Inverzní rozptylová transformace - Inverse scattering transform

v matematika, inverzní rozptylová transformace je metoda řešení některých nelineárních parciální diferenciální rovnice. Je to jeden z nejdůležitějších vývojů v matematické fyzice za posledních 40 let^{[Citace je zapotřebí ]}. Tato metoda je nelineárním analogem a v určitém smyslu zobecněním Fourierova transformace, který se sám používá k řešení mnoha lineárních parciálních diferenciálních rovnic. Název „metoda inverzního rozptylu“ vychází z klíčové myšlenky obnovy časového vývoje potenciálu z časového vývoje jeho rozptylových dat: inverzní rozptyl označuje problém obnovy potenciálu z jeho rozptylové matice, na rozdíl od přímého rozptylu problém nalezení matice rozptylu z potenciálu.

Inverzní rozptyl transformace může být aplikován na mnoho z tzv přesně řešitelné modely, to znamená zcela integrovatelný nekonečné dimenzionální systémy.

Přehled

Transformaci inverzního rozptylu poprvé představili Clifford S. Gardner, John M. Greene a Martin D. Kruskal a kol. (1967, 1974 ) pro Korteweg – de Vriesova rovnice a brzy se rozšířil na nelineární Schrödingerova rovnice, Sine-Gordonova rovnice a Toda mříž rovnice. Později byl použit k řešení mnoha dalších rovnic, například Kadomtsev – Petviashviliho rovnice, Ishimoriho rovnice, Dymova rovnice, a tak dále. Další skupinu příkladů poskytuje Bogomolnyho rovnice (pro danou skupinu měřidel a orientovaný Riemannian 3krát), ${displaystyle L ^ {2}}$ jejichž řešení jsou magnetické monopoly.

Charakteristikou řešení získaných metodou inverzního rozptylu je existence solitony Řešení podobná jak částicím, tak vlnám, která nemají analogii pro lineární parciální diferenciální rovnice. Termín „soliton“ vychází z nelineární optiky.

Problém s inverzním rozptylem lze zapsat jako a Riemann – Hilbertova faktorizace problém, alespoň v případě rovnic jedné prostorové dimenze. Tuto formulaci lze zobecnit na diferenciální operátory řádu větší než 2 a také na periodické potenciály. Ve vyšších prostorových dimenzích má člověk místo toho „nelokální“ Riemann – Hilbertův faktorizační problém (s konvolucí namísto násobení) nebo problém d-bar.

Příklad: Korteweg – de Vriesova rovnice

Korteweg – de Vriesova rovnice je nelineární, disperzní, evoluce parciální diferenciální rovnice pro funkce u; ze dvou nemovitý proměnné, jedna prostorová proměnná X a jedna časová proměnná t :

{displaystyle u_ {t} -6uu_ {x} + u_ {xxx} = 0}

s ${displaystyle u_ {t}}$ a ${displaystyle u_ {x}}$ označující částečné derivace s ohledem na t a X, resp.

Chcete-li vyřešit problém počáteční hodnoty pro tuto rovnici, kde ${displaystyle u (x, 0)}$ je známá funkce X, jeden spojuje s touto rovnicí Schrödingerovu vlastní hodnotu rovnice

{displaystyle psi _ {xx} -upsi = lambda psi.}

kde ${displaystyle psi}$ je neznámá funkce t a X a u je řešení Korteweg – de Vriesovy rovnice, které je neznámé s výjimkou at ${displaystyle t = 0}$ . Konstanta ${displaystyle lambda}$ je vlastní číslo.

Ze Schrödingerovy rovnice, kterou získáme

{displaystyle u = {frac {1} {psi}} psi _ {xx} -lambda.}

Dosazením do rovnice Korteweg – de Vries a integrací získáme rovnici

{displaystyle psi _ {t} + psi _ {xxx} -3 (u-lambda) psi _ {x} = Cpsi + Dpsi int {frac {1} {psi ^ {2}}} dx}

kde C a D jsou konstanty.

Způsob řešení

Krok 1. Určete nelineární parciální diferenciální rovnici. Toho je obvykle dosaženo analýzou fyzika zkoumané situace.

Krok 2. Zaměstnat dopředný rozptyl. To spočívá v hledání Lax pár. Dvojice Lax se skládá ze dvou lineárních operátory, ${displaystyle L}$ a ${displaystyle M}$ , takový, že ${displaystyle Lv = lambda v}$ a ${displaystyle v_ {t} = Mv}$ . Je nesmírně důležité, aby vlastní číslo ${displaystyle lambda}$ být nezávislý na čase; tj. ${displaystyle lambda _ {t} = 0.}$ Nezbytné a dostatečné podmínky, aby k tomu mohlo dojít, jsou stanoveny takto: udělejte si čas derivát z ${displaystyle Lv = lambda v}$ získat

