Ultrafiltr - Ultrafilter - Wikipedia

V matematický pole teorie množin, an ultrafiltr na dané částečně objednaná sada (poset) P je určitá podmnožina P, jmenovitě a maximální filtr na P, tj správný filtr na P které nelze zvětšit na větší správný filtr P.
Li X je libovolná množina napájecí sada ℘(X), objednáno někým nastavit zařazení, je vždy a Booleova algebra a tudíž poset a (ultra) filtry na ℘ (X) se obvykle nazývají „(ultra) filtry na X".[poznámka 1] Ultrafiltr na sadě X lze považovat za konečně aditivní opatření na X. V tomto pohledu každá podskupina X je považován buď “téměř vše „(má míru 1) nebo„ téměř nic “(má míru 0), podle toho, zda patří k danému ultrafiltru nebo ne.[Citace je zapotřebí ]
Ultrafiltry mají mnoho aplikací v teorii množin, teorie modelů, a topologie.[1]:186
Ultrafiltry na částečné objednávky
v teorie objednávek, an ultrafiltr je podmnožina a částečně objednaná sada to je maximální mezi všemi správné filtry. To znamená, že jakýkoli filtr, který správně obsahuje ultrafilter, musí být stejný jako celý poset.
Formálně, pokud P je množina, tedy částečně seřazená podle (≤)
- podmnožina F z P se nazývá a filtr na P -li
- F je neprázdný,
- pro každého X, y v F, existuje nějaký prvek z v F takhle z ≤ X a z ≤ y, a
- pro každého X v F a y v P, X ≤ y to naznačuje y je v F, také;
- A správná podmnožina U z P se nazývá ultrafiltr na P -li
- U je zapnutý filtr P, a
- neexistuje správný filtr F na P který se správně rozšiřuje U (to je takový U je správná podmnožina F).
Zvláštní případ: ultrafiltr na booleovské algebře
Důležitý zvláštní případ konceptu nastane, pokud uvažovaná poseta je a Booleova algebra. V tomto případě se ultrafiltry vyznačují tím, že obsahují pro každý prvek A booleovské algebry, přesně jeden z prvků A a ¬A (druhý je Booleovský doplněk z A):
Li P je booleovská algebra a F je zapnutý správný filtr P, pak jsou následující tvrzení ekvivalentní:
- F je ultrafiltr na P,
- F je primární filtr na P,
- pro každého A v P, buď A je v F nebo (¬A) je v F.[1]:186
Důkaz o 1. ⇔ 2. je uveden také v (Burris, Sankappanavar, 2012, Corollary 3.13, str.133).[2]
Navíc ultrafiltry na booleovské algebře mohou být spojeny s maximální ideály a homomorfismy na 2prvkovou booleovskou algebru {true, false} (také známá jako 2hodnotné morfismy ) jak následuje:
- Vzhledem k homomorfismu booleovské algebry na {true, false}, inverzní obraz „true“ je ultrafilter a inverzní obraz „false“ je maximální ideál.
- Vzhledem k maximálnímu ideálu booleovské algebry je jeho doplňkem ultrafilter a existuje jedinečný homomorfismus při {true, false} převádění maximálního ideálu na "false".
- Vzhledem k ultrafilteru na booleovské algebře je jeho doplněk maximálním ideálem a existuje jedinečný homomorfismus při {true, false} převádění ultrafiltra na "true".[Citace je zapotřebí ]
Zvláštní případ: ultrafiltr na sadě výkonů sady
Vzhledem k libovolné sadě X, své napájecí sada ℘ (X), objednáno někým nastavit zařazení, je vždy booleovská algebra; proto výsledky výše uvedené části Zvláštní případ: Booleova algebra aplikovat. (Ultra) filtr na ℘ (X) se často nazývá pouze „(ultra) filtr X".[poznámka 1] Výše uvedené formální definice lze konkrétně rozdělit na případ Powerset takto:
Vzhledem k libovolné sadě X, ultrafiltr na ℘ (X) je sada U skládající se z podmnožin X takové, že:
- Prázdná sada není prvkem U.
- Li A a B jsou podmnožiny X, sada A je podmnožinou B, a A je prvek U, pak B je také prvkem U.
- Li A a B jsou prvky U, pak také průsečík z A a B.
- Li A je podmnožinou X, pak buď[poznámka 2] A nebo jeho relativní doplněk X \ A je prvek U.
Další způsob pohledu na ultrafiltry na napájecí sadě ℘ (X) je následující: pro daný ultrafiltr U definovat funkci m na ℘ (X) nastavením m(A) = 1 pokud A je prvek U a m(A) = 0 jinak. Taková funkce se nazývá a 2-ceněný morfismus. Pak m je konečně aditivní, a tedy a obsah na ℘ (X) a každá vlastnost prvků X je buď pravda téměř všude nebo téměř všude. Nicméně, m obvykle není spočetně aditivní, a proto nedefinuje a opatření v obvyklém smyslu.
