Sněhová vločka Koch - Koch snowflake
The Sněhová vločka Koch (také známý jako Kochova křivka, Koch hvězdanebo Ostrov Koch[1][2]) je fraktální křivka a jeden z prvních fraktály které byly popsány. Je založen na Kochově křivce, která se objevila v článku z roku 1904 s názvem „Na spojité křivce bez tečen, konstruovatelný z elementární geometrie“[3] švédským matematikem Helge von Koch.
Sněhová vločka Koch může být vytvořena iterativně, v několika fázích. První fáze je rovnostranný trojúhelník a každá po sobě jdoucí fáze je tvořena přidáním vnějších ohybů na každou stranu předchozí fáze, čímž vznikají menší rovnostranné trojúhelníky. Oblasti ohraničené postupnými fázemi výstavby sněhové vločky sbíhají do 8/5 krát plocha původního trojúhelníku, zatímco obvody po sobě jdoucích fází se zvětšují bez omezení. V důsledku toho sněhová vločka obklopuje konečnou oblast, ale má nekonečný obvod.
Konstrukce
Sněhová vločka Koch může být postavena tak, že začíná znakem rovnostranný trojúhelník, pak rekurzivně upravte každý segment čáry takto:
- rozdělte úsečku na tři úseky stejné délky.
- nakreslete rovnostranný trojúhelník, který má jako základnu střední segment z kroku 1 a směřuje ven.
- z kroku 2 odstraňte úsečku, která je základnou trojúhelníku.
První opakování tohoto procesu vytváří obrys a hexagram.
Sněhová vločka Koch je limit, který se blíží, protože výše uvedené kroky jsou prováděny neomezeně. Kochova křivka původně popsaná Helge von Koch je konstruována s použitím pouze jedné ze tří stran původního trojúhelníku. Jinými slovy, tři Kochovy křivky vytvářejí Kochovu vločku.
Reprezentaci nominálně rovné plochy založené na Kochově křivce lze podobně vytvořit opakovaným segmentováním každé čáry v pilovitém vzoru segmentů s daným úhlem.[4]
Vlastnosti
Obvod sněhové vločky Koch
Každá iterace vynásobí počet stran ve sněhové vločce Koch o čtyři, takže počet stran po n iterace je dána:
Pokud má původní rovnostranný trojúhelník strany délky s, délka každé strany sněhové vločky po n iterace je:
inverzní síla tří násobek původní délky. Obvod sněhové vločky po n iterace je:
Kochova křivka má nekonečná délka, protože celková délka křivky se zvyšuje o faktor 4/3 s každou iterací. Každá iterace vytváří čtyřikrát tolik segmentů čáry jako v předchozí iteraci, přičemž délka každého z nich je 1/3 délka segmentů v předchozí fázi. Proto délka křivky po n iterace budou (4/3)n krát původní obvod trojúhelníku a je neomezený, jako n inklinuje k nekonečnu.
Hranice obvodu
Vzhledem k tomu, že počet iterací má sklon k nekonečnu, je hranice obvodu:
od té doby |4/3| > 1.
An ln 4/ln 3-dimenzionální míra existuje, ale dosud nebyla vypočítána. Byly vynalezeny pouze horní a dolní hranice.[5]
Oblast sněhové vločky Koch
{Bylo by užitečné, kdybyste zadali skutečný počet trojúhelníků pro první čtyři iterace. }
V každé iteraci je přidán nový trojúhelník na každou stranu předchozí iterace, takže počet nových trojúhelníků přidaných v iteraci n je:
Plocha každého nového trojúhelníku přidaného v iteraci je 1/9 plochy každého trojúhelníku přidané v předchozí iteraci, takže plocha každého trojúhelníku přidaná v iteraci n je:
kde A0 je oblast původního trojúhelníku. Celková nová oblast přidaná v iteraci n je tedy:
Celková plocha sněhové vločky po n iterace je:
Sbalením geometrického součtu získáte:
Limity oblasti
Limit oblasti je:
od té doby |4/9| < 1.
Plocha sněhové vločky Koch tedy je 8/5 oblasti původního trojúhelníku. Vyjádřeno délkou strany s původního trojúhelníku, to je:[6]
Solidní revoluce
Objem revoluční těleso Kochovy sněhové vločky kolem osy symetrie iniciačního rovnostranného trojúhelníku na straně jednotky je [7]
Další vlastnosti
Sněhová vločka Koch se samy replikuje se šesti menšími kopiemi obklopujícími jednu větší kopii uprostřed. Jedná se tedy o irrep-7 irrep-dlaždici (viz Plaz k diskusi).
