Belinski – Zakharovova transformace - Belinski–Zakharov transform

The Belinski – Zakharovova (inverzní) transformace je nelineární transformace, která generuje nová přesná řešení vakua Einsteinova rovnice pole. Byl vyvinut společností Vladimir Belinski a Vladimir Zakharov v roce 1978.[1] Transformace Belinski – Zakharov je zevšeobecněním inverzní rozptylová transformace. Řešení vyrobená touto transformací se nazývají gravitační solitony (gravisolitons). Přestože se termín „soliton“ používá k popisu gravitačních solitonů, jejich chování se velmi liší od ostatních (klasických) solitonů.[2] Zejména gravitační solitony nezachovávají svou amplitudu a tvar v čase a do června 2012 zůstává jejich obecná interpretace neznámá. Je však známo, že většina černých děr (a zejména Schwarzschildova metrika a Metrika Kerr ) jsou speciální případy gravitačních solitonů.

Úvod

Transformace Belinski – Zakharov funguje pro časoprostorové intervaly formuláře

kde používáme Einsteinova konvence součtu pro . Předpokládá se, že obě funkce a matice závisí na souřadnicích a pouze. Přesto, že je specifickou formou časoprostorový interval to závisí pouze na dvou proměnných, obsahuje velké množství zajímavých řešení a speciální případy, jako je Schwarzschildova metrika, Metrika Kerr, Metrika Einstein – Rosen, a mnoho dalších.

V tomto případě Einsteinova vakuová rovnice se rozloží na dvě sady rovnic pro matici a funkce . Pomocí souřadnic světelného kužele , první rovnice pro matici je

kde je druhá odmocnina determinantu , jmenovitě

Druhá sada rovnic je

Vezmeme-li stopu maticové rovnice pro to ve skutečnosti ukazuje splňuje vlnovou rovnici

Lax pár

Zvažte lineární operátory definován

kde je pomocný komplexní spektrální parametr. Jednoduchý výpočet ukazuje, že od té doby splňuje vlnovou rovnici, . Tato dvojice operátorů dojíždí, to je Lax pár.

Podstata za inverzní rozptylová transformace přepisuje nelineární Einsteinovu rovnici jako předurčený lineární systém rovnice pro novou maticovou funkci . Uvažujme Belinski-Zakharovovy rovnice:

Působením na levé straně první rovnice s a na levé straně druhé rovnice s a odečtením výsledků zmizí levá strana v důsledku komutativity a . Pokud jde o pravou stranu, krátký výpočet ukazuje, že skutečně zmizí stejně přesně, když splňuje Einsteinovu rovnici nelineární matice.

To znamená, že předurčené lineární rovnice Belinski – Zakharov jsou řešitelné současně přesně tehdy řeší rovnici nelineární matice. Ve skutečnosti lze snadno obnovit z funkce s hodnotou matice jednoduchým omezujícím procesem. Vezmeme-li limit v Belinski-Zakharovových rovnicích a vynásobením zprava dává

Tedy řešení nelineárního rovnice se získá z řešení lineární rovnice Belinski – Zakharov jednoduchým hodnocením

Reference

  1. ^ V. Belinskii a V. Zakharov, Integrace Einsteinových rovnic pomocí techniky problémového inverzního rozptylu a konstrukce řešení Exact Soliton, Sov. Phys. JETP 48 (6) (1978)
  2. ^ V. Belinski a E. Verdaguer, Gravitační solitony, Cambridge monografie o matematické fyzice (2001)
  • V. Belinskii a V. Zakharov (1978). „Integrace Einsteinových rovnic pomocí techniky problémového inverzního rozptylu a konstrukce řešení s přesným solitonem“. Sov. Phys. JETP. 48 (6).
  • Belinski, V .; Verdaguer, E. (2001). Gravitační solitony. Cambridge monografie o matematické fyzice. Cambridge University Press. ISBN  978-0521805865. PDF