Korteweg – de Vriesova rovnice - Korteweg–de Vries equation

Cnoidální vlna řešení rovnice Korteweg – de Vries, pokud jde o náměstí z Jacobiho eliptická funkce cn (a s hodnotou parametru m = 0.9).

Numerické řešení KdV rovnice

u t + u u X + δ 2 u X X X = 0

(

5 = 0,022

) s počáteční podmínkou

u (X, 0) = cos (π X)

. Jeho výpočet byl proveden schématem Zabusky – Kruskal.^[1] Počáteční kosinová vlna se vyvinula do řady vln osamělého typu.

v matematika, Korteweg – de Vriesova rovnice (KdV) je matematický model vln na mělkých vodních plochách. To je zvláště pozoruhodné jako prototypový příklad přesně řešitelný model, tj. Nelineární parciální diferenciální rovnice jejichž řešení lze přesně a přesně specifikovat. KdV lze vyřešit pomocí inverzní rozptylová transformace. Matematická teorie za rovnicí KdV je předmětem aktivního výzkumu. KdV rovnici poprvé představil Boussinesq (1877, poznámka pod čarou na straně 360) a znovu objeven Diederik Korteweg a Gustav de Vries (1895 ).^[2]

Definice

Rovnice KdV je nelineární, disperzní parciální diferenciální rovnice pro funkce ${ displaystyle phi}$ ze dvou nemovitý proměnné, prostor X a čas t :^[3]

{ displaystyle částečné _ {t} phi + částečné _ {x} ^ {3} phi -6 , phi , částečné _ {x} phi = 0 ,}

s ∂_X a ∂_t označující částečné derivace s ohledem na X a t.

Konstanta 6 před posledním členem je konvenční, ale nemá velký význam: násobení t, X, a ${ displaystyle phi}$ pomocí konstant lze použít k tomu, aby se koeficienty kteréhokoli ze tří termínů rovaly libovolným daným nenulovým konstantám.

Řešení Soliton

Zvažte řešení, ve kterých forma pevné vlny (daná vztahem F(X)) si udržuje svůj tvar, když se pohybuje doprava na rychlost fáze C. Takové řešení je dáno ${ displaystyle phi}$ (X,t) = F(X − ct − A) = F(X). Když jej dosadíme do rovnice KdV, dostaneme obyčejná diferenciální rovnice

{ displaystyle -c { frac {df} {dX}} + { frac {d ^ {3} f} {dX ^ {3}}} - 6f { frac {df} {dX}} = 0, }

nebo integraci s ohledem na X,

{ displaystyle -cf + { frac {d ^ {2} f} {dX ^ {2}}} - 3f ^ {2} = A}

kde A je konstanta integrace. Interpretace nezávislé proměnné X výše jako proměnná virtuálního času, to znamená F uspokojuje Newtona pohybová rovnice částice jednotkové hmotnosti v kubickém potenciálu

{ displaystyle V (f) = - vlevo (f ^ {3} + { frac {1} {2}} cf ^ {2} + Af right)}

Li

{ displaystyle A = 0, , c> 0}

pak potenciální funkce PROTI(F) má místní maximum na F = 0, existuje řešení, ve kterém F(X) začíná v tomto bodě ve „virtuálním čase“ −∞, případně sklouzne dolů k místní minimum, pak ustupte na druhou stranu, dosáhnete stejné výšky, pak otočíte směr a skončíte u místní maximum znovu v čase ∞. Jinými slovy, F(X) se blíží 0 jako X → ± ∞. Toto je charakteristický tvar osamělá vlna řešení.

Přesněji řečeno, řešení je

{ displaystyle phi (x, t) = - { frac {1} {2}} , c , mathrm {sech} ^ {2} vlevo [{{ sqrt {c}} nad 2 } (xc , ta) vpravo]}

kde sech znamená hyperbolický sekans a A je libovolná konstanta.^[4] To popisuje pohyb vpravo soliton.