Pro filtr F dalo by se říci, že to není ultrafiltr m(A) = 1 pokud A ∈ F a m(A) = 0 pokud X \ A ∈ Fodchází m jinde nedefinováno.[Citace je zapotřebí ][je zapotřebí objasnění ]
Aplikace
Ultrafiltry na výkonových sadách jsou užitečné v topologie, zejména ve vztahu k kompaktní Hausdorff mezery a v teorie modelů při stavbě ultraprodukty a ultrapowery. Každý ultrafiltr v kompaktním Hausdorffově prostoru konverguje přesně do jednoho bodu. Podobně hrají v ultrafiltrech na booleovských algebrách ústřední roli Stoneova věta o reprezentaci.
Sada G všech ultrafiltrů posetu P lze topologizovat přirozeným způsobem, který ve skutečnosti úzce souvisí s výše zmíněnou teorémou reprezentace. Pro jakýkoli prvek A z P, nechť DA = {U ∈ G | A ∈ U}. To je nejužitečnější, když P je opět booleovská algebra, protože v této situaci je množina všech DA je základem pro kompaktní Hausdorffovu topologii G. Zvláště při zvažování ultrafiltrů na výkonové sadě ℘ (S), výsledný topologický prostor je Zhutnění Stone – Čech a diskrétní prostor mohutnosti |S|.
The ultraprodukt stavba v teorie modelů k výrobě používá ultrafiltry základní rozšíření struktur. Například při konstrukci hyperrealistická čísla jako ultraprodukt reálná čísla, doména diskurzu je rozšířen z reálných čísel na sekvence reálných čísel. Tento sekvenční prostor je považován za nadmnožina realů identifikací každého reálného s odpovídajícím konstantním sledem. Chcete-li rozšířit známé funkce a vztahy (např. + A <) z realit do hyperrealů, přirozenou myšlenkou je definovat je bodově. To by však ztratilo důležité logické vlastnosti realit; například pointwise
v teorie geometrických skupin, k definování se používají jiné než hlavní ultrafiltry asymptotický kužel skupiny. Tato konstrukce přináší přísný způsob zvážení dívat se na skupinu z nekonečna, to je geometrie skupiny ve velkém měřítku. Asymptotické kužele jsou konkrétními příklady ultralimity z metrické prostory.
Gödelův ontologický důkaz Boží existence používá jako axiom, že soubor všech „pozitivních vlastností“ je ultrafiltr.
v teorie sociální volby, pro definici pravidla se používají ultrafiltry jiné než hlavní (tzv. a funkce sociálního zabezpečení) pro agregaci preferencí nekonečně mnoho jednotlivců. Proti Věta o nemožnosti šipky pro konečně mnoho jednotlivců takové pravidlo splňuje podmínky (vlastnosti), které navrhuje Arrow (například Kirman a Sondermann, 1972).[3] Mihara (1997,[4] 1999)[5] ukazuje však, že tato pravidla mají pro vědce v sociální oblasti prakticky omezený význam, protože jsou nealgoritmická nebo nevypočitatelná.
Druhy a existence ultrafiltrů
Existují dva velmi odlišné typy ultrafiltru: hlavní a bezplatný. A ředitel školy (nebo pevnýnebo triviální) ultrafilter je filtr obsahující a nejmenší prvek. V důsledku toho jsou hlavní ultrafiltry ve formě FA = {X | A ≤ X} pro některé (ale ne všechny) prvky A daného posetu. V tomto případě A se nazývá hlavní prvek ultrafiltru. Jakýkoli ultrafiltr, který není principálem, se nazývá a volný, uvolnit (nebo non-jistina) ultrafiltr.
