Belinski – Zakharovova transformace - Belinski–Zakharov transform

The Belinski – Zakharovova (inverzní) transformace je nelineární transformace, která generuje nová přesná řešení vakua Einsteinova rovnice pole. Byl vyvinut společností Vladimir Belinski a Vladimir Zakharov v roce 1978.^[1] Transformace Belinski – Zakharov je zevšeobecněním inverzní rozptylová transformace. Řešení vyrobená touto transformací se nazývají gravitační solitony (gravisolitons). Přestože se termín „soliton“ používá k popisu gravitačních solitonů, jejich chování se velmi liší od ostatních (klasických) solitonů.^[2] Zejména gravitační solitony nezachovávají svou amplitudu a tvar v čase a do června 2012 zůstává jejich obecná interpretace neznámá. Je však známo, že většina černých děr (a zejména Schwarzschildova metrika a Metrika Kerr ) jsou speciální případy gravitačních solitonů.

Úvod

Transformace Belinski – Zakharov funguje pro časoprostorové intervaly formuláře

${ displaystyle ds ^ {2} = f (-d (x ^ {0}) ^ {2} + d (x ^ {1}) ^ {2}) + g_ {ab} , dx ^ {a} , dx ^ {b}}$

kde používáme Einsteinova konvence součtu pro ${ displaystyle a, b = 2,3}$. Předpokládá se, že obě funkce ${ displaystyle f}$ a matice ${ displaystyle g = g_ {ab}}$ závisí na souřadnicích ${ displaystyle x ^ {0}}$ a ${ displaystyle x ^ {1}}$ pouze. Přesto, že je specifickou formou časoprostorový interval to závisí pouze na dvou proměnných, obsahuje velké množství zajímavých řešení a speciální případy, jako je Schwarzschildova metrika, Metrika Kerr, Metrika Einstein – Rosen, a mnoho dalších.

V tomto případě Einsteinova vakuová rovnice ${ displaystyle R _ { mu nu} = 0}$ se rozloží na dvě sady rovnic pro matici ${ displaystyle g = g_ {ab}}$ a funkce ${ displaystyle f}$. Pomocí souřadnic světelného kužele ${ displaystyle zeta = x ^ {0} + x ^ {1}, eta = x ^ {0} -x ^ {1}}$, první rovnice pro matici ${ displaystyle g}$ je

${ displaystyle ( alpha g _ {, zeta} g ^ {- 1}) _ {, eta} + ( alpha g _ {, eta} g ^ {- 1}) _ {, zeta} = 0 }$

kde ${ displaystyle alpha}$ je druhá odmocnina determinantu ${ displaystyle g}$, jmenovitě

${ displaystyle det g = alpha ^ {2}}$

Druhá sada rovnic je

${ displaystyle ( ln f) _ {, zeta} = { frac {( ln alpha) _ {, zeta zeta}} {( ln alpha) _ {, zeta}}} + { frac { alpha} {4 alpha _ {, zeta}}} operatorname {tr} (g _ {, zeta} g ^ {- 1} g _ {, zeta} g ^ {- 1}) }$

${ displaystyle ( ln f) _ {, eta} = { frac {( ln alpha) _ {, eta eta}} {( ln alpha) _ {, eta}}} + { frac { alpha} {4 alpha _ {, eta}}} operatorname {tr} (g _ {, eta} g ^ {- 1} g _ {, eta} g ^ {- 1}) }$

Vezmeme-li stopu maticové rovnice pro ${ displaystyle g}$ to ve skutečnosti ukazuje ${ displaystyle alpha}$ splňuje vlnovou rovnici

${ displaystyle alpha _ {, zeta eta} = 0}$

Lax pár

Zvažte lineární operátory ${ displaystyle D_ {1}, D_ {2}}$ definován

${ displaystyle D_ {1} = částečný _ { zeta} + { frac {2 alpha _ {, zeta} lambda} { lambda - alpha}} částečný _ { lambda}}$

${ displaystyle D_ {2} = částečné _ { eta} - { frac {2 alpha _ {, eta} lambda} { lambda + alpha}} částečné _ { lambda}}$

kde ${ displaystyle lambda}$ je pomocný komplexní spektrální parametr. Jednoduchý výpočet ukazuje, že od té doby ${ displaystyle alpha}$ splňuje vlnovou rovnici, ${ displaystyle left [D_ {1}, D_ {2} right] = 0}$. Tato dvojice operátorů dojíždí, to je Lax pár.

Podstata za inverzní rozptylová transformace přepisuje nelineární Einsteinovu rovnici jako předurčený lineární systém rovnice pro novou maticovou funkci ${ displaystyle psi = psi ( zeta, eta, lambda)}$. Uvažujme Belinski-Zakharovovy rovnice:

${ displaystyle D_ {1} psi = { frac {A} { lambda - alpha}} psi}$

${ displaystyle D_ {2} psi = { frac {B} { lambda + alpha}} psi}$

Působením na levé straně první rovnice s ${ displaystyle D_ {2}}$ a na levé straně druhé rovnice s ${ displaystyle D_ {1}}$ a odečtením výsledků zmizí levá strana v důsledku komutativity ${ displaystyle D_ {1}}$ a ${ displaystyle D_ {2}}$. Pokud jde o pravou stranu, krátký výpočet ukazuje, že skutečně zmizí stejně přesně, když ${ displaystyle g}$ splňuje Einsteinovu rovnici nelineární matice.

To znamená, že předurčené lineární rovnice Belinski – Zakharov jsou řešitelné současně přesně tehdy ${ displaystyle g}$ řeší rovnici nelineární matice. Ve skutečnosti lze snadno obnovit ${ displaystyle g}$ z funkce s hodnotou matice ${ displaystyle psi}$ jednoduchým omezujícím procesem. Vezmeme-li limit ${ displaystyle lambda rightarrow 0}$ v Belinski-Zakharovových rovnicích a vynásobením ${ displaystyle psi ^ {- 1}}$ zprava dává

${ displaystyle psi _ {, zeta} psi ^ {- 1} = g _ {, zeta} g ^ {- 1}}$

${ displaystyle psi _ {, eta} psi ^ {- 1} = g _ {, eta} g ^ {- 1}}$

Tedy řešení nelineárního ${ displaystyle g}$ rovnice se získá z řešení lineární rovnice Belinski – Zakharov jednoduchým hodnocením

${ displaystyle g ( zeta, eta) = psi ( zeta, eta, 0)}$

Reference