Zobecnění Pauliho matic - Generalizations of Pauli matrices

v matematika a fyzika, zejména kvantová informace, termín zobecněné Pauliho matice odkazuje na rodiny matic, které zobecňují (lineární algebraické) vlastnosti Pauliho matice. Zde je shrnuto několik tříd takových matic.

Zobecněné Gell-Mannovy matice (Hermitian)

Konstrukce

Nechat $E jk$ být matice s 1 v $jk$ -tý vstup a 0 jinde. Zvažte prostor d×d komplexní matice, $ℂ d \times d$ , pro pevné d.

Definujte následující matice,

F k, j d =

E kj + E jk

, pro

k < j

.

- i (E jk - E kj)

, pro

k > j

.

h k d =

Já d

matice identity pro

k = 1

,.

h k d -1 \oplus 0

, pro

1 < k < d

.

{displaystyle {sqrt {frac {2} {d (d-1)}}} vlevo (h_ {1} ^ {d-1} oplus (1-d) ight) = {sqrt {frac {2} {d ( d-1)}}} vlevo (I_ {d-1} oplus (1-d) ight),}

pro

k = d

.

Kolekce matic definovaných výše bez matice identity se nazývá zobecněné Gell-Mannovy matice, v rozměru $d$ .^[1]Symbol ⊕ (použitý v Cartan subalgebra výše) znamená přímý součet matice.

Zobecněné Gell-Mannovy matice jsou Hermitian a bez stopy konstrukcí, stejně jako Pauliho matice. Lze také zkontrolovat, zda jsou ortogonální v Hilbert – Schmidt vnitřní produkt na $ℂ d \times d$ . Podle počtu dimenzí je vidět, že překlenují vektorový prostor $d \times d$ komplexní matice, ${displaystyle {mathfrak {gl}}}$ ( $d$ , ℂ). Poté poskytují základ generátoru Lie-algebry působící na základní reprezentaci ${displaystyle {mathfrak {su}}}$ ( $d$ ).

V rozměrech $d$ = 2 a 3, výše uvedená konstrukce obnovuje Pauli a Gell-Mannovy matice, resp.

Nehermitovská generalizace Pauliho matic

Pauliho matice ${displaystyle sigma _ {1}}$ a ${displaystyle sigma _ {3}}$ uspokojit následující:

{displaystyle sigma _ {1} ^ {2} = sigma _ {3} ^ {2} = já, quad sigma _ {1} sigma _ {3} = - sigma _ {3} sigma _ {1} = e ^ {pi i} sigma _ {3} sigma _ {1}.}

Takzvaný Walsh – Hadamardova konjugační matice je

{displaystyle W = {frac {1} {sqrt {2}}} {egin {bmatrix} 1 & 1 1 & -1end {bmatrix}}.}

Jako Pauliho matice, Ž je obojí Hermitian a unitární. ${displaystyle sigma _ {1} ,; sigma _ {3}}$ a Ž uspokojit vztah

{displaystyle; sigma _ {1} = Wsigma _ {3} W ^ {*}.}

Cílem je nyní rozšířit výše uvedené do vyšších dimenzí, d, problém vyřešen uživatelem J. J. Sylvester (1882).

Konstrukce: Hodinové a posuvné matice

Opravte rozměr $d$ jako dříve. Nechat $ω = exp (2 πi / d)$ kořen jednoty. Od té doby $ω d = 1$ a $ω \neq 1$ , součet všech kořenů anuluje:

{displaystyle 1 + omega + cdots + omega ^ {d-1} = 0.}

Celé indexy pak mohou být cyklicky identifikovány mod $d$ .

Nyní definujte pomocí Sylvestera posuvná matice^[2]

{displaystyle Sigma _ {1} = {egin {bmatrix} 0 & 0 & 0 & cdots & 0 & 1 1 & 0 & 0 & cdots & 0 & 0 0 & 1 & 0 & cdots & 0 & 0 0 & 0 & 1 & cdots & 0 & 0 vdots & vdots & vdots & ddots & vdots & vdots 0 & 0 & 0 & 0 & 0

a hodinová matice,

{displaystyle Sigma _ {3} = {egin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & cdots & 0 0 & omega & 0 & cdots & 0 0 & 0 & omega ^ {2} & cdots & 0 vdots & vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & 0 & cdots & omega ^ {d-1} end {}

Tyto matice se zobecňují σ₁ a σ₃, resp.

Všimněte si, že jednotnost a stopovost dvou Pauliho matic je zachována, ale ne Hermiticita v dimenzích vyšších než dvě. Protože Pauliho matice popisují Čtveřice, Sylvester nazval analogy vyšších dimenzí „noniony“, „sedeniony“ atd.

