Věta o primitivním prvku - Primitive element theorem - Wikipedia

v teorie pole, věta o primitivním prvku nebo Artinova věta o primitivních prvcích je výsledek charakterizující konečný stupeň rozšíření pole generované jediným primitivní prveknebo jednoduchá rozšíření. Říká, že konečné rozšíření je jednoduché právě tehdy, pokud existuje pouze konečně mnoho mezilehlých polí. Zejména konečné oddělitelný rozšíření jsou jednoduchá, včetně algebraické číselné pole přes racionální čísla a rozšíření, ve kterých jsou obě pole konečná.

Terminologie

Nechat ${ displaystyle E / F}$ být rozšíření pole. Prvek ${ displaystyle alpha v E}$ je primitivní prvek pro ${ displaystyle E / F}$ když${ displaystyle E = F ( alfa).}$

Pokud takový primitivní prvek existuje, pak ${ displaystyle E / F}$ se označuje jako a jednoduché rozšíření. Pokud rozšíření pole je konečného stupně ${ displaystyle n = [E: F]}$, pak každý prvek X z E lze napsat ve formě

${ displaystyle x = f_ {n-1} { alpha} ^ {n-1} + cdots + f_ {1} { alpha} + f_ {0},}$

kde ${ displaystyle f_ {i} ve F}$ pro všechny i, a ${ displaystyle alpha v E}$ je opraveno. To je, pokud ${ displaystyle E / F}$ je jednoduché rozšíření stupně n, tady existuje ${ displaystyle alpha v E}$ takové, že soubor

${ displaystyle {1, alfa, ldots, { alpha} ^ {n-1} }}$

je základem pro E jako vektorový prostor přes F.

Příklad

Pokud se někdo připojí k racionální čísla ${ displaystyle F = mathbb {Q}}$ dvě iracionální čísla ${ displaystyle { sqrt {2}}}$ a ${ displaystyle { sqrt {3}}}$ získat pole rozšíření ${ displaystyle E = mathbb {Q} ({ sqrt {2}}, { sqrt {3}})}$ z stupeň 4, lze ukázat, že toto rozšíření je jednoduché, což znamená ${ displaystyle E = mathbb {Q} ( alpha)}$ pro jednoho ${ displaystyle alpha v E}$. Brát ${ displaystyle alpha = { sqrt {2}} + { sqrt {3}}}$, mocniny 1, α , α², α³ lze rozšířit jako lineární kombinace z 1, ${ displaystyle { sqrt {2}}}$, ${ displaystyle { sqrt {3}}}$, ${ displaystyle { sqrt {6}}}$ s celočíselnými koeficienty. Jeden to může vyřešit soustava lineárních rovnic pro ${ displaystyle { sqrt {2}}}$ a ${ displaystyle { sqrt {3}}}$ přes ${ displaystyle mathbb {Q} ( alfa)}$, například ${ displaystyle { sqrt {2}} = { tfrac {1} {2}} ( alpha ^ {3} -9 alpha)}$. To ukazuje, že α je skutečně primitivní prvek:

${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt {2}}, { sqrt {3}}) = mathbb {Q} ({ sqrt {2}} + { sqrt {3}}).}$

Dalším argumentem je zmínka o nezávislosti 1, ${ displaystyle { sqrt {2}}}$, ${ displaystyle { sqrt {3}}}$, ${ displaystyle { sqrt {6}}}$ nad rozumem; to ukazuje, že podpole generované α nemůže být tím generovaným ${ displaystyle { sqrt {2}}}$ nebo ${ displaystyle { sqrt {3}}}$ nebo ${ displaystyle { sqrt {6}}}$, vyčerpávající všechna podpole stupně 2, jak je uvedeno v Galoisova teorie. Proto, ${ displaystyle mathbb {Q} ( alfa)}$ musí být celé pole.

Věta o klasických primitivních prvcích

Nechat ${ displaystyle E / F}$ být oddělitelný nástavec konečného stupně. Pak ${ displaystyle E = F ( alfa)}$ pro některé ${ displaystyle alpha v E}$; to znamená, že rozšíření je jednoduché a ${ displaystyle alpha}$ je primitivní prvek.

Prohlášení o existenci

Interpretace věty se změnila s formulací teorie Emil Artin, kolem roku 1930. Od dob Galois bylo úlohou primitivních prvků představovat a rozdělení pole generováno jedním prvkem. Artinova léčba obcházela tuto (svévolnou) volbu takového prvku.^[1] Zároveň úvahy o konstrukci takového prvku ustoupily: věta se stává věta o existenci.