Pro ultrafiltry na výkonové sadě ℘ (S), hlavní ultrafiltr se skládá ze všech podmnožin S které obsahují daný prvek s z S. Každý ultrafiltr na ℘ (S) to je také a hlavní filtr je této formy.[1]:187 Proto ultrafiltr U na ℘ (S) je jistina právě tehdy, pokud obsahuje konečnou množinu.[Poznámka 3] Li S je nekonečný, ultrafiltr U na ℘ (S) je tedy non-jistina, právě když obsahuje Fréchetův filtr z cofinite podmnožiny z S.[poznámka 4][Citace je zapotřebí ] Li S je konečný, každý ultrafiltr je principiální.[1]:187
Lze ukázat, že každý filtr na booleovské algebře (nebo obecněji libovolná podmnožina s vlastnost konečné křižovatky ) je obsažen ve ultrafiltru (viz Lemma ultrafiltru ) a že tedy existují bezplatné ultrafiltry, ale důkazy zahrnují axiom volby (AC) ve formě Zornovo lemma. Na druhou stranu tvrzení, že každý filtr je obsažen ve ultrafiltru, neznamená AC. Ve skutečnosti je to ekvivalent k Booleova primární věta o ideálu (BPIT), známý mezilehlý bod mezi axiomy Teorie množin Zermelo – Fraenkel (ZF) a teorie ZF rozšířená o axiom volby (ZFC). Obecně platí, že důkazy zahrnující axiom výběru nevytvářejí explicitní příklady bezplatných ultrafiltrů, ačkoli je možné najít explicitní příklady v některých modelech ZFC; například, Gödel ukázal, že toho lze dosáhnout v konstruovatelný vesmír kde lze zapsat explicitní funkci globální volby. V ZF bez axiomu volby je možné, že každý ultrafilter je principiální.[6]
Ultrafiltry na sadách
- A základna filtru je neprázdná rodina sad, která má vlastnost konečné křižovatky (tj. všechny konečné křižovatky jsou neprázdné). Ekvivalentně je základem filtru neprázdná rodina sad, která je obsažena v nějaký správný filtr. Nejmenší (relativní k ⊆) správný filtr obsahující danou základnu filtru se říká generováno podle podkladu filtru.
- The nahoru uzavření v X rodiny sad P je sada { S : A ⊆ S ⊆ X pro některé A ∈ P }.
- A předfiltr P je neprázdný a správný (tj. ∅ ∉ P) rodina sad, která je směřující dolů, což znamená, že pokud B, C ∈ P pak nějaké existují A ∈ P takhle A ⊆ B ∩ C. Ekvivalentně je předfiltr jakýkoli soubor sad P jehož uzávěr směrem nahoru je správným filtrem, v takovém případě se tento filtr nazývá filtr vygenerovaný P.
- The duální vstup X[7] rodiny sad U je sada X ∖ U := { X ∖ B : B ∈ U }.
Zobecnění na ultra předfiltry
- Rodina U ≠ ∅ podskupin X je nazýván ultra -li ∅ ∉ U a jsou splněny některé z následujících ekvivalentních podmínek:[7][8]
- Pro každou sadu S ⊆ X existuje nějaká sada B ∈ U takhle B ⊆ S nebo B ⊆ X ∖ S (nebo ekvivalentně takový B ∩ S rovná se B nebo ∅).
- Pro každou sadu S ⊆ B existuje nějaká sada B ∈ U takhle B ∩ S rovná se B nebo ∅.
- Tady, B je definováno jako sjednocení všech sad v U.
- Tato charakteristika „U je ultra "nezávisí na sadě X, takže za zmínku o sadě X je volitelné při použití výrazu „ultra“.
- Pro každý soubor S (nemusí to být nutně ani podmnožina X ) existuje nějaká sada B ∈ U takhle B ∩ S rovná se B nebo ∅.
- Li U tuto podmínku splňuje každý nadmnožina PROTI ⊇ U. Zejména sada PROTI je ultra právě tehdy ∅ ∉ PROTI a PROTI obsahuje jako podmnožinu některé ultra rodiny sad.
Substáze filtru, která je ultra, je nutně předfiltr.
- An ultra předfiltr[7][8] je předfiltr, který je ultra. Ekvivalentně je to ultrapodkladová základna filtru.
- An ultrafiltr[7][8] na X je zapnutý správný filtr X to je ultra. Ekvivalentně je to jakýkoli vhodný filtr X který je generován ultra předfiltrem.
- Interpretace jako velký sady
Prvky správného filtru F na X lze považovat za "velké sady (relativně k F) "a doplňky v X velkých sad lze považovat za „malé“ sady[9] („malé sady“ jsou přesně prvky v ideálu X ∖ F). Obecně mohou existovat podmnožiny X to jsou ani velké, malé, případně zároveň velké i malé. Duální ideál je filtr (tj. Správný), pokud neexistuje žádná sada, která je velká i malá, nebo ekvivalentně, pokud ∅ není velký.[9] Filtr je ultra, právě když každý podmnožina X je buď velký, nebo malý. S touto terminologií lze definující vlastnosti filtru restartovat jako: (1) jakákoli nadmnožina velké množiny je velká množina, (2) průsečík dvou (nebo konečně mnoha) velkých množin je velký, (3) X je velká sada (tj. F ≠ ∅), (4) prázdná množina není velká. Různé dvojí ideály dávají různé představy o „velkých“ souborech.
