Propojené pole - Linked field

V matematice, a propojené pole je pole pro které kvadratické formy připojený k čtveřice algeber mít společný majetek.

Propojené čtveřice algeber

Nechat F být oborem charakteristický nerovná se 2. Let A = (A₁,A₂) a B = (b₁,b₂) být čtveřice algeber F. Algebry A a B jsou spojené kvartérní algebry přes F Pokud existuje X v F takhle A je ekvivalentní (X,y) a B je ekvivalentní (X,z).^[1]^:69

The Albertova forma pro A, B je

{ displaystyle q = left langle {-a_ {1}, - a_ {2}, a_ {1} a_ {2}, b_ {1}, b_ {2}, - b_ {1} b_ {2} } doprava rangle .}

Lze jej považovat za rozdíl v Wittův prsten ternárních forem připojených k imaginárním podprostorům A a B.^[2] Čtveřice algebry jsou propojeny právě tehdy, pokud je to Albertova forma izotropní.^[1]^:70

Propojená pole

Pole F je propojeno pokud nějaké dvě čtveřice algeber F jsou propojeny.^[1]^:370 Každý globální a místní pole je spojeno, protože všechny kvadratické formy stupně 6 přes tato pole jsou izotropní.

Následující vlastnosti F jsou ekvivalentní:^[1]^:342

F je propojený.
Jakékoli dvě čtveřice algeber F jsou propojeny.
Každý Albertova forma (dimenze šestá forma diskriminujícího −1) je izotropní.
Kvartérní algebry tvoří podskupinu Brauerova skupina z F.
Každá dimenze pět se utváří F je Soused Pfister.
Ne biquaternion algebra přes F je divize algebra.

Neskutečné propojené pole má u-invariantní rovná se 1,2,4 nebo 8.^[1]^:406

Reference

^ ^A ^b ^C ^d ^E Lam, Tsit-Yuen (2005). Úvod do kvadratických forem nad poli. Postgraduální studium matematiky. 67. Americká matematická společnost. ISBN 0-8218-1095-2. PAN 2104929. Zbl 1068.11023.
^ Knus, Max-Albert (1991). Kvadratická a hermitovská forma přes prsteny. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 294. Berlín atd .: Springer-Verlag. str. 192. ISBN 3-540-52117-8. Zbl 0756.11008.

Gentile, Enzo R. (1989). „Na propojená pole“ (PDF). Revista de la Unión Matemática Argentina. 35: 67–81. ISSN 0041-6932. Zbl 0823.11010.

[Lam-1] A ^b ^C ^d ^E Lam, Tsit-Yuen (2005). Úvod do kvadratických forem nad poli. Postgraduální studium matematiky. 67. Americká matematická společnost. ISBN 0-8218-1095-2. PAN 2104929. Zbl 1068.11023.

[2] Knus, Max-Albert (1991). Kvadratická a hermitovská forma přes prsteny. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 294. Berlín atd .: Springer-Verlag. str. 192. ISBN 3-540-52117-8. Zbl 0756.11008.

[1]

[2]