Tyto dvě matice jsou také základním kamenem kvantová mechanická dynamika v konečných trojrozměrných vektorových prostorech^[3]^[4]^[5] jak formuloval Hermann Weyl a najdete rutinní aplikace v mnoha oblastech matematické fyziky.^[6] Matice hodin se rovná exponenciálu polohy v "hodinách" o d hodin a matice posunu je pouze operátorem překladu v tomto cyklickém vektorovém prostoru, takže exponenciál hybnosti. Jsou (konečně-dimenzionální) reprezentace odpovídajících prvků Weyl-Heisenberg na d-dimenzionální Hilbertův prostor.

Následující vztahy odrážejí a zobecňují vztahy Pauliho matic:

{displaystyle Sigma _ {1} ^ {d} = Sigma _ {3} ^ {d} = I}

a opletení

{displaystyle Sigma _ {3} Sigma _ {1} = omega Sigma _ {1} Sigma _ {3} = e ^ {2pi i / d} Sigma _ {1} Sigma _ {3},}

the Weylova formulace CCR a lze jej přepsat na

{displaystyle Sigma _ {3} Sigma _ {1} Sigma _ {3} ^ {d-1} Sigma _ {1} ^ {d-1} = omega ~.}

Na druhou stranu zobecnit Walshovu – Hadamardovu matici Ž, Poznámka

{displaystyle W = {frac {1} {sqrt {2}}} {egin {bmatrix} 1 & 1 1 & omega ^ {2-1} end {bmatrix}} = {frac {1} {sqrt {2}}} {egin {bmatrix} 1 & 1 1 & omega ^ {d-1} konec {bmatrix}}.}

Definujte, opět pomocí Sylvesteru, následující analogové matice,^[7] stále označeno Ž v mírném zneužití notace,

{displaystyle W = {frac {1} {sqrt {d}}} {egin {bmatrix} 1 & 1 & 1 & cdots & 1 1 & omega ^ {d-1} & omega ^ {2 (d-1)} & cdots & omega ^ {(d-1) ^ {2}} 1 & omega ^ {d-2} & omega ^ {2 (d-2)} & cdots & omega ^ {(d-1) (d-2)} vdots & vdots & vdots & ddots & vdots 1 & omega & omega ^ {2 } & cdots & omega ^ {d-1} end {bmatrix}} ~.}

Je zřejmé, že Ž již není Hermitan, ale stále je jednotný. Výnosy z přímého výpočtu

{displaystyle Sigma _ {1} = WSigma _ {3} W ^ {*} ~,}

což je požadovaný analogový výsledek. Tím pádem, $Ž$ , a Vandermondeova matice, matice vlastních vektorů $Σ 1$ , který má stejná vlastní čísla jako $Σ 3$ .

Když d = 2^k, Ž * je přesně matice diskrétní Fourierova transformace, převod souřadnic polohy na souřadnice hybnosti a naopak.

Kompletní rodina d² unitární (ale ne-hermitovské) nezávislé matice

${displaystyle left (Sigma _ {1} ight) ^ {k} left (Sigma _ {3} ight) ^ {j} = součet _ {m = 0} ^ {d-1} | m + kangle omega ^ {jm } langle m |,}$

poskytuje Sylvestrovu dobře známou stopovou ortogonální základnu pro ${displaystyle {mathfrak {gl}}}$ (d, ℂ), známé jako „nonions“ ${displaystyle {mathfrak {gl}}}$ (3, ℂ), „sedenions“ ${displaystyle {mathfrak {gl}}}$ (4, ℂ) atd.^[8]^[9]

Tento základ lze systematicky spojovat s výše uvedeným hermitovským základem.^[10] (Například pravomoci $Σ 3$ , Cartan subalgebra, namapujte na lineární kombinace $h k d$ s.) Lze jej dále použít k identifikaci ${displaystyle {mathfrak {gl}}}$ (d, ℂ), as $d \to \infty$ , s algebrou Poissonovy závorky.

