Toda mříž - Toda lattice
The Toda mříž, představil Morikazu Toda (1967 ), je jednoduchý model pro jednorozměrný krystal v fyzika pevných látek. Je slavný, protože je to jeden z prvních příkladů nelineárního zcela integrovatelný systém.
Je to dáno řetězcem částic s interakcí nejbližšího souseda popsanou Hamiltonianem
a pohybové rovnice
kde je posunutí -tá částice ze své rovnovážné polohy,
a je jeho hybnost (hmotnost ),
a potenciál Tody .
Řešení Soliton
Soliton řešení jsou osamělé vlny šířící se v čase bez změny jejich tvaru a velikosti a vzájemné interakce v podobě částic. Obecným N-solitonovým řešením rovnice je
kde
s
kde a.
Integrovatelnost
Mřížka Toda je prototypickým příkladem a zcela integrovatelný systém. Chcete-li vidět tento používá Flaschka proměnné
tak, že čte mříž Toda
Chcete-li ukázat, že je systém zcela integrovatelný, stačí najít pár Lax, tj. Dva operátory L (t) a P (t) v Hilbertův prostor čtvercových součtových sekvencí taková, že Laxova rovnice
(kde [L, P] = LP - PL je Lež komutátor dvou operátorů) je ekvivalentní časové derivaci Flaschkových proměnných. Volba
kde f (n + 1) a f (n-1) jsou operátory směny, znamená to, že operátoři L (t) pro různé t jsou jednotně ekvivalentní.
Matice má vlastnost, že jeho vlastní čísla jsou časově neměnná. Tato vlastní čísla představují nezávislé integrály pohybu, proto je mřížka Toda zcela integrovatelná. Zejména mřížku Toda lze vyřešit pomocí inverzní rozptylová transformace pro Jacobi operátor L. Hlavní výsledek znamená, že libovolné (dostatečně rychlé) rozpadající se počáteční podmínky asymptoticky pro velké t rozdělena na součet solitonů a rozpadající se disperzní část.
Viz také
Reference
- Krüger, Helge; Teschl, Gerald (2009), „Dlouhodobá asymptotika mřížky Toda pro rozpad počátečních dat znovu navštívena“, Reverend Math. Phys., 21 (1): 61–109, arXiv:0804.4693, Bibcode:2009RvMaP..21 ... 61K, doi:10.1142 / S0129055X0900358X, PAN 2493113
- Teschl, Gerald (2000), Jacobi operátoři a zcela integrovatelné nelineární mřížky, Providence: Amer. Matematika. Soc., ISBN 978-0-8218-1940-1, PAN 1711536
- Teschl, Gerald (2001), „Téměř vše, co jsi vždy chtěl vědět o Todově rovnici.“, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 103 (4): 149–162, PAN 1879178
- Eugene Gutkin, Integrable Hamiltonians with Exponential Potential, Physica 16D (1985) 398-404. doi:10.1016 / 0167-2789 (85) 90017-X
- Toda, Morikazu (1967), „Vibrace řetězu s nelineární interakcí“, J. Phys. Soc. Jpn., 22 (2): 431–436, Bibcode:1967JPSJ ... 22..431T, doi:10.1143 / JPSJ.22.431
- Toda, Morikazu (1989), Teorie nelineárních mřížek, Springer Series in Solid-State Sciences, 20 (2. vyd.), Berlin: Springer, doi:10.1007/978-3-642-83219-2, ISBN 978-0-387-10224-5, PAN 0971987
externí odkazy
- E. W. Weisstein, Toda Lattice na ScienceWorld
- G. Teschl, Mřížka Toda
- J Phys Zvláštní vydání k padesáti let mřížky Toda