Kadomtsev – Petviashviliho rovnice - Kadomtsev–Petviashvili equation

Přechod bobtná, skládající se z téměř cnoidních vln. Fotografie pořízená z Phares des Baleines (maják velryb) v západním bodě Île de Ré (Ostrov Rhé), Francie, v Atlantický oceán. Interakce těchto téměřsolitony v mělké vodě lze modelovat pomocí Kadomtsev – Petviashviliho rovnice.

v matematika a fyzika, Kadomtsev – Petviashviliho rovnice - nebo KP rovnice, pojmenoval podle Boris Borisovich Kadomtsev a Vladimir Iosifovich Petviashvili - je parciální diferenciální rovnice popsat nelineární vlnový pohyb. Rovnice KP se obvykle píše jako:

{displaystyle displaystyle částečné _ {x} (částečné _ {t} u + upartiální _ {x} u + epsilon ^ {2} částečné _ {xxx} u) + lambda částečné _ {yy} u = 0}

kde ${displaystyle lambda = pm 1}$ . Výše uvedená forma ukazuje, že rovnice KP je zobecněním na dvě prostorové rozměry, X a y, jednorozměrného Korteweg – de Vriesova rovnice (KdV). Aby to bylo fyzicky smysluplné, musí být směr šíření vln ne příliš daleko od X směru, tj. pouze s pomalými variacemi řešení v y směr.

Stejně jako rovnice KdV je rovnice KP zcela integrovatelná.^[1]^[2]^[3]^[4]^[5] Lze to také vyřešit pomocí inverzní rozptylová transformace podobně jako nelineární Schrödingerova rovnice.^[6]

Dějiny

Boris Kadomtsev.

KP rovnici poprvé napsali v roce 1970 sovětští fyzici Boris B. Kadomtsev (1928–1998) a Vladimir I. Petviashvili (1936–1993); přišlo to jako přirozené zobecnění rovnice KdV (odvozené Kortewegem a De Vriesem v roce 1895). Zatímco v rovnici KdV jsou vlny přísně jednorozměrné, v rovnici KP je toto omezení uvolněné. I v rovnici KdV a KP musí vlny cestovat pozitivně X-směr.

Spojení s fyzikou

Rovnici KP lze použít k modelování vodní vlny dlouho vlnová délka se slabě nelineárními vratnými silami a frekvenční rozptyl. Li povrchové napětí je slabý ve srovnání s gravitační síly, ${displaystyle lambda = + 1}$ se používá; pokud je povrchové napětí silné, pak ${displaystyle lambda = -1}$ . Kvůli asymetrii v cestě X- a y-termy vstupují do rovnice, vlny popsané rovnicí KP se chovají odlišně ve směru šíření (X-směr) a příčný (y) směr; oscilace v y-směr mají tendenci být hladší (mají malou odchylku).

Rovnici KP lze také použít k modelování vln v feromagnetický média,^[7] stejně jako dvourozměrné pulzy hmoty a vln Bose – Einsteinovy kondenzáty.

Omezující chování

Pro ${displaystyle epsilon ll 1}$ , typické X-závislé oscilace mají vlnovou délku ${displaystyle O (1 / epsilon)}$ dávat zvláštní omezující režim jako ${displaystyle epsilon ightarrow 0}$ . Omezení ${displaystyle epsilon ightarrow 0}$ se nazývá bez disperze omezit.^[8]^[9]^[10]

Pokud také předpokládáme, že řešení jsou nezávislá na y tak jako ${displaystyle epsilon ightarrow 0}$ , pak také uspokojí inviscida Burgersova rovnice:

{displaystyle displaystyle částečné _ {t} u + upartial _ {x} u = 0.}

Předpokládejme, že amplituda oscilací řešení je asymptoticky malá - ${displaystyle O (epsilon)}$ - v disperzním limitu. Potom amplituda splňuje rovnici středního pole o Davey – Stewartson typ.

Viz také

Reference

^ Wazwaz, A. M. (2007). "Multipolitonová řešení pro rovnici KP pomocí Hirotovy bilineární metody a metodou tanh-coth". Aplikovaná matematika a výpočet. 190 (1): 633–640. doi:10.1016 / j.amc.2007.01.056.
^ Cheng, Y .; Li, Y. S. (1991). „Omezení Kadomtsev-Petviashviliho rovnice a její speciální řešení“. Fyzikální písmena A. 157 (1): 22–26. doi:10.1016 / 0375-9601 (91) 90403-U.
^ Ma, W. X. (2015). „Paušální řešení rovnice Kadomtsev – Petviashvili“. Fyzikální písmena A. 379 (36): 1975–1978. doi:10.1016 / j.physleta.2015.06.061.
^ Kodama, Y. (2004). "Mladé diagramy a N-solitonová řešení rovnice KP". Journal of Physics A: Mathematical and General. 37 (46): 11169. arXiv:nlin / 0406033. doi:10.1088/0305-4470/37/46/006.
^ Deng, S.F .; Chen, D. Y .; Zhang, D. J. (2003). „Multisolitonová řešení rovnice KP se zdroji, které jsou konzistentní“. Journal of the Physical Society of Japan. 72 (9): 2184–2192. doi:10.1143 / JPSJ.72.2184.
^ Ablowitz, M. J .; Segur, H. (1981). Soliton a inverzní rozptyl transformace. SIAM.
^ Leblond, H. (2002). „Hrudky KP ve feromagnetech: trojrozměrný model KdV – Burgers“. Journal of Physics A: Mathematical and General. 35 (47): 10149. doi:10.1088/0305-4470/35/47/313.
^ Zakharov, V. E. (1994). Msgstr "Disperzní limit integrovatelných systémů v rozměrech 2 + 1". Singulární limity disperzních vln. Boston: Springer. str. 165–174. ISBN 0-306-44628-6.
^ Strachan, I. A. (1995). "Moyal bracket and the dispersionless limit of the KP hierarchy". Journal of Physics A: Mathematical and General. 28 (7): 1967. arXiv:hep-th / 9410048. doi:10.1088/0305-4470/28/7/018.
^ Takasaki, K .; Takebe, T. (1995). Msgstr "Integrovatelné hierarchie a bezrozptylový limit". Recenze v matematické fyzice. 7 (5): 743–808. arXiv:hep-th / 9405096. doi:10.1142 / S0129055X9500030X.

