrix} 3 4 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} { frac { 1} {7}} & { frac {1} {7}} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} { frac {3} {7}} & { frac {3} {7} } { frac {4} {7}} & { frac {4} {7}} end {bmatrix}} = { frac {A + 2I} {5 - (- 2)}} A_ {2} & = c_ {2} r_ {2} = { begin {bmatrix} { frac {1} {7}} - { frac {1} {7}} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} 4 & -3 end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} { frac {4} {7}} & - { frac {3} {7}} - { frac {4} {7}} & { frac {3} {7}} end {bmatrix}} = { frac {A-5I} {- 2-5}}. End {zarovnáno}}}$

Sylvesterův vzorec pak činí

${ displaystyle f (A) = f (5) A_ {1} + f (-2) A_ {2}. ,}$

Například pokud F je definováno F(X) = X⁻¹, pak Sylvestrov vzorec vyjadřuje inverzní matici F(A) = A⁻¹ tak jako

${ displaystyle { frac {1} {5}} { begin {bmatrix} { frac {3} {7}} a { frac {3} {7}} { frac {4} {7 }} & { frac {4} {7}} end {bmatrix}} - { frac {1} {2}} { begin {bmatrix} { frac {4} {7}} & - { frac {3} {7}} - { frac {4} {7}} & { frac {3} {7}} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} -0,2 & 0,3 0,4 & -0,1 end {bmatrix}}.}$

Zobecnění

Sylvesterův vzorec platí pouze pro diagonalizovatelné matice; rozšíření kvůli A. Buchheimovi, založené na Hermitovy interpolační polynomy, pokrývá obecný případ:^[4]

${ displaystyle f (A) = sum _ {i = 1} ^ {s} left [ sum _ {j = 0} ^ {n_ {i} -1} { frac {1} {j!} } phi _ {i} ^ {(j)} ( lambda _ {i}) left (A- lambda _ {i} I right) ^ {j} prod _ {j = 1, j neq i} ^ {s} left (A- lambda _ {j} I right) ^ {n_ {j}} right]}$,

kde ${ displaystyle phi _ {i} (t): = f (t) / prod _ {j neq i} vlevo (t- lambda _ {j} vpravo) ^ {n_ {j}}}$.

Stručnou podobu dále uvádí Schwerdtfeger,^[5]

${ displaystyle f (A) = součet _ {i = 1} ^ {s} A_ {i} součet _ {j = 0} ^ {n_ {i} -1} { frac {f ^ {(j )} ( lambda _ {i})} {j!}} (A- lambda _ {i} I) ^ {j}}$,

kde A_i jsou odpovídající Frobenius covariants z A

Viz také

• Adjugovaná matice
• Holomorfní funkční počet
• Formální rezoluce

Reference

• F.R. Gantmacher, Teorie matic v I (Chelsea Publishing, NY, 1960) ISBN  0-8218-1376-5 , str. 101-103
• Higham, Nicholas J. (2008). Funkce matic: teorie a výpočet. Philadelphia: Společnost pro průmyslovou a aplikovanou matematiku (SIAM). ISBN  9780898717778. OCLC  693957820.
• Merzbacher, E (1968). "Maticové metody v kvantové mechanice". Dopoledne. J. Phys. 36 (9): 814–821. doi:10.1119/1.1975154.