Integrály pohybu

Rovnice KdV má nekonečně mnoho integrály pohybu (Miura, Gardner a Kruskal 1968 ), které se časem nemění. Mohou být uvedeny výslovně jako

{ displaystyle int _ {- infty} ^ {+ infty} P_ {2n-1} ( phi, , částečné _ {x} phi, , částečné _ {x} ^ {2} phi, , ldots) , { text {d}} x ,}

kde polynomy P_n jsou rekurzivně definovány pomocí

{ displaystyle { begin {aligned} P_ {1} & = phi, P_ {n} & = - { frac {dP_ {n-1}} {dx}} + sum _ {i = 1 } ^ {n-2} , P_ {i} , P_ {n-1-i} quad { text {pro}} n geq 2. end {zarovnáno}}}

Prvních několik integrálů pohybu je:

hmotnost ${ displaystyle int phi , { text {d}} x,}$
hybnost ${ displaystyle int phi ^ {2} , { text {d}} x,}$
energie ${ displaystyle int 2 phi ^ {3} - levý ( částečný _ {x} phi pravý) ^ {2} , { text {d}} x.}$

Pouze liché termíny P_(2n+1) mít za následek netriviální (tedy nenulové) integrály pohybu (Dingemans 1997, str. 733).

Laxové páry

Rovnice KdV

{ displaystyle částečné _ {t} phi = 6 , phi , částečné _ {x} phi - částečné _ {x} ^ {3} phi}

lze přeformulovat jako Laxova rovnice

{ displaystyle L_ {t} = [L, A] ekv. LA-AL ,}

s L A Provozovatel Sturm – Liouville:

{ displaystyle { begin {zarovnáno} L & = - částečné _ {x} ^ {2} + phi, A & = 4 částečné _ {x} ^ {3} -3 vlevo [ phi , částečné _ {x} + částečné _ {x} phi pravé] end {zarovnané}}}

a to odpovídá nekonečnému počtu prvních integrálů KdV rovnice (Lax 1968 ).

Princip nejméně akce

Korteweg – de Vriesova rovnice

{ displaystyle částečné _ {t} phi +6 phi , částečné _ {x} phi + částečné _ {x} ^ {3} phi = 0, ,}

je Euler-Lagrangeova rovnice pohybu odvozeného z Lagrangeova hustota, ${ displaystyle { mathcal {L}} ,}$

{ displaystyle { mathcal {L}}: = { frac {1} {2}} částečný _ {x} psi , částečný _ {t} psi + vlevo ( částečný _ {x} psi vpravo) ^ {3} - { frac {1} {2}} vlevo ( částečné _ {x} ^ {2} psi vpravo) ^ {2} quad quad quad quad (1) ,}

s ${ displaystyle phi}$ definován

{ displaystyle phi: = { frac { částečný psi} { částečný x}}. ,}

Odvození Euler-Lagrangeových rovnic

Protože Lagrangeova (eq (1)) obsahuje druhé deriváty, Euler-Lagrangeova rovnice pohybu pro toto pole je

{ displaystyle částečné _ { mu mu} vlevo ({ frac { částečné { mathcal {L}}} { částečné ( částečné _ { mu mu} psi)}} vpravo) - částečné _ { mu} vlevo ({ frac { částečné { mathcal {L}}} { částečné ( částečné _ { mu} psi)}} pravé) + { frac { částečný { mathcal {L}}} { částečný psi}} = 0. quad quad quad quad quad quad quad (2) ,}

kde ${ displaystyle částečné}$ je derivát ve vztahu k ${ displaystyle mu}$ součástka.

Součet přes ${ displaystyle mu}$ je implicitní, takže eq (2) opravdu čte,

{ displaystyle částečné _ {tt} levé ({ frac { částečné { mathcal {L}}} { částečné ( částečné _ {tt} psi)}} pravé) + částečné _ {xx } left ({ frac { částečné { mathcal {L}}} { částečné ( částečné _ {xx} psi)}} pravé) - částečné _ {t} levé ({ frac { částečné { mathcal {L}}} { částečné ( částečné _ {t} psi)}} pravé) - částečné _ {x} levé ({ frac { částečné { mathcal {L} }} { částečné ( částečné _ {x} psi)}} pravé) + { frac { částečné { mathcal {L}}} { částečné psi}} = 0. quad quad ( 3) ,}

Vyhodnoťte pět podmínek eq (3) připojením eq (1),

{ displaystyle částečné _ {tt} levé ({ frac { částečné { mathcal {L}}} { částečné ( částečné _ {tt} psi)}} pravé) = 0 ,}

{ displaystyle částečné _ {xx} levé ({ frac { částečné { mathcal {L}}} { částečné ( částečné _ {xx} psi)}} pravé) = částečné _ {xx } vlevo (- částečné _ {xx} psi vpravo) ,}

{ displaystyle částečné _ {t} levé ({ frac { částečné { mathcal {L}}} { částečné ( částečné _ {t} psi)}} pravé) = částečné _ {t } left ({ frac {1} {2}} částečný _ {x} psi right) ,}

