Podmínka kompatibility Saint-Venants - Saint-Venants compatibility condition - Wikipedia

V matematické teorii pružnost, Podmínka kompatibility Saint-Venant definuje vztah mezi kmen ${ displaystyle varepsilon}$ a a pole posunutí ${ displaystyle u}$ podle

${ displaystyle epsilon _ {ij} = { frac {1} {2}} vlevo ({ frac { částečné u_ {i}} { částečné x_ {j}}} + { frac { částečné u_ {j}} { částečné x_ {i}}} vpravo)}$

kde ${ displaystyle 1 leq i, j leq 3}$. Barré de Saint-Venant odvodil podmínku kompatibility pro libovolné symetrické druhé pořadí tenzorové pole abychom měli tuto formu, nyní to bylo zobecněno na symetrická tenzorová pole vyššího řádu na prostorech dimenze ${ displaystyle n geq 2}$

Tenzorová pole 2. stupně

Pro symetrické pole tenzorového stupně 2 ${ displaystyle F}$ v n-dimenzionálním euklidovském prostoru (${ displaystyle n geq 2}$) stav integrability má podobu zmizení tenzoru Saint-Venant ${ displaystyle W (F)}$ ^[1] definován

${ displaystyle W_ {ijkl} = { frac { částečné ^ {2} F_ {ij}} { částečné x_ {k} částečné x_ {l}}} + { frac { částečné ^ {2} F_ {kl}} { částečné x_ {i} částečné x_ {j}}} - { frac { částečné ^ {2} F_ {il}} { částečné x_ {j} částečné x_ {k}}} - { frac { částečné ^ {2} F_ {jk}} { částečné x_ {i} částečné x_ {l}}}}$

Výsledek, že na a jednoduše připojeno doména W = 0 znamená, že kmen je symetrický derivát nějakého vektorového pole, byla poprvé popsána Barré de Saint-Venantem v roce 1864 a důsledně prokázána Beltrami v roce 1886.^[2] Pro nespojené domény existují konečné dimenzionální prostory symetrických tenzorů s mizejícím Saint-Venantovým tenzorem, které nejsou symetrickou derivací vektorového pole. Situace je obdobná de Rhamova kohomologie^[3]

Tenzor Saint-Venant ${ displaystyle W}$ úzce souvisí s Riemannův tenzor zakřivení ${ displaystyle R_ {ijkl}}$. Opravdu první variace ${ displaystyle R}$ o euklidovské metrice s poruchami v metrice ${ displaystyle F}$ je přesně ${ displaystyle W}$.^[4] V důsledku toho je počet nezávislých složek ${ displaystyle W}$ je stejné jako ${ displaystyle R}$^[5] konkrétně ${ displaystyle { frac {n ^ {2} (n ^ {2} -1)} {12}}}$ pro rozměr n.^[6] Konkrétně pro ${ displaystyle n = 2}$, ${ displaystyle W}$ má pouze jednu nezávislou složku, pokud jde o ${ displaystyle n = 3}$ je jich šest.

Ve své nejjednodušší formě samozřejmě komponenty ${ displaystyle F}$ je třeba předpokládat dvakrát kontinuálně diferencovatelné, ale novější práce^[2] dokazuje výsledek v mnohem obecnějším případě.

Vztah mezi podmínkou kompatibility Saint-Venant a Poincarého lemma lze pochopit jasněji pomocí redukované formy ${ displaystyle W}$ Krönerův tenzor ^[5]

${ displaystyle K_ {i_ {1} ... i_ {n-2} j_ {1} ... j_ {n-2}} = epsilon _ {i_ {1} ... i_ {n-2} kl} epsilon _ {j_ {1} ... j_ {n-2} mp} F_ {lm, kp}}$

kde ${ displaystyle epsilon}$ je symbol obměny. Pro ${ displaystyle n = 3}$, ${ displaystyle K}$je symetrické pole tenzoru 2. stupně. Zmizení ${ displaystyle K}$ je ekvivalentem zmizení ${ displaystyle W}$ a to také ukazuje, že pro důležitý případ tří dimenzí existuje šest nezávislých komponent. I když to stále zahrnuje spíše dva deriváty než ten v Poincaréově lematu, je možné snížit na problém zahrnující první deriváty zavedením více proměnných a ukázalo se, že výsledný „komplex pružnosti“ je ekvivalentní komplex de Rham.^[7]

V diferenciální geometrii se symetrizovaná derivace vektorového pole objevuje také jako Derivát lži metrického tenzoru G vzhledem k vektorovému poli.

${ displaystyle T_ {ij} = ({ mathcal {L}} _ {U} g) _ {ij} = U_ {i; j} + U_ {j; i}}$

kde indexy následující za středníkem označují kovariantní diferenciaci. Zmizení ${ displaystyle W (T)}$ je tedy podmínkou integrability pro místní existenci ${ displaystyle U}$ v euklidovském případě. Jak je uvedeno výše, toto se shoduje s mizením linearizace Riemannova tenzoru zakřivení kolem euklidovské metriky.

Zevšeobecnění na tenzory vyšší hodnosti

Podmínky kompatibility společnosti Saint-Venant lze považovat za analog pro symetrická tenzorová pole Poincarého lemma pro šikmá symetrická tenzorová pole (diferenciální formy ). Výsledek lze zobecnit na vyšší hodnost symetrický tenzor pole.^[8] Nechť F je symetrické tenzorové pole rank-k na otevřené množině v n-dimenzionálním Euklidovský prostor, pak symetrická derivace je pole k + 1 tenzorového pole definované

${ displaystyle (dF) _ {i_ {1} ... i_ {k} i_ {k + 1}} = F _ {(i_ {1} ... i_ {k}, i_ {k + 1})} }$

kde používáme klasickou notaci, že indexy následující za čárkou označují diferenciaci a skupiny indexů uzavřené v závorkách označují symetrizaci nad těmito indexy. Tenzor Saint-Venant ${ displaystyle W}$ symetrického pole tenzoru rank-k ${ displaystyle T}$ je definováno

${ displaystyle W_ {i_ {1} .. i_ {k} j_ {1} ... j_ {k}} = V _ {(i_ {1} .. i_ {k}) (j_ {1} ... j_ {k})}}$

s

${ displaystyle V_ {i_ {1} .. i_ {k} j_ {1} ... j_ {k}} = součet limity _ {p = 0} ^ {k} (- 1) ^ {p} {k select p} T_ {i_ {1} .. i_ {kp} j_ {1} ... j_ {p}, j_ {p + 1} ... j_ {k} i_ {k-p + 1 } ... i_ {k}}}$

Na jednoduše připojeno doména v euklidovském prostoru ${ displaystyle W = 0}$ to naznačuje ${ displaystyle T = dF}$ pro nějakou hodnost k-1 symetrické tenzorové pole ${ displaystyle F}$.

Reference

Viz také

• Kompatibilita (mechanika)