- Ultra předfiltry jako maximální předfiltry
K charakterizaci ultra předfiltrů z hlediska „maximality“ je zapotřebí následující vztah.
- Vzhledem k tomu, dvě rodiny sad M a N, rodina M se říká, že je hrubší[10][11] než N, a N je jemnější než a podřízený M, psaný M ≤ N nebo N ⊢ M, pokud pro každého C ∈ M, některé jsou F ∈ N takhle F ⊆ C. Rodiny M a N jsou nazývány ekvivalent -li M ≤ N a N ≤ M. Rodiny M a N jsou srovnatelný pokud je jedna z těchto sad jemnější než druhá.[10]
Vztah podřízenosti, tj. ≤ , je předobjednávka výše uvedená definice „ekvivalentu“ tedy tvoří vztah ekvivalence. Li M ⊆ N pak M ≤ N ale konverzace obecně neplatí. Pokud však N je nahoru zavřený, například filtr M ≤ N kdyby a jen kdyby M ⊆ N. Každý předfiltr je ekvivalentní filtru, který generuje. To ukazuje, že je možné, aby filtry byly ekvivalentní sadám, které nejsou filtry.
Pokud dvě rodiny sad M a N jsou ekvivalentní, pak buď oba M a N jsou ultra (resp. předfiltry, filtrační základny) nebo jinak ani jeden z nich není ultra (resp. předfiltr, filtrační základna). Zejména, pokud základna filtru není také předfiltrem, pak je ne ekvivalentní filtru nebo předfiltru, který generuje. Li M a N jsou oba zapnuté filtry X pak M a N jsou ekvivalentní tehdy a jen tehdy, když M = N. Pokud je správný filtr (resp. Ultrafiltr) ekvivalentní rodině sad M pak M je nutně předfiltr (resp. ultra předfiltr). Pomocí následující charakterizace je možné definovat předfiltry (resp. Ultra předfiltry) pouze pomocí konceptu filtrů (resp. Ultrafiltrů) a podřízenosti:
- Rodina sad je předfiltr (resp. Ultra předfiltr), pokud je ekvivalentní správnému filtru (resp. Ultrafiltru).
- A zapnut maximální předfiltr X[7][8] je předfiltr U ⊆ ℘(X) který splňuje kteroukoli z následujících ekvivalentních podmínek:
- U je ultra.
- U je maximální na Předfiltry (X) (s ohledem na ≤ ), což znamená, že pokud P ∈ Předfiltry (X) splňuje U ≤ P pak P ≤ U.[8]
- Neexistuje žádný předfiltr správně podřízený U.[8]
- Pokud je správný filtr F na X splňuje U ≤ P pak P ≤ U.
- Správné na X generováno uživatelem U je ultra.
Charakterizace
Na ℘ nejsou žádné ultrafiltry (∅ ), takže se dále předpokládá, že X ≠ ∅.
Filtr subzákladna U na X je ultrafiltr na X pouze tehdy, pokud platí některá z následujících ekvivalentních podmínek:[7][8]
- pro všechny S ⊆ X, buď S ∈ U nebo X ∖ S ∈ U.
- U je maximální podkladová vrstva filtru na X, což znamená, že pokud F je zapnuta libovolná podkladová vrstva filtru X pak U ⊆ F naznačuje U = F.[9]
Správný filtr U na X je ultrafiltr na X pouze tehdy, pokud platí některá z následujících ekvivalentních podmínek:
- U je ultra;
- U je generován ultra předfiltr;
- Pro jakoukoli podmnožinu S ⊆ X, S ∈ U nebo X ∖ S ∈ U.[9]
- Takže ultrafiltr U rozhodne pro každého S ⊆ X zda S je „velký“ (tj. S ∈ U) nebo „malý“ (tj. X ∖ S ∈ U).[12]
- Pro každou podmnožinu A z X, buď[poznámka 2] A je v U nebo (X \ A) je.
- U ∪ (X ∖ U) = ℘(X). Tuto podmínku lze přepsat jako: ℘(X) je rozdělen na U a jeho dvojí X ∖ U.
- Sady P a X ∖ P jsou disjunktní pro všechny předfiltry P na X.
- ℘(X) ∖ U = { S ∈ ℘(X) : S ∉ U } je ideální na X.[9]
- Pro každou konečnou rodinu S1, ..., Sn podskupin X (kde n ≥ 1), pokud S1 ∪ ⋅⋅⋅ ∪ Sn ∈ U pak Si ∈ U pro nějaký index i.
- Slovy, „velká“ množina nemůže být konečným spojením množin, které nejsou velké.[13]
- Pro všechny podskupiny R, S ⊆ X, pokud R ∪ S ∈ U pak R ∈ U nebo S ∈ U (filtr s touto vlastností se nazývá a primární filtr).