Následující Artinova věta pak nahradí klasiku věta o primitivním prvku.

Teorém

Nechat ${ displaystyle E / F}$ být konečným stupněm rozšíření pole. Pak ${ displaystyle E = F ( alpha)}$ pro nějaký prvek ${ displaystyle alpha v E}$ právě když existuje pouze konečně mnoho mezilehlých polí K. s ${ displaystyle E supseteq K supseteq F}$.

Důsledkem věty je pak věta primitivního prvku v tradičnějším smyslu (kde se obvykle mlčky předpokládala oddělitelnost):

Důsledek

Nechat ${ displaystyle E / F}$ být konečným stupněm oddělitelný nástavec. Pak ${ displaystyle E = F ( alfa)}$ pro některé ${ displaystyle alpha v E}$.

Důsledek platí pro algebraické číselné pole, tj. konečná rozšíření racionálních čísel Q, od té doby Q má charakteristický 0 a tedy každé konečné prodloužení Q je oddělitelný.

Protiklady

Pro nerozebíratelné rozšíření ${ displaystyle E / F}$ z charakteristický p, přesto existuje primitivní prvek za předpokladu, že stupeň [E : F] je p: ve skutečnosti nemohou existovat žádná netriviální mezilehlá podpole, protože jejich stupně by byly faktory prvočísla str.

Když [E : F] = str², nemusí existovat primitivní prvek (v takovém případě existuje nekonečně mnoho mezilehlých polí). Nejjednodušší příklad je ${ displaystyle E = mathbb {F} _ {p} (T, U)}$, pole racionálních funkcí ve dvou neurčitých T a U přes konečné pole s str prvky a ${ displaystyle F = mathbb {F} _ {p} (T ^ {p}, U ^ {p})}$. Ve skutečnosti pro libovolné α = G(T, U) v Eprvek α^str leží v F, takže α je kořenem ${ displaystyle f (X) = X ^ {p} - alpha ^ {p} v F [X]}$a α nemůže být primitivním prvkem (stupně str² přes F), ale místo toho F(α) je netriviální mezilehlé pole.

Konstruktivní výsledky

Obecně sada všech primitivních prvků pro konečné oddělitelné rozšíření E / F je doplňkem konečné kolekce správných F-prostoryE, jmenovitě mezilehlá pole. Toto prohlášení neříká nic pro případ konečná pole, pro kterou existuje výpočetní teorie věnovaná hledání generátoru multiplikativní skupina pole (a cyklická skupina ), který je tím spíše primitivní prvek. Kde F je nekonečný, a princip pigeonhole proof proof uvažuje lineární podprostor generovaný dvěma prvky a dokazuje, že existuje pouze konečně mnoho lineárních kombinací

${ displaystyle gamma = alpha + c beta }$

s C v F, které nevygenerují podpole obsahující oba prvky:

tak jako ${ displaystyle F ( alpha, beta) / F ( alpha + c beta)}$ je oddělitelná přípona, pokud ${ displaystyle F ( alpha + c beta) subsetneq F ( alpha, beta)}$ existuje netriviální vložení ${ displaystyle sigma: F ( alpha, beta) {{overline {F}}}$ jehož omezení na ${ displaystyle F ( alpha + c beta)}$ je identita, která znamená ${ Displaystyle sigma ( alfa) + c sigma ( beta) = alfa + c beta}$ a ${ displaystyle sigma ( beta) neq beta}$ aby ${ displaystyle c = { frac { sigma ( alpha) - alpha} { beta - sigma ( beta)}}}$. Tento výraz pro C může trvat jen ${ displaystyle [F ( alfa): F] [F ( beta): F]}$ různé hodnoty. Pro všechny ostatní hodnoty ${ displaystyle c ve F}$ pak ${ displaystyle F ( alpha, beta) = F ( alpha + c beta)}$.

Toto je téměř okamžité jako způsob, jak ukázat, jak Artinův výsledek implikuje klasický výsledek a je vázán na počet výjimečných C pokud jde o počet výsledků mezilehlých polí (toto číslo je něco, co může být ohraničeno Galoisovou teorií a a priori). V tomto případě je proto pokus a omyl možnou praktickou metodou k nalezení primitivních prvků.

Viz také

• Primitivní prvek (konečné pole)

Reference

externí odkazy

• Poznámky k kurzu J. Milna o polích a Galoisově teorii
• Věta o primitivním prvku na mathreference.com
• Věta o primitivním prvku na planetmath.org
• Věta o primitivním prvku na webu Kena Browna (soubor PDF)