{ displaystyle částečné _ {x} levé ({ frac { částečné { mathcal {L}}} { částečné ( částečné _ {x} psi)}} pravé) = částečné _ {x } left ({ frac {1} {2}} částečný _ {t} psi +3 ( částečný _ {x} psi) ^ {2} pravý) ,}

{ displaystyle { frac { částečné { mathcal {L}}} { částečné psi}} = 0 ,}

Pamatujte si definici ${ displaystyle phi = částečné _ {x} psi ,}$ , tak použijte pro zjednodušení výše uvedených výrazů,

{ displaystyle částečné _ {xx} levé (- částečné _ {xx} psi pravé) = - částečné _ {xxx} phi ,}

{ displaystyle částečné _ {t} levé ({ frac {1} {2}} částečné _ {x} psi pravé) = { frac {1} {2}} částečné _ {t} phi ,}

{ displaystyle částečné _ {x} levé ({ frac {1} {2}} částečné _ {t} psi +3 ( částečné _ {x} psi) ^ {2} pravé) = { frac {1} {2}} částečný _ {t} phi +3 částečný _ {x} ( phi) ^ {2} = { frac {1} {2}} částečný _ {t } phi +6 phi částečné _ {x} phi ,}

Nakonec připojte tyto tři nenulové výrazy zpět do eq (3), abyste viděli

{ displaystyle left (- částečné _ {xxx} phi pravé) - levé ({ frac {1} {2}} částečné _ {t} phi pravé) - levé ({ frac {1} {2}} částečné _ {t} phi +6 phi částečné _ {x} phi pravé) = 0, ,}

což je přesně rovnice KdV

{ displaystyle částečné _ {t} phi +6 phi , částečné _ {x} phi + částečné _ {x} ^ {3} phi = 0. ,}

Dlouhodobá asymptotika

Je možné ukázat, že jakékoli dostatečně rychle se rozpadající hladké řešení se nakonec rozdělí na konečnou superpozici solitonů cestujících doprava plus rozpadající se disperzní část cestujících doleva. Toto bylo poprvé pozorováno uživatelem Zabusky & Kruskal (1965) a lze je důsledně dokázat pomocí nelineárního nejstrmější sestup analýza oscilační Problémy Riemann – Hilbert.^[5]

Dějiny

Historie KdV rovnice začala experimenty od John Scott Russell v roce 1834, následovaná teoretickým vyšetřováním Lord Rayleigh a Joseph Boussinesq kolem roku 1870 a nakonec Korteweg a De Vries v roce 1895.

KdV rovnice nebyla po tomto studiu příliš studována, dokud Zabusky & Kruskal (1965) numericky zjistil, že se zdálo, že se jeho řešení rozkládá ve velké době na sbírku „solitonů“: dobře oddělených solitérních vln. Kromě toho se zdá, že solitony procházejí navzájem navzájem téměř nedotčeny (i když by to mohlo způsobit změnu jejich polohy). Také se připojili k dřívějším numerickým experimentům od Fermi, těstoviny, Ulam a Tsingou ukázáním, že rovnice KdV byla limitem kontinua v FPUT Systém. Vývoj analytického řešení pomocí inverzní rozptylová transformace v roce 1967 provedli Gardner, Greene, Kruskal a Miura.^[6]^[7]

Rovnice KdV je nyní považována za úzce spojenou s Huygensův princip.^[8]^[9]

Aplikace a připojení

Rovnice KdV má několik souvislostí s fyzickými problémy. Kromě toho, že je řídící rovnicí řetězce v Problém Fermi – Pasta – Ulam – Tsingou v limitu kontinua přibližně popisuje vývoj dlouhých jednorozměrných vln v mnoha fyzikálních podmínkách, včetně:

mělké vodní vlny se slabě nelineární obnovení sil,
dlouho vnitřní vlny v hustotě rozvrstvené oceán,
iontové akustické vlny v plazma,
akustický vlny na a krystalová mříž.

Rovnici KdV lze také vyřešit pomocí inverzní rozptylová transformace jako jsou ty, které se vztahují na nelineární Schrödingerova rovnice.