{displaystyle L_ {t} v + Lv_ {t} = lambda _ {t} v + lambda v_ {t}.}

Připojování ${displaystyle Mv}$ pro ${displaystyle v_ {t}}$ výnosy

{displaystyle L_ {t} v + LMv = lambda _ {t} v + lambda Mv.}

Přeskupení na krajní pravici nám dává

{displaystyle L_ {t} v + LMv = lambda _ {t} v + MLv.}

Tím pádem,

{displaystyle L_ {t} v + LMv-MLv = lambda _ {t} v.}

Od té doby ${displaystyle vot = 0}$ , z toho vyplývá, že ${displaystyle lambda _ {t} = 0}$ kdyby a jen kdyby

{displaystyle L_ {t} + LM-ML = 0.,}

Tohle je Laxova rovnice. V Laxově rovnici je to ${displaystyle L_ {t}}$ je časová derivace ${displaystyle L}$ přesně tam, kde to výslovně závisí ${displaystyle t}$ . Důvod pro definování diferenciace tímto způsobem je motivován nejjednodušší instancí ${displaystyle L}$ , což je Schrödingerův operátor (viz Schrödingerova rovnice ):

{displaystyle L = částečné _ {xx} + u,}

kde u je „potenciál“. Porovnání výrazu ${displaystyle L_ {t} v + Lv_ {t}}$ s ${displaystyle částečné _ {t} vlevo (v_ {xx} + uvight)}$ ukazuje nám to ${displaystyle L_ {t} = u_ {t},}$ tedy ignoruje první termín.

Po vytvoření příslušného páru Lax by mělo dojít k tomu, že Laxova rovnice obnoví původní nelineární PDE.

Krok 3. Určete časový vývoj vlastních funkcí spojených s každou vlastní hodnotou ${displaystyle lambda}$ , normativní konstanty a koeficient odrazu, všechny tři obsahují takzvané rozptylové údaje. Tentokrát je evoluce dána lineárním systémem obyčejné diferenciální rovnice které lze vyřešit.

Krok 4. Proveďte inverzní rozptyl postup vyřešením Gelfand – Levitan – Marchenko integrální rovnice (Izrael Moiseevich Gelfand a Boris Moiseevich Levitan;^[1] Vladimir Aleksandrovich Marchenko^[2]), lineární integrální rovnice k získání konečného řešení původního nelineárního PDE. K tomu jsou zapotřebí všechna data o rozptylu. Pokud je koeficient odrazu nula, proces je mnohem jednodušší. Tento krok funguje, pokud ${displaystyle L}$ je operátor rozdílu nebo rozdílu objednávky dva, ale ne nutně pro vyšší objednávky. Ve všech případech však inverzní rozptyl problém je redukovatelný na a Riemann – Hilbertova faktorizace problém. (Viz Ablowitz-Clarkson (1991) pro oba přístupy. Viz Marchenko (1986) pro matematické důsledné zacházení.)

Příklady integrovatelných rovnic

Další příklady integrovatelných rovnic lze nalézt v článku Integrovatelný systém.

Reference

^ Gel’fand, I. M. & Levitan, B. M., „O stanovení diferenciální rovnice z její spektrální funkce“. Překlady americké matematické společnosti, (2) 1: 253–304, 1955.
^ V. A. Marchenko, „Sturm-Liouville Operators and Applications“, Birkhäuser, Basilej, 1986.

M. Ablowitz, H. Segur, Soliton a inverzní rozptyl transformace, SIAM, Philadelphia, 1981.
N. Asano, Y. Kato, Algebraické a spektrální metody pro nelineární vlnové rovnice, Longman Scientific & Technical, Essex, Anglie, 1990.
M. Ablowitz, P. Clarkson, Soliton, nelineární evoluční rovnice a inverzní rozptyl, Cambridge University Press, Cambridge, 1991.
Gardner, Clifford S .; Greene, John M .; Kruskal, Martin D .; Miura, Robert M. (1967), „Metoda řešení rovnice Korteweg-deVries“, Dopisy o fyzické kontrole, 19: 1095–1097, Bibcode:1967PhRvL..19.1095G, doi:10.1103 / PhysRevLett.19.1095
Gardner, Clifford S .; Greene, John M .; Kruskal, Martin D .; Miura, Robert M. (1974), "Korteweg-deVriesova rovnice a zobecnění. VI. Metody přesného řešení.", Comm. Pure Appl. Matematika., 27: 97–133, doi:10,1002 / cpa.3160270108, PAN 0336122
V. A. Marchenko, „Sturm-Liouville Operators and Applications“, Birkhäuser, Basilej, 1986.
J. Shaw, Matematické principy komunikace optickými vlákny, SIAM, Philadelphia, 2004.
Vydání: R.K. Bullough, P.J. Caudrey. Témata „solitonů“ v současné fyzice 17. Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1980.

externí odkazy

[1] Gel’fand, I. M. & Levitan, B. M., „O stanovení diferenciální rovnice z její spektrální funkce“. Překlady americké matematické společnosti, (2) 1: 253–304, 1955.

[2] V. A. Marchenko, „Sturm-Liouville Operators and Applications“, Birkhäuser, Basilej, 1986.

[1]

[2]