- Pro všechny podskupiny R, S ⊆ X takhle R ∩ S = ∅, pokud R ∪ S ∈ U pak buď R ∈ U nebo S ∈ U.
- U je maximální filtr; to je, pokud F je zapnutý filtr X takhle U ⊆ F pak U = F. Ekvivalentně U je maximální filtr, pokud žádný filtr neexistuje F na X který obsahuje U jako správná podmnožina (tj. to je přísně jemnější než U).[9]
Zdarma nebo jistina
Li P je libovolná neprázdná rodina sad, pak Jádro z P je křižovatkou všeho v P:
- ker P := B[14]
Neprázdná rodina sad P je nazýván:
- volný, uvolnit -li ker P = ∅ a pevný jinak (tj. pokud ker P ≠ ∅),
- ředitel školy -li ker P ∈ P,
- jistina v bodě -li ker P ∈ P a ker P je singletonová sada; v tomto případě, pokud ker P = { X } pak P se říká, že je principal ve společnosti X.
Pokud je to rodina sad P je tedy opraven P je ultra, právě když je nějaký prvek P je singletonová sada, v takovém případě P bude nutně předfiltr. Každý hlavní předfiltr je opraven, takže hlavní předfiltr P je ultra právě tehdy ker P je singletonová sada. Sada singletonů je ultra, právě když je jejím jediným prvkem také sada singletonů.
Každý filtr zapnutý X to je hlavní v jednom bodě, je ultrafiltr, a pokud navíc X je konečný, pak na něm nejsou žádné ultrafiltry X kromě těchto.[14] Pokud v sadě existuje bezplatný ultrafiltr (nebo dokonce filtrační základna) X pak X musí být nekonečný.
Následující věta ukazuje, že každý ultrafilter spadá do jedné ze dvou kategorií: buď je volný, nebo je to hlavní filtr generovaný jediným bodem.
Tvrzení — Li U je ultrafiltr na X pak následující jsou ekvivalentní:
- U je fixní nebo ekvivalentně není zdarma.
- U je hlavní.
- Nějaký prvek U je konečná množina.
- Nějaký prvek U je singletonová sada.
- U je jistina v určitém okamžiku X, což znamená ker U = { X } ∈ U pro X ∈ X.
- U dělá ne obsahovat Fréchetův filtr X.
Příklady, vlastnosti a dostatečné podmínky
Li U a S jsou rodiny sad takové, že U je ultra, ∅ ∉ S, a U ≤ S, pak S je nutně ultra. Podklad filtru U to není předfiltr, nemůže být ultra; ale je stále možné, aby předfiltr a filtr generované U být ultra.
Předpokládat U ⊆ ℘(X) je ultra a Y je sada. Stopa U ∩ Y := { B ∩ Y : B ∈ U } je ultra, právě když neobsahuje prázdnou sadu. Dále alespoň jedna ze sad [U ∩ Y] ∖ { ∅ } a [U ∩ (X ∖ Y)] ∖ { ∅ } bude ultra (tento výsledek se vztahuje na jakýkoli konečný oddíl X). Li F1, ..., Fn jsou zapnuty filtry X, U je ultrafiltr na X, a F1 ∩ ⋅⋅⋅ ∩ Fn ≤ U, pak tam jsou některé Fi to uspokojuje Fi ≤ U.[15] Tento výsledek nemusí nutně platit pro nekonečnou rodinu filtrů.[15]
Obrázek pod mapou F : X → Y ultra sady U ⊆ ℘(X) je opět ultra a pokud U je ultra předfiltr, tak je F(U ). Vlastnost být ultra je zachována pod bijekcemi. Předobraz ultrafiltru však nemusí být nutně ultra, a to ani v případě, že je mapa surjektivní. Například pokud X má více než jeden bod a pokud je rozsah F : X → Y sestává z jediného bodu { y } pak { { y } } je zapnutý ultra předfiltr Y ale jeho preimage není ultra. Alternativně, pokud U je hlavní filtr generovaný bodem v Y ∖ F (X) pak preimage of U obsahuje prázdnou sadu a není tedy ultra.
Elementární filtr indukovaný nekonečnou posloupností, jejíž všechny body jsou odlišné, je ne ultrafiltr.[15] Li n = 2, Un označuje množinu skládající se ze všech podskupin X mít mohutnost n, a pokud X obsahuje alespoň 2 n - 1 (= 3) tedy odlišné body Un je ultra, ale není obsažen v žádném předfiltru. Tento příklad zobecňuje na jakékoli celé číslo n > 1 a také n = 1 -li X obsahuje více než jeden prvek. Ultra sady, které také nejsou předfiltrem, se používají jen zřídka.