Rovnice KdV a rovnice Gross – Pitaevskii

Vzhledem k zjednodušeným řešením formuláře

{ displaystyle phi (x, t) = phi (x pm t)}

získáme rovnici KdV jako

{ displaystyle pm částečné _ {x} phi + částečné _ {x} ^ {3} phi +6 , phi , částečné _ {x} phi = 0 ,}

nebo

{ displaystyle pm částečné _ {x} phi + částečné _ {x} ( částečné _ {x} ^ {2} phi +3 phi ^ {2}) = 0 ,}

Integraci a převzetí zvláštního případu, ve kterém je integrační konstanta nulová, máme:

{ displaystyle - částečné _ {x} ^ {2} phi -3 phi ^ {2} = pm phi ,}

který je ${ displaystyle lambda = 1}$ zvláštní případ generalizovaného stacionáře Gross – Pitaevskiova rovnice (GPE)

{ displaystyle - částečné _ {x} ^ {2} phi -3 phi ^ { lambda} phi = pm phi ,}

Proto pro určitou třídu řešení generalizovaného GPE ( ${ displaystyle lambda = 4}$ pro pravý jednorozměrný kondenzát a ${ displaystyle lambda = 2}$ při použití trojrozměrné rovnice v jedné dimenzi) jsou dvě rovnice jedna. Kromě toho, přičemž ${ displaystyle lambda = 3}$ případ se znaménkem mínus a ${ displaystyle phi}$ ve skutečnosti získá atraktivní interakce se sebou, která by měla přinést a jasný soliton.^{[Citace je zapotřebí ]}

Variace

Bylo studováno mnoho různých variací rovnic KdV. Některé jsou uvedeny v následující tabulce.

název	Rovnice
Korteweg – de Vries (KdV)	${ displaystyle displaystyle částečné _ {t} u + částečné _ {x} ^ {3} u + 6u částečné _ {x} u = 0}$
KdV (válcový)	${ displaystyle displaystyle částečné _ {t} u + částečné _ {x} ^ {3} u-6u částečné _ {x} u + { tfrac {1} {2t}} u = 0}$
KdV (deformovaný)	${ displaystyle displaystyle částečné _ {t} u + částečné _ {x} levé ({ frac { částečné _ {x} ^ {2} u-2 eta u ^ {3} -3u ( částečné _ {x} u) ^ {2}} {2 ( eta + u ^ {2})}} vpravo) = 0}$
KdV (zobecněné)	${ displaystyle displaystyle částečné _ {t} u + částečné _ {x} ^ {3} u = částečné _ {x} ^ {5} u}$
KdV (zobecněné)	${ displaystyle displaystyle částečné _ {t} u + částečné _ {x} ^ {3} u + částečné _ {x} f (u) = 0}$
KdV (Lax 7.) Darvishi, Kheybari & Khani (2007)	${ displaystyle { begin {zarovnáno} částečný _ {t} u + částečný _ {x} & levý {35u ^ {4} +70 levý (u ^ {2} částečný _ {x} ^ { 2} u + u levý ( částečný _ {x} u pravý) ^ {2} pravý) pravý. & levý. Quad +7 levý (2u částečný _ {x} ^ { 4} u + 3 vlevo ( částečné _ {x} ^ {2} u pravé) ^ {2} +4 částečné _ {x} částečné _ {x} ^ {3} u pravé) + částečné _ {x} ^ {6} u doprava } = 0 konec {zarovnáno}}}$
KdV (upravené)	${ displaystyle displaystyle částečné _ {t} u + částečné _ {x} ^ {3} u pm 6u ^ {2} částečné _ {x} u = 0}$
KdV (upravené upravené)	${ displaystyle displaystyle částečné _ {t} u + částečné _ {x} ^ {3} u - { tfrac {1} {8}} ( částečné _ {x} u) ^ {3} + ( částečné _ {x} u) (Ae ^ {au} + B + Ce ^ {- au}) = 0}$
KdV (sférické)	${ displaystyle displaystyle částečné _ {t} u + částečné _ {x} ^ {3} u-6u částečné _ {x} u + { tfrac {1} {t}} u = 0}$
KdV (super)	${ displaystyle displaystyle { begin {cases} částečné _ {t} u = 6u částečné _ {x} u- částečné _ {x} ^ {3} u + 3w částečné _ {x} ^ {2 } w částečný _ {t} w = 3 ( částečný _ {x} u) w + 6u částečný _ {x} w-4 částečný _ {x} ^ {3} w end {případů} }}$
KdV (přechodné)	${ displaystyle displaystyle částečné _ {t} u + částečné _ {x} ^ {3} u-6f (t) u částečné _ {x} u = 0}$
KdV (variabilní koeficienty)	${ displaystyle displaystyle částečné _ {t} u + beta t ^ {n} částečné _ {x} ^ {3} u + alfa t ^ {n} u částečné _ {x} u = 0}$
Rovnice Korteweg – de Vries – Burgers^[10]	${ displaystyle displaystyle částečné _ {t} u + mu částečné _ {x} ^ {3} u + 2u částečné _ {x} u- nu částečné _ {x} ^ {2} u = 0 }$
nehomogenní KdV	${ displaystyle částečné _ {t} u + alfa u + beta částečné _ {x} u + gamma částečné _ {x} ^ {2} u = Ai (x), quad u (x, 0) = f (x)}$

q-analogy

Pro q-analog rovnice KdV, viz Frenkel (1996) a Khesin, Lyubashenko & Roger (1997).

