Biquaternion algebra - Biquaternion algebra - Wikipedia
V matematice, a biquaternion algebra je sloučenina z čtveřice algeber přes pole.
The biquaternions z William Rowan Hamilton (1844) a související split-biquaternions a duální čtveřice netvoří v tomto smyslu bikvaternionové algebry.
Definice
Nechat F být oborem charakteristický nerovná se 2.A biquaternion algebra přes F je tenzorový produkt ze dvou čtveřice algeber.[1][2]
Biquaternionová algebra je a centrální jednoduchá algebra dimenze 16 a stupeň 4 nad základním polem: má exponent (pořadí jeho Brauerova třída v Brauerova skupina z F)[3] rovno 1 nebo 2.
Albertova věta
Nechat A = (A1,A2) a B = (b1,b2) být čtveřice algeber F.
The Albertova forma pro A, B je
Lze jej považovat za rozdíl v Wittův prsten ternárních forem připojených k imaginárním podprostorům A a B.[4] Čtveřice algebry jsou propojeno právě když je Albertova forma izotropní, v opačném případě nepřipojeno.[5]
Albert Věta uvádí, že ekvivalentní jsou následující:
- A⊗B je divize algebra;
- Albertova forma je anizotropní;
- A, B jsou divizní algebry a nemají společné kvadratické dělící pole.[6][7]
V případě spojených algeber můžeme dále klasifikovat další možné struktury pro tenzorový produkt z hlediska Albertovy formy. Pokud je formulář hyperbolický, pak je bikvaterniónová algebra isomorfní s algebrou M4(F) matic 4 × 4 F: jinak je isomorfní s produktem M.2(F)⊗D kde D je algebra divize čtveřic F.[2] The Schurův index biquaternionové algebry je 4, 2 nebo 1 podle Wittův index Albertovy formy je 0, 1 nebo 3.[8][9]
Charakterizace
Albertova věta uvádí, že každá centrální jednoduchá algebra stupně 4 a exponentu 2 je biquaternionová algebra.[8][10]
Reference
- ^ Lam (2005), s. 60
- ^ A b Szymiczek (1997) str. 452
- ^ Cohn, Paul M. (2003). Další algebra a aplikace. Springer-Verlag. str. 208. ISBN 1852336676.
- ^ Knus a kol. (1991) str. 192
- ^ Lam (2005), str.70
- ^ Albert, A.A. (1972). „Tenzorové produkty kvaternionových algeber“. Proc. Dopoledne. Matematika. Soc. 35: 65–66. doi:10.1090 / s0002-9939-1972-0297803-6. Zbl 0263.16012.
- ^ Jacobson (1996) str.77
- ^ A b Lam (2005), s. 437
- ^ Knus a kol. (1991) str. 236
- ^ Knus a kol. (1991) str. 233
- Albert, A. Adrian (1932). „Normální dělení algebry stupně čtyři přes algebraické pole“. Trans. Dopoledne. Matematika. Soc. 34: 363–372. doi:10.2307/1989546. Zbl 0004.10002.
- Jacobson, Nathan (1996). Konečně-dimenzionální dělení algeber na pole. Berlín: Springer-Verlag. ISBN 3-540-57029-2. Zbl 0874.16002.
- Knus, Max-Albert; Merkurjev, Alexander; Rost, Markus; Tignol, Jean-Pierre (1998). Kniha involucí. Publikace kolokvia. 44. S předmluvou J. Tits. Providence, RI: Americká matematická společnost. ISBN 0-8218-0904-0. Zbl 0955.16001.
- Lam, Tsit-Yuen (2005). Úvod do kvadratických forem nad poli. Postgraduální studium matematiky. 67. Americká matematická společnost. ISBN 0-8218-1095-2. PAN 2104929. Zbl 1068.11023.
- Szymiczek, Kazimierz (1997). Bilineární algebra. Úvod do algebraické teorie kvadratických forem. Algebra, logika a aplikace. 7. Langhorne, PA: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 9056990764. Zbl 0890.11011.