Vrcholy Lagrange, Euler a Kovalevskaya - Lagrange, Euler, and Kovalevskaya tops

Euler, Lagrange a Kovalevskaya

v klasická mechanika, precese a tuhé tělo jako a horní pod vlivem gravitace obecně není integrovatelný problém. Existují však tři (nebo čtyři) slavné případy, které jsou integrovatelné, Euler, Lagrangea Kovalevskaya top.^[1][2] Kromě energie zahrnuje každý z těchto vrcholů další tři konstanty pohybu které vedou k integrovatelnost.

Vrchol Euler popisuje volný vrchol bez jakékoli zvláštní symetrie, pohybující se v nepřítomnosti externího točivý moment ve kterém je pevným bodem centrum gravitace. Lagrangeův vrchol je symetrický vrchol, ve kterém jsou dva momenty setrvačnost jsou stejné a těžiště leží na osa symetrie. Kovalevskaya top^[3][4] je speciální symetrický top s jedinečným poměrem momenty setrvačnosti které uspokojují vztah

${ displaystyle I_ {1} = I_ {2} = 2I_ {3},}$

To znamená, že dva momenty setrvačnosti jsou stejné, třetí je o polovinu větší a těžiště se nachází v letadlo kolmo k ose symetrie (rovnoběžně s rovinou dvou stejných bodů). The nonholonomic Goryachev – Chaplygin top (představil D. Goryachev v roce 1900^[5] a integrováno Sergej Chaplygin v roce 1948^[6][7]) je také integrovatelný (${ displaystyle I_ {1} = I_ {2} = 4I_ {3}}$). Jeho těžiště leží v rovníková rovina.^[8] Bylo prokázáno, že neexistují žádné další holonomické integrovatelné vrcholy.^[9]

Hamiltoniánská formulace klasických vrcholů

Klasický top^[10] je definována třemi hlavními osami, definovanými třemi ortogonálními vektory ${ displaystyle { hat { mathbf {e}}} ^ {1}}$, ${ displaystyle { hat { mathbf {e}}} ^ {2}}$ a ${ displaystyle { hat { mathbf {e}}} ^ {3}}$ s odpovídajícími momenty setrvačnosti ${ displaystyle I_ {1}}$, ${ displaystyle I_ {2}}$ a ${ displaystyle I_ {3}}$. V Hamiltonovské formulaci klasických vrcholů jsou konjugované dynamické proměnné složkami vektoru momentu hybnosti ${ displaystyle { vec {L}}}$ podél hlavních os

${ displaystyle ( ell _ {1}, ell _ {2}, ell _ {3}) = ({ vec {L}} cdot { hat { mathbf {e}}} ^ {1 }, { vec {L}} cdot { hat { mathbf {e}}} ^ {2}, { vec {L}} cdot { hat { mathbf {e}}} ^ {3 })}$

a z-komponenty tří hlavních os,

${ displaystyle (n_ {1}, n_ {2}, n_ {3}) = ( mathbf { hat {z}} cdot { hat { mathbf {e}}} ^ {1}, mathbf { hat {z}} cdot { hat { mathbf {e}}} ^ {2}, mathbf { hat {z}} cdot { hat { mathbf {e}}} ^ {3 })}$

Poissonova algebra těchto proměnných je dána vztahem

${ displaystyle { ell _ {a}, ell _ {b} } = varepsilon _ {abc} ell _ {c}, { ell _ {a}, n_ {b} } = varepsilon _ {abc} n_ {c}, {n_ {a}, n_ {b} } = 0}$

Pokud je poloha těžiště dána vztahem ${ displaystyle { vec {R}} _ {cm} = (a mathbf { hat {e}} ^ {1} + b mathbf { hat {e}} ^ {2} + c mathbf { hat {e}} ^ {3})}$, pak je Hamiltonián vrcholu dán

${ displaystyle H = { frac {( ell _ {1}) ^ {2}} {2I_ {1}}} + { frac {( ell _ {2}) ^ {2}} {2I_ { 2}}} + { frac {( ell _ {3}) ^ {2}} {2I_ {3}}} + mg (an_ {1} + bn_ {2} + cn_ {3}),}$

