Lebesguesova věta o hustotě - Lebesgues density theorem - Wikipedia

v matematika, Lebesgueova věta o hustotě uvádí, že pro všechny Lebesgue měřitelná sada ${ displaystyle A podmnožina mathbb {R} ^ {n}}$"hustota" A je 0 nebo 1 v skoro každý ukázat ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$. "Hustota" navíc A je téměř v každém bodě 1 A. Intuitivně to znamená, že "okraj" A, množina bodů v A jehož "sousedství" je částečně v A a částečně mimo A, je zanedbatelný.

Nechť μ je Lebesgueova míra na Euklidovský prostor Rⁿ a A být Lebesgue měřitelnou podmnožinou Rⁿ. Definujte přibližná hustota z A v sousedství ε bodu X v Rⁿ tak jako

${ displaystyle d _ { varepsilon} (x) = { frac { mu (A cap B _ { varepsilon} (x))} { mu (B _ { varepsilon} (x))}}}$

kde B_ε označuje uzavřená koule poloměru ε se středem na X.

Lebesgueova věta o hustotě tvrdí, že téměř pro každý bod X z A the hustota

${ displaystyle d (x) = lim _ { varepsilon až 0} d _ { varepsilon} (x)}$

existuje a rovná se 1.

Jinými slovy, pro každou měřitelnou sadu A, hustota A je 0 nebo 1 téměř všude v Rⁿ.^[1] Je však zvláštním faktem, že pokud μ (A)> 0 a μ (Rⁿ \ A) > 0, pak vždy existují body Rⁿ kde hustota není ani 0 ani 1.

Například vzhledem k čtverci v rovině je hustota v každém bodě uvnitř čtverce 1, na okrajích 1/2 a v rozích 1/4. Sada bodů v rovině, ve které hustota není ani 0, ani 1, není neprázdná (hranatá hrana), ale je zanedbatelná.

Lebesgueova věta o hustotě je zvláštním případem Lebesgueova věta o diferenciaci.

Tato věta tedy platí také pro každou konečnou Borelovu míru Rⁿ namísto Lebesgueovy míry viz Diskuse.

Viz také

• Lebesgueova věta o diferenciaci

Reference

• Hallard T. Croft. Tři problémy mřížového bodu Steinhausu. Kvart. J. Math. Oxford (2), 33:71-83, 1982.

Tento článek obsahuje materiál z věty o hustotě Lebesgue PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.