Viz také

Poznámky

^ Kimura, G. (2003). "Blochův vektor pro systémy na úrovni N". Fyzikální písmena A. 314 (5–6): 339–349. arXiv:quant-ph / 0301152. Bibcode:2003PhLA..314..339K. doi:10.1016 / S0375-9601 (03) 00941-1., Bertlmann, Reinhold A .; Philipp Krammer (2008-06-13). "Bloch vektory pro qudity". Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 41 (23): 235303. arXiv:0806.1174. Bibcode:2008JPhA ... 41w5303B. doi:10.1088/1751-8113/41/23/235303. ISSN 1751-8121.
^ Sylvester, J. J., (1882), Univerzitní oběžníky Johns Hopkins Já: 241-242; tamtéž II (1883) 46; tamtéž III (1884) 7–9. Shrnuto v Shromážděné matematické papíry Jamese Josepha Sylvestera (Cambridge University Press, 1909) v III . online a dále.
^ Weyl, H. „Quantenmechanik und Gruppentheorie“, Zeitschrift für Physik, 46 (1927), str. 1–46, doi:10.1007 / BF02055756.
^ Weyl, H., Teorie grup a kvantové mechaniky (Dover, New York, 1931)
^ Santhanam, T. S .; Tekumalla, A. R. (1976). "Kvantová mechanika v konečných rozměrech". Základy fyziky. 6 (5): 583. Bibcode:1976FoPh .... 6..583S. doi:10.1007 / BF00715110.
^ Opravitelný přehled viz Vourdas A. (2004), „Kvantové systémy s konečným Hilbertovým prostorem“, Rep. Prog. Phys. 67 267. doi:10.1088 / 0034-4885 / 67/3 / R03.
^ Sylvester, J. J. (1867). Myšlenky na inverzní ortogonální matice, simultánní posloupnosti značek a mozaikové chodníky ve dvou nebo více barvách, s aplikacemi na Newtonovo pravidlo, s ornamentálními dlaždicemi a teorií čísel. Filozofický časopis, 34:461–475. online
^ Patera, J .; Zassenhaus, H. (1988). „Pauliho matice v dimenzích n a nejlepší gradace jednoduchých Lieových algeber typu An − 1“. Journal of Mathematical Physics. 29 (3): 665. Bibcode:1988JMP .... 29..665P. doi:10.1063/1.528006.
^ Protože všechny indexy jsou definovány cyklicky mod $d$ , ${displaystyle mathrm {tr} Sigma _ {1} ^ {j} Sigma _ {3} ^ {k} Sigma _ {1} ^ {m} Sigma _ {3} ^ {n} = omega ^ {km} d ~ delta _ {j + m, 0} delta _ {k + n, 0}}$ .
^ Fairlie, D. B .; Fletcher, P .; Zachos, C. K. (1990). "Nekonečno-dimenzionální algebry a trigonometrický základ pro klasické Lieovy algebry". Journal of Mathematical Physics. 31 (5): 1088. Bibcode:1990JMP .... 31.1088F. doi:10.1063/1.528788.

[1] Kimura, G. (2003). "Blochův vektor pro systémy na úrovni N". Fyzikální písmena A. 314 (5–6): 339–349. arXiv:quant-ph / 0301152. Bibcode:2003PhLA..314..339K. doi:10.1016 / S0375-9601 (03) 00941-1., Bertlmann, Reinhold A .; Philipp Krammer (2008-06-13). "Bloch vektory pro qudity". Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 41 (23): 235303. arXiv:0806.1174. Bibcode:2008JPhA ... 41w5303B. doi:10.1088/1751-8113/41/23/235303. ISSN 1751-8121.

[2] Sylvester, J. J., (1882), Univerzitní oběžníky Johns Hopkins Já: 241-242; tamtéž II (1883) 46; tamtéž III (1884) 7–9. Shrnuto v Shromážděné matematické papíry Jamese Josepha Sylvestera (Cambridge University Press, 1909) v III . online a dále.

[3] Weyl, H. „Quantenmechanik und Gruppentheorie“, Zeitschrift für Physik, 46 (1927), str. 1–46, doi:10.1007 / BF02055756.

[4] Weyl, H., Teorie grup a kvantové mechaniky (Dover, New York, 1931)

[5] Santhanam, T. S .; Tekumalla, A. R. (1976). "Kvantová mechanika v konečných rozměrech". Základy fyziky. 6 (5): 583. Bibcode:1976FoPh .... 6..583S. doi:10.1007 / BF00715110.

[6] Opravitelný přehled viz Vourdas A. (2004), „Kvantové systémy s konečným Hilbertovým prostorem“, Rep. Prog. Phys. 67 267. doi:10.1088 / 0034-4885 / 67/3 / R03.

[7] Sylvester, J. J. (1867). Myšlenky na inverzní ortogonální matice, simultánní posloupnosti značek a mozaikové chodníky ve dvou nebo více barvách, s aplikacemi na Newtonovo pravidlo, s ornamentálními dlaždicemi a teorií čísel. Filozofický časopis, 34:461–475. online

[8] Patera, J .; Zassenhaus, H. (1988). „Pauliho matice v dimenzích n a nejlepší gradace jednoduchých Lieových algeber typu An − 1“. Journal of Mathematical Physics. 29 (3): 665. Bibcode:1988JMP .... 29..665P. doi:10.1063/1.528006.

[9] Protože všechny indexy jsou definovány cyklicky mod $d$ , ${displaystyle mathrm {tr} Sigma _ {1} ^ {j} Sigma _ {3} ^ {k} Sigma _ {1} ^ {m} Sigma _ {3} ^ {n} = omega ^ {km} d ~ delta _ {j + m, 0} delta _ {k + n, 0}}$ .

[10] Fairlie, D. B .; Fletcher, P .; Zachos, C. K. (1990). "Nekonečno-dimenzionální algebry a trigonometrický základ pro klasické Lieovy algebry". Journal of Mathematical Physics. 31 (5): 1088. Bibcode:1990JMP .... 31.1088F. doi:10.1063/1.528788.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]