The fraktální dimenze Kochovy křivky je ln 4/ln 3 ≈ 1,26186. To je větší než u řádku (= 1), ale menší než u řádku Peano je křivka vyplňování prostoru (=2).
Kochova křivka je kontinuální všude, ale rozlišitelný nikde.
Teselace letadla
Je možné mozaikový letadlo kopiemi sněhových vloček Koch ve dvou různých velikostech. Taková mozaikování však není možné pomocí pouze sněhových vloček jedné velikosti. Protože každou vločku Koch v mozaikování lze rozdělit na sedm menších sněhových vloček dvou různých velikostí, je také možné najít mozaiky, které používají více než dvě velikosti najednou.[8] K obkládání rovin lze použít sněhové vločky Koch a stejné sněhové vločky Koch stejné velikosti.
Sekvence Thue – Morse a grafika želvy
A želva grafika je křivka, která je generována, pokud je automat naprogramován se sekvencí Sekvence Thue – Morse členové se používají k výběru stavů programu:
- Li t(n) = 0, posunout se o jednu jednotku vpřed,
- Li t(n) = 1, otočit proti směru hodinových ručiček o úhel π/3,
výsledná křivka konverguje ke sněhové vločce Koch.
Zastoupení jako systém Lindenmayer
Kochovu křivku lze vyjádřit následujícím způsobem přepsat systém (Systém Lindenmayer ):
- Abeceda : F
- Konstanty : +, −
- Axiom : F
- Pravidla výroby:
- F → F + F - F + F
Tady, F znamená „táhnout dopředu“, - znamená „otočit doprava o 60 °“ a + znamená „otočit doleva o 60 °“.
K vytvoření Kochovy sněhové vločky by bylo jako axiom použito F - F - F (rovnostranný trojúhelník).
Varianty Kochovy křivky
Podle konceptu von Kocha bylo navrženo několik variant Kochovy křivky s ohledem na pravé úhly (kvadratický ), jiné úhly (Cesàro ), kruhy a mnohostěn a jejich rozšíření do vyšších dimenzí (Sphereflake a Kochcube)
Varianta (dimenze, úhel ) | Ilustrace | Konstrukce |
---|---|---|
≤1D, úhel 60-90 ° | Fraktál Cesàro je variantou Kochovy křivky s úhlem mezi 60 ° a 90 °.[Citace je zapotřebí ] | |
≈1,46D, úhel 90 ° | ||
1,5 D, úhel 90 ° | Minkowski klobása[9] | |
≤2D, úhel 90 ° | Ostrov Minkowski | |
≈1,37D, úhel 90 ° | ||
≤2D, úhel 90 ° | Protikřivka křížového stehu, kvadratická vločka typu 1, s křivkami směřujícími dovnitř místo ven (Vicsekův fraktál ) | |
≈1,49D, úhel 90 ° | Další variace. Jeho fraktální dimenze se rovná ln 3,33/ln √5 = 1.49. | |
≤2D, úhel 90 ° | ||
≤2D, úhel 60 ° | ||
≤2D, úhel 90 ° | Rozšíření kvadratické křivky typu 1. Ilustrace vlevo ukazuje fraktál po druhé iteraci | |
≤3D, jakékoli | Trojrozměrný fraktál sestrojený z Kochových křivek. Tvar lze považovat za trojrozměrné prodloužení křivky ve stejném smyslu jako Sierpiński pyramida a Menger houba lze považovat za rozšíření Sierpinského trojúhelník a Sierpinski koberec. Verze křivky použitá pro tento tvar používá úhly 85 °. |
K vytvoření podobných fraktálních křivek lze použít čtverce. Počínaje jednotkovým čtvercem a přidáním každé strany při každé iteraci čtverce s dimenzí jedné třetiny čtverců v předchozí iteraci, lze ukázat, že jak délka obvodu, tak celková plocha jsou určeny geometrickými průběhy. Postup pro oblast konverguje na 2, zatímco postup pro obvod se rozbíhá do nekonečna, takže stejně jako v případě vločky Koch máme konečnou oblast ohraničenou nekonečnou fraktální křivkou.[15] Výsledná oblast vyplní čtverec se stejným středem jako originál, ale dvojnásobnou plochu a otočí se o π/4 radiány, obvod se dotýká, ale nikdy se nepřekrývá.
Celková plocha pokrytá v niterace je:
zatímco celková délka obvodu je:
který se blíží k nekonečnu jako n zvyšuje.