Viz také

Poznámky

^ N.J. Zabusky a M. D. Kruskal, Phy. Rev. Lett., 15, 240 (1965)
^ Darrigol, O. (2005), Worlds of Flow: A History of Hydrodynamics from the Bernoullis to Prandtl Oxford University Press, s.84, ISBN 9780198568438
^ Viz např. Newell, Alan C. (1985), Solitony v matematice a fyzice, SIAM, ISBN 0-89871-196-7, str. 6. Nebo Lax (1968), bez faktoru 6.
^ Alexander F. Vakakis (31. ledna 2002). Normální režimy a lokalizace v nelineárních systémech. Springer. 105–108. ISBN 978-0-7923-7010-9. Citováno 27. října 2012.
^ Viz např. Grunert & Teschl (2009)
^ Gardner, C.S .; Greene, J.M .; Kruskal, M.D .; Miura, R.M (1967), „Metoda řešení rovnice Korteweg – de Vries“, Dopisy o fyzické kontrole, 19 (19): 1095–1097, Bibcode:1967PhRvL..19.1095G, doi:10.1103 / PhysRevLett.19.1095.
^ Dauxois, Thierry; Peyrard, Michel (2006), Fyzika solitonů, Cambridge University Press, ISBN 0-521-85421-0
^ Fabio A. C. C. Chalub a Jorge P. Zubelli, “Huygensův princip pro hyperbolické operátory a integrovatelné hierarchie "
^ Berest, Yuri Y .; Loutsenko, Igor M. (1997). „Huygensův princip v Minkowských prostorech a solitonových řešeních Korteweg – de Vriesovy rovnice“. Komunikace v matematické fyzice. 190: 113–132. arXiv:solv-int / 9704012. doi:10,1007 / s002200050235. S2CID 14271642.
^ Shu, Jian-Jun (1987). „Správné analytické řešení rovnice Korteweg-de Vries-Burgers“. Journal of Physics A: Mathematical and General. 20 (2): 49–56. arXiv:1403.3636. Bibcode:1987JPhA ... 20L..49J. doi:10.1088/0305-4470/20/2/002.

Reference

Boussinesq, J. (1877), Essai sur la theorie des eaux courantes, Memoires představuje par divers savants `l’Acad. des Sci. Inst. Nat. Francie, XXIII, s. 1–680
de Jager, E.M. (2006). „O původu Korteweg – de Vriesovy rovnice“. arXiv:matematika / 0602661v1.
Dingemans, M.W. (1997), Šíření vodní vlny po nerovném dněAdvanced Series on Ocean Engineering, 13, World Scientific, Singapur, ISBN 981-02-0427-2, 2 díly, 967 stran
Drazin, P. G. (1983), Solitony, Série přednášek London Mathematical Society, 85, Cambridge: Cambridge University Press, str.viii + 136, doi:10.1017 / CBO9780511662843, ISBN 0-521-27422-2, PAN 0716135
Grunert, Katrin; Teschl, Gerald (2009), „Long-Time Asymptotics for the Korteweg-de Vries Equation via Nonlinear Steepest Descent“, Matematika. Phys. Anální. Geom., 12 (3), s. 287–324, arXiv:0807.5041, Bibcode:2009MPAG ... 12..287G, doi:10.1007 / s11040-009-9062-2, S2CID 8740754
Kappeler, Thomas; Pöschel, Jürgen (2003), KdV a KAM, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. Řada moderních průzkumů v matematice [Výsledky v matematice a souvisejících oblastech. 3. série. Řada moderních průzkumů v matematice], 45, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-662-08054-2, ISBN 978-3-540-02234-3, PAN 1997070
Korteweg, D. J .; de Vries, G. (1895), „O změně formy dlouhých vln postupujících v obdélníkovém kanálu a o novém typu dlouhých stacionárních vln“, Filozofický časopis, 39 (240): 422–443, doi:10.1080/14786449508620739
Lax, P. (1968), „Integrály nelineárních evolučních rovnic a solitérních vln“, Sdělení o čisté a aplikované matematice, 21 (5): 467–490, doi:10,1002 / cpa.3160210503
Miles, John W. (1981), „Korteweg – De Vriesova rovnice: Historická esej“, Journal of Fluid Mechanics, 106: 131–147, Bibcode:1981JFM ... 106..131M, doi:10.1017 / S0022112081001559.
Miura, Robert M .; Gardner, Clifford S .; Kruskal, Martin D. (1968), "Korteweg – de Vriesova rovnice a zobecnění. II. Existence zákonů ochrany a konstanty pohybu", J. Math. Phys., 9 (8): 1204–1209, Bibcode:1968JMP ..... 9,1204 mil, doi:10.1063/1.1664701, PAN 0252826
Takhtadzhyan, L.A. (2001) [1994], „Korteweg – de Vriesova rovnice“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
Zabusky, N.J .; Kruskal, M. D. (1965), „Interakce„ solitonů “v plazmě bez kolize a opakování počátečních stavů“, Phys. Rev. Lett., 15 (6): 240–243, Bibcode:1965PhRvL..15..240Z, doi:10.1103 / PhysRevLett.15.240