Pro každého a každý nechat Li je ultrafiltr na X pak soubor všech takhle je ultrafiltr na [16]
Monad struktura
The funktor přidružení k libovolné sadě X soubor U(X) všech ultrafiltrů na X tvoří a monad volal ultrafiltrační monad. Mapa jednotek
odešle libovolný prvek X ∈ X k hlavnímu ultrafiltru danému X.
Tato monáda připouští koncepční vysvětlení jako codensity monad začlenění kategorie konečných množin do kategorie všech sad.[17]
Ultrafiltrační lemma
Lemma ultrafiltra byla poprvé prokázána Alfred Tarski v roce 1930.[16]
Lemma / princip / věta ultrafiltra[10] — Každý správný filtr na sadě X je obsažen v nějakém ultrafiltru na X.
Lemma ultrafiltra je ekvivalentní každému z následujících příkazů:
- Pro každý předfiltr na sadě X, je zapnutý maximální předfiltr X podřízen tomu.[7]
- Každá správná podkladová vrstva filtru v sadě X je obsažen v nějakém ultrafiltru na X.
Následující výsledky lze prokázat pomocí ultrafiltračního lemmatu.
Na sadě existuje bezplatný ultrafiltr X kdyby a jen kdyby X je nekonečný. Každý správný filtr se rovná průsečíku všech ultrafiltrů, které jej obsahují.[10] Protože existují filtry, které nejsou ultra, ukazuje to, že průnik rodiny ultrafiltrů nemusí být ultra. Rodina sad F ≠ ∅ lze rozšířit na bezplatný ultrafiltr právě tehdy, když je průnikem jakékoli konečné rodiny prvků F je nekonečný.
Vztahy k ostatním prohlášením podle ZF
V této části Teorie množin Zermelo – Fraenkel (ZF) se předpokládá. Lemma ultrafiltru je ekvivalentní s Booleova primární věta o ideálu, s ekvivalencí prokazatelnou v teorii množin ZF bez axiomu volby. Za předpokladu ZF je ultrafilterové lema ekvivalentní s ultranetovým lematem: every síť má univerzální podsíť.[18] Podle definice síť v X je ultranet nebo univerzální síť pokud pro každou podmnožinu S ⊆ X, síť je nakonec v S nebo X ∖ S.
Každý filtr, který obsahuje sadu singletonů, je nutně ultrafilter a daný X ∈ X, definice diskrétního ultrafiltru { S ⊆ X : X ∈ S } nevyžaduje více než ZF. Li X je konečný, pak je každý ultrafiltr v bodě diskrétní, takže volné ultrafiltry mohou existovat pouze na nekonečných sadách. Zejména pokud X je konečné, pak lze ultrafiltrační lemma dokázat z axiomů ZF.
Existenci volného ultrafiltru na nekonečných množinách lze prokázat, pokud se předpokládá axiom výběru. Obecněji lze ultrafiltrační lemma prokázat pomocí axiom volby, který ve zkratce uvádí, že jakýkoli kartézský součin neprázdných sad je neprázdných. Podle ZF je axiomem volby zejména ekvivalent do (a) Zornovo lemma, (b) Tychonoffova věta, (c) každý vektorový prostor má základ a další výroky. Lemma ultrafiltru je však přísně slabší než axiom výběru.
Lemma ultrafiltra má mnoho aplikace v topologii. Lemma ultrafiltru lze použít k prokázání Hahn-Banachova věta, Věta o Alexanderově podstavci, a že jakýkoli produkt kompaktní Hausdorff prostory jsou kompaktní (což je speciální případ Tychonoffova věta ).[18] Lemma ultrafiltra může být použita k prokázání Axiomu volby pro konečné množiny; výslovně se jedná o tvrzení: Dáno Já ≠ ∅ a jakákoli rodina (Xi)i ∈ Já neprázdného konečný sady, jejich produkt není prázdný.[18]
Úplnost
The úplnost ultrafiltru U na výkonové sadě je nejmenší kardinál κ tak, že existují κ prvky U jehož křižovatka není v U. Definice ultrafiltru znamená, že úplnost jakéhokoli ultrafiltračního modulu je minimálně . Ultrafiltr, jehož úplnost je větší než —To znamená průnik jakékoli spočetné sbírky prvků U je stále v U-je nazýván počítatelně kompletní nebo σ-kompletní.
