Martinův axiom - Martins axiom - Wikipedia

V matematický pole teorie množin, Martinův axiom, představil Donald A. Martin a Robert M. Solovay  (1970 ), je tvrzení, které je nezávislé na obvyklých axiomech Teorie množin ZFC. To vyplývá z hypotéza kontinua, ale je to v souladu se ZFC a negací hypotézy kontinua. Neformálně to říká, že všichni kardinálové méně než mohutnost kontinua, ${ displaystyle { mathfrak {c}}}$, chovat se zhruba jako ${ displaystyle aleph _ {0}}$. Intuici za tím lze pochopit studiem důkazu o Rasiowa – Sikorski lemma. Je to princip, který se používá k ovládání určitých nutit argumenty.

Prohlášení o Martinově axiomu

Pro každého kardinála k, definujeme výrok označený MA (k):

Pro všechny částečná objednávka P uspokojení spočetný stav řetězu (dále jen CCC) a jakékoli rodiny D hustých sad P takhle | D | ≤ k, tady je filtr F na P takhle F ∩ d je ne-prázdný pro každého d v D.

Protože je to věta o ZFC, že MA (${ displaystyle { mathfrak {c}}}$) selže, Martinův axiom se uvádí jako:

Martinův axiom (MA): Pro každého k < ${ displaystyle { mathfrak {c}}}$, MA (k) drží.

V tomto případě (pro aplikaci ccc) je antichain podmnožinou A z P tak, že jakékoli dva odlišné členy A jsou nekompatibilní (dva prvky jsou považovány za kompatibilní, pokud pod oběma v částečném pořadí existuje společný prvek). Tím se liší například od pojmu antichain v kontextu stromy.

MA (${ displaystyle aleph _ {0}}$) je prostě pravda. Toto je známé jako Rasiowa – Sikorski lemma.

MA (${ displaystyle 2 ^ { aleph _ {0}}}$) je false: [0, 1] je a kompaktní Hausdorffův prostor, který je oddělitelný a tak ccc. Nemá izolované body, takže body v něm nejsou nikde husté, ale je to spojení ${ displaystyle 2 ^ { aleph _ {0}} = { mathfrak {c}}}$ mnoho bodů. (Viz podmínka ekvivalentní k ${ displaystyle operatorname {MA} ({ mathfrak {c}})}$ níže.)

Ekvivalentní formy MA (k)

Následující prohlášení jsou ekvivalentní MA (k):

• Li X je kompaktní Hausdorff topologický prostor který uspokojuje ccc pak X není svazkem k nebo méně nikde hustá podmnožiny.
• Li P je neprázdný nahoru ccc poset a Y je rodina kofinálních podskupin P s | Y | ≤ k pak je tu sada směřující nahoru A takhle A splňuje všechny prvky Y.
• Nechat A být nenulová ccc Booleova algebra a F rodina podmnožin A s | F | ≤ k. Pak existuje booleovský homomorfismus φ: A → Z/2Z tak, že pro každého X v F buď existuje A v X s φ (A) = 1 nebo existuje horní mez b pro X s φ (b) = 0.

Důsledky

Martinův axiom má řadu dalších zajímavých kombinační, analytický a topologické důsledky:

• Spojení k nebo méně nulové sady v bez atomu σ-konečný Borelův rozměr na Polský prostor je null. Zejména svazek k nebo méně podmnožin R z Lebesgueovo opatření 0 má také Lebesgueovu míru 0.
• Kompaktní Hausdorffův prostor X s | X | < 2^k je postupně kompaktní, tj. každá sekvence má konvergentní subsekvenci.
• Žádný jiný než hlavní ultrafiltr na N má základ mohutnosti < k.
• Ekvivalentně pro všechny X v βN\N máme χ (X) ≥ k, kde χ je charakter z X, a tak χ (βN) ≥ k.
• MA (${ displaystyle aleph _ {1}}$) znamená, že produkt topologických prostorů ccc je ccc (z toho vyplývá, že neexistují žádné Suslin linky ).
• MA + ¬CH znamená, že existuje a Skupina Whitehead to není zdarma; Shelah používal toto ukázat, že Whitehead problém je nezávislá na ZFC.

Viz také

• Martinův axiom má zevšeobecňování nazývané správné vynucení axiomu a Martinovo maximum.
• Sheldon W. Davis ve své knize uvedl, že Martinův axiom je motivován Věta o kategorii Baire (Davis 2005, str. 29).

Reference

• Davis, Sheldon W. (2005). Topologie. McGraw Hill. ISBN  0-07-291006-2.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Fremlin, David H. (1984). Důsledky Martinova axiomu. Cambridge trakty z matematiky, č. 84. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN  0-521-25091-9.
• Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN  3-540-44085-2.
• Kunen, Kenneth, 1980. Teorie množin: Úvod do důkazů o nezávislosti. Elsevier. ISBN  0-444-86839-9.
• Martin, D. A .; Solovay, R. M. (1970), „Internal Cohen extensions.“, Ann. Matematika. Logika, 2 (2): 143–178, doi:10.1016/0003-4843(70)90009-4, PAN  0270904