Pohybové rovnice jsou poté určeny pomocí

${ displaystyle { dot { ell}} _ {a} = {H, ell _ {a} }, { dot {n}} _ {a} = {H, n_ {a} }}$

Euler top

The Euler top je untorqued top, s Hamiltonian

${ displaystyle H_ {E} = { frac {( ell _ {1}) ^ {2}} {2I_ {1}}} + { frac {( ell _ {2}) ^ {2}} {2I_ {2}}} + { frac {( ell _ {3}) ^ {2}} {2I_ {3}}},}$

Čtyři konstanty pohybu jsou energie ${ displaystyle H_ {E}}$ a tři složky momentu hybnosti v laboratorním rámu,

${ displaystyle (L_ {1}, L_ {2}, L_ {3}) = ell _ {1} mathbf { hat {e}} ^ {1} + ell _ {2} mathbf { klobouk {e}} ^ {2} + ell _ {3} mathbf { hat {e}} ^ {3}.}$

Lagrange top

Vrchol Lagrange^[11] (tak pojmenovaný po Joseph-Louis Lagrange ) je symetrický vrchol se středem hmoty podél osy symetrie v místě, ${ displaystyle { vec {R}} _ {cm} = h mathbf { hat {e}} ^ {3}}$s Hamiltonianem

${ displaystyle H_ {L} = { frac {( ell _ {1}) ^ {2} + ( ell _ {2}) ^ {2}} {2I}} + { frac {( ell _ {3}) ^ {2}} {2I_ {3}}} + mghn_ {3}.}$

Čtyři konstanty pohybu jsou energie ${ displaystyle H_ {L}}$, složka momentu hybnosti podél osy symetrie, ${ displaystyle ell _ {3}}$, moment hybnosti v z-směr

${ displaystyle L_ {z} = ell _ {1} n_ {1} + ell _ {2} n_ {2} + ell _ {3} n_ {3},}$

a velikost n-vektor

${ displaystyle n ^ {2} = n_ {1} ^ {2} + n_ {2} ^ {2} + n_ {3} ^ {2}}$

Kovalevskaya top

Kovalevskaya top^[3][4] je symetrický vrchol, ve kterém ${ displaystyle I_ {1} = I_ {2} = 2I}$, ${ displaystyle I_ {3} = I}$ a těžiště leží v rovině kolmé k ose symetrie ${ displaystyle { vec {R}} _ {cm} = h mathbf { hat {e}} ^ {1}}$. Objevil jej Sofia Kovalevskaya v roce 1888 a představila ve své práci „Sur le problème de la rotation d'un corps solide autour d'un point fixe“, která získala cenu Prix Bordin od Francouzská akademie věd v roce 1888. Hamiltonián je

${ displaystyle H_ {K} = { frac {( ell _ {1}) ^ {2} + ( ell _ {2}) ^ {2} +2 ( ell _ {3}) ^ {2 }} {2I}} + mghn_ {1}.}$

Čtyři konstanty pohybu jsou energie ${ displaystyle H_ {K}}$, neměnný Kovalevskaja

${ displaystyle K = xi _ {+} xi _ {-}}$

kde proměnné ${ displaystyle xi _ { pm}}$ jsou definovány

${ displaystyle xi _ { pm} = ( ell _ {1} pm i ell _ {2}) ^ {2} -2mghI (n_ {1} pm in_ {2}),}$

složka momentu hybnosti v z-směr,

${ displaystyle L_ {z} = ell _ {1} n_ {1} + ell _ {2} n_ {2} + ell _ {3} n_ {3},}$

a velikost n-vektor

${ displaystyle n ^ {2} = n_ {1} ^ {2} + n_ {2} ^ {2} + n_ {3} ^ {2}.}$

Viz také

• Kardanové zavěšení

Reference

externí odkazy

• Kovalevskaya Top - ze světa fyziky Erica Weissteina