Úplnost spočítatelně úplná neprincipální ultrafiltr na výkonové sadě je vždy měřitelný kardinál.[Citace je zapotřebí ]
Objednávání na ultrafiltrech
The Objednávání Rudin – Keisler (pojmenoval podle Mary Ellen Rudinová a Howard Jerome Keisler ) je předobjednávka o třídě ultrafiltrů výkonových sad definovaných takto: pokud U je ultrafiltr na ℘(X), a PROTI ultrafiltr na ℘(Y), pak PROTI ≤RK U pokud existuje funkce F: X → Y takhle
- C ∈ PROTI ⇔ F -1[C] ∈ U
pro každou podmnožinu C z Y.
Ultrafiltry U a PROTI jsou nazývány Rudin – Keislerův ekvivalent, označeno U ≡RK PROTI, pokud existují sady A ∈ U a B ∈ PROTIa bijekce F: A → B který splňuje výše uvedenou podmínku. (Li X a Y mají stejnou mohutnost, lze definici zjednodušit opravou A = X, B = Y.)
Je známo, že ≡RK je jádro ≤RK, tj. to U ≡RK PROTI kdyby a jen kdyby U ≤RK PROTI a PROTI ≤RK U.[19]
Ultrafiltry na ℘ (ω)
Existuje několik speciálních vlastností, které ultrafiltr na ℘ (ω ), které se mohou hodit v různých oblastech teorie množin a topologie.
- Nejvýznamnější ultrafiltr U se nazývá a P-bod (nebo slabě selektivní) pokud pro každého rozdělit { Cn | n<ω } z ω takové, že ∀n<ω: Cn ∉ U, existují nějaké A ∈ U takhle A ∩ Cn je konečná sada pro každého n.
- Nejvýznamnější ultrafiltr U je nazýván Ramsey (nebo selektivní) pokud pro každý oddíl { Cn | n<ω } z ω takové, že ∀n<ω: Cn ∉ U, existují nějaké A ∈ U takhle A ∩ Cn je singletonová sada pro každého n.
Je to triviální pozorování, že všechny ultrafiltry Ramsey jsou P-body. Walter Rudin dokázal, že hypotéza kontinua naznačuje existenci Ramseyho ultrafiltrů.[20]Mnoho hypotéz ve skutečnosti naznačuje existenci Ramseyho ultrafiltrů, včetně Martinův axiom. Saharon Shelah později ukázal, že je konzistentní, že neexistují žádné ultrafiltry P-bodu.[21] Existence těchto typů ultrafiltrů tedy je nezávislý z ZFC.
P-body se nazývají jako takové, protože jsou topologické P-body v obvyklé topologii prostoru βω ω jiných než hlavních ultrafiltrů. Jméno Ramsey pochází Ramseyova věta. Abychom pochopili proč, lze dokázat, že ultrafiltr je Ramsey právě tehdy, když pro každé 2 zbarvení [ω]2 existuje prvek ultrafiltru, který má homogenní barvu.
Ultrafiltr na ℘ (ω) je Ramsey právě tehdy, když je minimální v Rudinově-Keislerově pořadí ultrafiltrů s jiným než hlavním pohonem.[Citace je zapotřebí ]
Viz také
Poznámky
- ^ A b Li X je také částečně nařízeno, je třeba věnovat zvláštní pozornost tomu, aby bylo z kontextu pochopeno, zda (ultra) filtr na ℘ (X) nebo zapnutý (ultra) filtr X je myšleno; oba druhy (ultra) filtrů jsou zcela odlišné. Někteří autoři[Citace je zapotřebí ] použít „(ultra) filtr“ z částečná uspořádaná množina „vs.“na libovolná sada "; tj. zapíše" (ultra) filtr X„zkrácený“ (ultra) filtr ℘ (X)".
- ^ A b Vlastnosti 1 a 3 to naznačují A a X \ A nemůže oba být prvky U.
- ^ Chcete-li zobrazit směr „pokud“: Pokud {s1,...,sn} ∈ U, pak {s1} ∈ U, nebo ..., nebo {sn} ∈ U indukcí dne n, s použitím č. 2 z výše charakterizační věta. To znamená, že některési} je hlavním prvkem U.
- ^ U není hlavní, pokud neobsahuje žádnou konečnou množinu, tj. (č. 3 z výše charakterizační věta), pokud obsahuje všechny cofinite množiny, tj. každého člena Fréchetova filtru.
Reference
- ^ A b C d Davey, B. A .; Priestley, H. A. (1990). Úvod do mřížek a řádu. Cambridge matematické učebnice. Cambridge University Press.
- ^ Kirman, A .; Sondermann, D. (1972). „Arrowova věta, mnoho agentů a neviditelní diktátoři“. Journal of Economic Theory. 5 (2): 267–277. doi:10.1016/0022-0531(72)90106-8.
