Whitehead problém - Whitehead problem

v teorie skupin, pobočka abstraktní algebra, Whitehead problém je následující otázka:

Je každý abelianská skupina A s Ext¹(A, Z) = 0 a bezplatná abelianská skupina ?

Shelah (1974) dokázal, že Whiteheadův problém je nezávislý z ZFC, standardní axiomy teorie množin.

Upřesnění

Podmínka Ext¹(A, Z) = 0 lze ekvivalentně formulovat takto: kdykoli B je abelianská skupina a F : B → A je surjektivní skupinový homomorfismus jehož jádro je izomorfní do skupiny celá čísla Z, pak existuje skupina homomorfismus G : A → B s fg = id_A. Abelianské skupiny A splňující tuto podmínku se někdy nazývají Skupiny Whitehead, takže se Whiteheadův problém ptá: je každá skupina Whiteheadů zdarma?

Pozor: Konverzace Whiteheadova problému, totiž, že každá volná abelianská skupina je Whitehead, je dobře známou skupinově teoretickou skutečností. Někteří autoři volají Skupina Whitehead jen a nesvobodný skupina A uspokojující Ext¹(A, Z) = 0. Whiteheadův problém se pak ptá: existují Whiteheadské skupiny?

Shelahův důkaz

Saharon Shelah (1974 ) ukázal, že vzhledem k kanonické ZFC axiomový systém, problém je nezávislé na obvyklých axiomech teorie množin. Přesněji ukázal, že:

Pokud je každá sada konstruovatelný, pak je každá skupina Whiteheadů zdarma;
Li Martinův axiom a negace hypotéza kontinua oba drží, pak existuje nesvobodná skupina Whitehead.

Protože konzistence ZFC implikuje konzistenci obou následujících:

The axiom konstruovatelnosti (což tvrdí, že všechny sady jsou konstruovatelné);
Martinův axiom plus negace hypotéza kontinua,

Whiteheadův problém nelze v ZFC vyřešit.

Diskuse

J. H. C. Whitehead, motivováno druhý bratranců problém, poprvé představoval problém v 50. letech. Stein (1951) odpověděl na otázku kladně pro počitatelný skupiny. Pokrok u větších skupin byl pomalý a problém byl považován za důležitý algebra už několik let.

Výsledek Shelah byl zcela neočekávaný. Zatímco existence nerozhodnutelných prohlášení byla známa od té doby Gödelova věta o neúplnosti z roku 1931, předchozí příklady nerozhodnutelných prohlášení (například hypotéza kontinua ) byli všichni v čistotě teorie množin. Whiteheadův problém byl prvním čistě algebraickým problémem, který se ukázal jako nerozhodnutelný.

Shelah (1977, 1980 ) později ukázal, že Whiteheadův problém zůstává nerozhodnutelný, i když se předpokládá hypotéza kontinua. Whiteheadova domněnka je pravdivá, pokud jsou všechny množiny konstruovatelný. Že toto a další výroky o nespočetných abelianských skupinách jsou prokazatelně nezávislé ZFC ukazuje, že teorie takových skupin je velmi citlivá na předpokládaný základ teorie množin.

Viz také

Reference

Eklof, Paul C. (1976), „Whiteheadův problém je nerozhodný“, Americký matematický měsíčník„The American Mathematical Monthly, sv. 83, č. 10, 83 (10): 775–788, doi:10.2307/2318684, JSTOR 2318684 Vysvětlující popis Shelahova důkazu.
Eklof, P.C. (2001) [1994], "Whitehead problém", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
Shelah, S. (1974), „Infinite Abelian groups, Whitehead problem and some konstrukces“, Israel Journal of Mathematics, 18 (3): 243–256, doi:10.1007 / BF02757281, PAN 0357114
Shelah, S. (1977), „Skupiny Whitehead nemusí být svobodné, i když předpokládáme CH. I“, Israel Journal of Mathematics, 28 (3): 193–203, doi:10.1007 / BF02759809, hdl:10338.dmlcz / 102427, PAN 0469757
Shelah, S. (1980), „Skupiny Whitehead nemusí být svobodné, i když předpokládáme CH. II“, Israel Journal of Mathematics, 35 (4): 257–285, doi:10.1007 / BF02760652, PAN 0594332
Stein, Karl (1951), „Analytische Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen zu vorgegebenen Periodizitätsmoduln und das zweite Cousinsche Problem“, Matematika. Ann., 123: 201–222, doi:10.1007 / BF02054949, PAN 0043219