externí odkazy

Korteweg – de Vriesova rovnice na EqWorld: Svět matematických rovnic.
Korteweg – de Vriesova rovnice na NEQwiki, encyklopedii nelineárních rovnic.
Válcová Korteweg – de Vriesova rovnice na EqWorld: Svět matematických rovnic.
Upravená Korteweg – de Vriesova rovnice na EqWorld: Svět matematických rovnic.
Upravená Korteweg – de Vriesova rovnice na NEQwiki, encyklopedii nelineárních rovnic.
Weisstein, Eric W. „Korteweg – deVriesova rovnice“. MathWorld.
Derivace Korteweg – de Vriesovy rovnice pro úzký kanál.
Tři solitonové řešení rovnice KdV - [1]
Tři solitonové (nestabilní) řešení rovnice KdV - [2]
Matematické aspekty rovnic Typ Korteweg – de Vries jsou diskutovány na Disperzní PDE Wiki.
Soliton z Korteweg – de Vriesovy rovnice autor: S. M. Blinder, Demonstrační projekt Wolfram.
Soliton a nelineární vlnové rovnice

[1] N.J. Zabusky a M. D. Kruskal, Phy. Rev. Lett., 15, 240 (1965)

[2] Darrigol, O. (2005), Worlds of Flow: A History of Hydrodynamics from the Bernoullis to Prandtl Oxford University Press, s.84, ISBN 9780198568438

[3] Viz např. Newell, Alan C. (1985), Solitony v matematice a fyzice, SIAM, ISBN 0-89871-196-7, str. 6. Nebo Lax (1968), bez faktoru 6.

[Vakakis2002-4] Alexander F. Vakakis (31. ledna 2002). Normální režimy a lokalizace v nelineárních systémech. Springer. 105–108. ISBN 978-0-7923-7010-9. Citováno 27. října 2012.

[5] Viz např. Grunert & Teschl (2009)

[6] Gardner, C.S .; Greene, J.M .; Kruskal, M.D .; Miura, R.M (1967), „Metoda řešení rovnice Korteweg – de Vries“, Dopisy o fyzické kontrole, 19 (19): 1095–1097, Bibcode:1967PhRvL..19.1095G, doi:10.1103 / PhysRevLett.19.1095.

[7] Dauxois, Thierry; Peyrard, Michel (2006), Fyzika solitonů, Cambridge University Press, ISBN 0-521-85421-0

[8] Fabio A. C. C. Chalub a Jorge P. Zubelli, “Huygensův princip pro hyperbolické operátory a integrovatelné hierarchie "

[9] Berest, Yuri Y .; Loutsenko, Igor M. (1997). „Huygensův princip v Minkowských prostorech a solitonových řešeních Korteweg – de Vriesovy rovnice“. Komunikace v matematické fyzice. 190: 113–132. arXiv:solv-int / 9704012. doi:10,1007 / s002200050235. S2CID 14271642.

[10] Shu, Jian-Jun (1987). „Správné analytické řešení rovnice Korteweg-de Vries-Burgers“. Journal of Physics A: Mathematical and General. 20 (2): 49–56. arXiv:1403.3636. Bibcode:1987JPhA ... 20L..49J. doi:10.1088/0305-4470/20/2/002.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]