Viz také
- Seznam fraktálů podle Hausdorffovy dimenze
- Gabrielův roh (nekonečný povrch, ale uzavírá konečný objem)
- Gosperova křivka (také známá jako Peano – Gosperova křivka nebo flownake)
- Osgoodova křivka
- Self-podobnost
- Teragon
- Funkce Weierstrass
- Paradox pobřeží
Reference
- ^ Addison, Paul S. (1997). Fraktály a chaos: Ilustrovaný kurz. Fyzikální ústav. p. 19. ISBN 0-7503-0400-6.
- ^ Lauwerier, Hans (1991). Fraktály: nekonečně opakované geometrické obrazce. Přeložila Gill-Hoffstädt, Sophia. Princeton University Press. p. 36. ISBN 0-691-02445-6.
Mandelbrot tomu říkal ostrov Koch.
- ^ von Koch, Helge (1904). „Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire“. Pro Matematik (francouzsky). 1: 681–704. JFM 35.0387.02.
- ^ Alonso-Marroquin, F .; Huang, P .; Hanaor, D .; Flores-Johnson, E .; Proust, G .; Gan, Y .; Shen, L. (2015). "Statické tření mezi tuhými fraktálními plochami" (PDF). Fyzický přehled E. 92 (3): 032405. doi:10.1103 / PhysRevE.92.032405. hdl:2123/13835. PMID 26465480. - Studium fraktálních povrchů pomocí Kochových křivek.
- ^ Zhu, Zhi Wei; Zhou, Zuo Ling; Jia, Bao Guo (říjen 2003). „Na spodní hranici Hausdorffovy míry Kochovy křivky“. Acta Mathematica Sinica. 19 (4): 715–728. doi:10.1007 / s10114-003-0310-2. S2CID 122517792.
- ^ "Koch vločka". ecademy.agnesscott.edu.
- ^ McCartney, Mark (16. 04. 2020). "Plocha, těžiště a objem otáček Kochovy křivky". International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. 0: 1–5. doi:10.1080 / 0020739X.2020.1747649. ISSN 0020-739X.
- ^ Burns, Aidan (1994). "Fraktální obklady". Matematický věstník. 78 (482): 193–6. doi:10.2307/3618577. JSTOR 3618577..
- ^ Paul S. Addison, Fraktály a chaos: Ilustrovaný kurz, str. 19, CRC Press, 1997 ISBN 0849384435.
- ^ Weisstein, Eric W. (1999). "Minkowski klobása ", archive.lib.msu.edu. Přístup: 21. září 2019.
- ^ Pamfilos, Paříž. "Minkowski klobása ", user.math.uoc.gr/~pamfilos/. Přístup: 21. září 2019.
- ^ Weisstein, Eric W. "Minkowski klobása". MathWorld. Citováno 22. září 2019.
- ^ Mandelbrot, B. B. (1983). Fraktální geometrie přírody, str.48. New York: W. H. Freeman. ISBN 9780716711865. Citováno v Weisstein, Eric W. "Minkowski klobása". MathWorld. Citováno 22. září 2019..
- ^ Appignanesi, Richard; vyd. (2006). Představujeme fraktální geometrii. Ikona. ISBN 978-1840467-13-0.
- ^ Předvedeno James McDonald na veřejné přednášce na univerzitě KAUST 27. ledna 2013. „Archivovaná kopie“. Archivovány od originál dne 12.01.2013. Citováno 2013-01-29.CS1 maint: archivovaná kopie jako titul (odkaz) vyvoláno 29. ledna 2013.
Další čtení
- Kasner, Edward; Newman, James (2001) [1940]. „IX Změna a vyměnitelnost § Sněhová vločka“. Matematika a představivost. Dover Press. str. 344–351. ISBN 0-486-41703-4.
externí odkazy
Externí video | |
---|---|
Fraktál vločky Koch |
- (2000) „von Kochova křivka“, Počítačová laboratoř efg na Wayback Machine (archivováno 20. července 2017)
- Báseň Kochovy křivky od Bernta Wahla, Wahl.org. Citováno 23. září 2019.
- Weisstein, Eric W. "Koch vločka". MathWorld. Citováno 23. září 2019.
- "7 iterací Kochovy křivky". Wolfram Alpha Stránky. Citováno 23. září 2019.
- "Square Koch fraktální křivky". Demonstrační projekt Wolfram. Citováno 23. září 2019.
- "Square Koch fraktální povrch". Demonstrační projekt Wolfram. Citováno 23. září 2019.
- Aplikace Kochovy křivky na anténu
- Animace WebGL ukazující konstrukci povrchu Koch, tchaumeny.github.io. Citováno 23. září 2019.
- „Matematická analýza Kochovy křivky a kvadratické Kochovy křivky“ (PDF). Archivovány od originál (pdf) dne 26. dubna 2012. Citováno 22. listopadu 2011.