Lusinsova věta - Lusins theorem - Wikipedia

V matematický pole skutečná analýza, Lusinova věta (nebo Luzinova věta, pojmenovaný pro Nikolai Luzin ) nebo Lusinovo kritérium uvádí, že téměř všude konečná funkce je měřitelný právě když je to spojitá funkce téměř na celé své doméně. V neformální formulace z J. E. Littlewood, "každá měřitelná funkce je téměř spojitá".

Klasický výrok

Na interval [A, b], nechť

${ displaystyle f: [a, b] rightarrow mathbb {C}}$

být měřitelná funkce. Pak pro každého ε > 0, existuje kompaktní E ⊆ [A, b] takové, že F omezeno na E je spojitý a

${ displaystyle mu (E)> b-a- varepsilon.}$

Všimněte si, že E zdědí topologie podprostoru z [A, b]; kontinuita F omezeno na E je definována pomocí této topologie.

Také pro jakoukoli funkci F, definované na intervalu [a, b] a téměř všude konečný, pokud vůbec ε> 0 existuje funkce ϕ, nepřetržitě zapnuto [a, b], tak, že míra množiny

${ displaystyle {x v [a, b]: f (x) neq phi (x) }}$

je méně než ε, pak F je měřitelný.^[1]

Obecná forma

Nechat ${ displaystyle (X, Sigma, mu)}$ být Radonová míra prostor a Y být druhý spočetný topologický prostor vybavený a Borel algebra a nechte

${ displaystyle f: X rightarrow Y}$

být měřitelná funkce. Dáno ${ displaystyle varepsilon> 0}$, pro každého ${ displaystyle A in Sigma}$ konečné míry je uzavřená množina ${ displaystyle E}$ s ${ displaystyle mu (A setminus E) < varepsilon}$ takhle ${ displaystyle f}$ omezeno na ${ displaystyle E}$ je spojitý. Li ${ displaystyle A}$ je místně kompaktní, můžeme si vybrat ${ displaystyle E}$ být kompaktní a dokonce najít souvislou funkci ${ displaystyle f _ { varepsilon}: X rightarrow Y}$ s kompaktní podporou, která se shoduje s ${ displaystyle f}$ na ${ displaystyle E}$ a takhle ${ displaystyle sup _ {x v X} | f _ { varepsilon} (x) | leq sup _ {x v X} | f (x) |}$.

Neformálně lze měřitelné funkce do prostorů se spočetnou základnou aproximovat spojitými funkcemi na libovolně velké části jejich domény.

Na důkaz

Důkaz Lusinovy ​​věty lze najít v mnoha klasických knihách. Intuitivně to člověk očekává jako důsledek Egorovova věta a hustota hladkých funkcí. Egorovova věta uvádí, že bodová konvergence je téměř uniformní a uniformní konvergence zachovává kontinuitu.

Reference

• N. Lusin. Sur les propriétés des fonctions mesurables, Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris 154 (1912), 1688–1690.
• G. Folland. Skutečná analýza: Moderní techniky a jejich aplikace, 2. vyd. Kapitola 7
• W. Zygmunt. Vlastnictví Scorza-Dragoni (v polštině), UMCS, Lublin, 1990
• M. B. Feldman, „Důkaz Lusinovy ​​věty“, americký matematik. Měsíčně, 88 (1981), 191-2
• Lawrence C. Evans, Ronald F. Gariepy, „Teorie měření a jemné vlastnosti funkcí“, CRC Press Taylor & Francis Group, Učebnice matematiky, Věta 1.14