- ^ Mihara, H. R. (1997). „Arrowova věta a Turingova vypočítatelnost“ (PDF). Ekonomická teorie. 10 (2): 257–276. CiteSeerX 10.1.1.200.520. doi:10,1007 / s001990050157. Archivovány od originál (PDF) dne 12. 8. 2011 Přetištěno v K. V. Velupillai, S. Zambelli a S. Kinsella, ed., Computable Economics, International Library of Critical Writings in Economics, Edward Elgar, 2011.
- ^ Mihara, H. R. (1999). „Arrowova věta, spočetně mnoho agentů a viditelnější neviditelní diktátoři“. Journal of Mathematical Economics. 32 (3): 267–277. CiteSeerX 10.1.1.199.1970. doi:10.1016 / S0304-4068 (98) 00061-5.
- ^ Halbeisen, L. J. (2012). Teorie kombinatorické množiny. Springer Monografie z matematiky. Springer.
- ^ A b C d E F G Narici & Beckenstein 2011, s. 2-7.
- ^ A b C d E F G Dugundji 1966, str. 219-221.
- ^ A b C d E F Schechter 1996, str. 100–130.
- ^ A b C d Bourbaki 1989, str. 57-68.
- ^ Schubert 1968, str. 48-71.
- ^ Higgins, Cecelia (2018). „Ultrafiltry v teorii množin“ (PDF). math.uchicago.edu. Citováno 16. srpna 2020.
- ^ Kruckman, Alex (7. listopadu 2012). „Poznámky k ultrafiltrům“ (PDF). math.berkeley.edu. Citováno 16. srpna 2020.
- ^ A b Dolecki & Mynard 2016, str. 33-35.
- ^ A b C Bourbaki 1989, str. 129-133.
- ^ A b Jech 2006, str. 73-89.
- ^ Leinster, Tom (2013). "Codensity a ultrafiltrační monad". Teorie a aplikace kategorií. 28: 332–370. arXiv:1209.3606. Bibcode:2012arXiv1209,3606L.
- ^ A b C Muger, Michael (2020). Topologie pro pracujícího matematika.
- ^ Comfort, W. W .; Negrepontis, S. (1974). Teorie ultrafiltrů. Berlín, New York: Springer-Verlag. PAN 0396267. Dodatek 9.3.
- ^ Rudin, Walter (1956), „Problémy homogenity v teorii Čechových kompaktifikací“, Duke Mathematical Journal, 23 (3): 409–419, doi:10.1215 / S0012-7094-56-02337-7, hdl:10338.dmlcz / 101493
- ^ Wimmers, Edward (březen 1982), „Věta o nezávislosti Shelahova bodu P“, Israel Journal of Mathematics, 43 (1): 28–48, doi:10.1007 / BF02761683
Bibliografie
- Arkhangel'skii, Alexander Vladimirovich; Ponomarev, V.I. (1984). Základy obecné topologie: Problémy a cvičení. Matematika a její aplikace. 13. Dordrecht Boston: D. Reidel. ISBN 978-90-277-1355-1. OCLC 9944489.
- Bourbaki, Nicolasi (1989) [1966]. Obecná topologie: kapitoly 1–4 [Topologie Générale]. Éléments de mathématique. Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC 18588129.
- Dixmier, Jacques (1984). Obecná topologie. Pregraduální texty z matematiky. Přeložil Berberian, S. K. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90972-1. OCLC 10277303.
- Dolecki, Szymon; Mynard, Frederic (2016). Konvergenční základy topologie. New Jersey: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC 945169917.
- Dugundji, James (1966). Topologie. Boston: Allyn a Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC 395340485.
- Császár, Ákos (1978). Obecná topologie. Přeložil Császár, Klára. Bristol Anglie: Adam Hilger Ltd. ISBN 0-85274-275-4. OCLC 4146011.
- Jech, Thomas (2006). Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-44085-7. OCLC 50422939.
- Joshi, K. D. (1983). Úvod do obecné topologie. New York: John Wiley and Sons Ltd. ISBN 978-0-85226-444-7. OCLC 9218750.
- Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologické vektorové prostory. Čistá a aplikovaná matematika (druhé vydání). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
- Schechter, Eric (1996). Příručka pro analýzu a její základy. San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365.
- Schubert, Horst (1968). Topologie. Londýn: Macdonald & Co. ISBN 978-0-356-02077-8. OCLC 463753.
Další čtení
- Comfort, W. W. (1977). „Ultrafiltry: některé staré a některé nové výsledky“. Bulletin of the American Mathematical Society. 83 (4): 417–455. doi:10.1090 / S0002-9904-1977-14316-4. ISSN 0002-9904. PAN 0454893.
- Comfort, W. W .; Negrepontis, S. (1974), Teorie ultrafiltrů, Berlín, New York: Springer-Verlag, PAN 0396267
- Ultrafiltr v nLab