Další čtení

Kadomtsev, B. B .; Petviashvili, V. I. (1970). "O stabilitě osamělých vln ve slabě disperzním prostředí". Sov. Phys. Dokl. 15: 539–541. Bibcode:1970SPhD ... 15..539K.. Překlad „Об устойчивости уединенных волн в слабо диспергирующих средах“. Doklady Akademii Nauk SSSR. 192: 753–756.
Kodama, Y. (2017). KP Soliton a Grassmannians: kombinatorika a geometrie dvourozměrných vln. Springer. ISBN 978-981-10-4093-1.
Lou, S. Y .; Hu, X. B. (1997). "Nekonečně mnoho párů Lax a omezení symetrie rovnice KP". Journal of Mathematical Physics. 38 (12): 6401–6427. doi:10.1063/1.532219.
Minzoni, A. A .; Smyth, N.F. (1996). "Vývoj jednorázových řešení pro rovnici KP". Wave Motion. 24 (3): 291–305. doi:10.1016 / S0165-2125 (96) 00023-6.
Nakamura, A. (1989). "Bilineární vzorec N-soliton pro rovnici KP". Journal of the Physical Society of Japan. 58 (2): 412–422. doi:10.1143 / JPSJ.58.412.
Previato, Emmo (2001) [1994], "Kadomtsev – Petviashvili rovnice", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
Xiao, T .; Zeng, Y. (2004). "Zobecněné transformace Darboux pro rovnici KP se zdroji, které jsou konzistentní". Journal of Physics A: Mathematical and General. 37 (28): 7143. arXiv:nlin / 0412070. doi:10.1088/0305-4470/37/28/006.

externí odkazy

Weisstein, Eric W. "Kadomtsev – Petviashvili rovnice". MathWorld.
Gioni Biondini a Dmitrij Pelinovský (ed.). "Kadomtsev – Petviashvili rovnice". Scholarpedia.
Bernard Deconinck. „Stránka KP“. University of Washington, Katedra aplikované matematiky. Archivovány od originál dne 2006-02-06. Citováno 2006-02-27.

[1] Wazwaz, A. M. (2007). "Multipolitonová řešení pro rovnici KP pomocí Hirotovy bilineární metody a metodou tanh-coth". Aplikovaná matematika a výpočet. 190 (1): 633–640. doi:10.1016 / j.amc.2007.01.056.

[2] Cheng, Y .; Li, Y. S. (1991). „Omezení Kadomtsev-Petviashviliho rovnice a její speciální řešení“. Fyzikální písmena A. 157 (1): 22–26. doi:10.1016 / 0375-9601 (91) 90403-U.

[3] Ma, W. X. (2015). „Paušální řešení rovnice Kadomtsev – Petviashvili“. Fyzikální písmena A. 379 (36): 1975–1978. doi:10.1016 / j.physleta.2015.06.061.

[4] Kodama, Y. (2004). "Mladé diagramy a N-solitonová řešení rovnice KP". Journal of Physics A: Mathematical and General. 37 (46): 11169. arXiv:nlin / 0406033. doi:10.1088/0305-4470/37/46/006.

[5] Deng, S.F .; Chen, D. Y .; Zhang, D. J. (2003). „Multisolitonová řešení rovnice KP se zdroji, které jsou konzistentní“. Journal of the Physical Society of Japan. 72 (9): 2184–2192. doi:10.1143 / JPSJ.72.2184.

[6] Ablowitz, M. J .; Segur, H. (1981). Soliton a inverzní rozptyl transformace. SIAM.

[7] Leblond, H. (2002). „Hrudky KP ve feromagnetech: trojrozměrný model KdV – Burgers“. Journal of Physics A: Mathematical and General. 35 (47): 10149. doi:10.1088/0305-4470/35/47/313.

[8] Zakharov, V. E. (1994). Msgstr "Disperzní limit integrovatelných systémů v rozměrech 2 + 1". Singulární limity disperzních vln. Boston: Springer. str. 165–174. ISBN 0-306-44628-6.

[9] Strachan, I. A. (1995). "Moyal bracket and the dispersionless limit of the KP hierarchy". Journal of Physics A: Mathematical and General. 28 (7): 1967. arXiv:hep-th / 9410048. doi:10.1088/0305-4470/28/7/018.

[10] Takasaki, K .; Takebe, T. (1995). Msgstr "Integrovatelné hierarchie a bezrozptylový limit". Recenze v matematické fyzice. 7 (5): 743–808. arXiv:hep-th / 9405096. doi:10.1142 / S0129055X9500030X.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]