Artin – Schreierova teorie - Artin–Schreier theory

v matematika, Artin – Schreierova teorie je pobočkou Galoisova teorie, konkrétně pozitivní charakteristický analog Kummerova teorie, pro Galois rozšíření stupně rovného charakteristice str. Artin a Schreier  (1927 ) představil Artin – Schreierovu teorii pro rozšíření primárního stupně str, a Witt  (1936 ) to zobecnil na rozšíření stupně primárního výkonu strⁿ.

Li K. je pole charakteristické str, a prvočíslo, jakýkoli polynomiální formuláře

${ displaystyle X ^ {p} -X + alpha, ,}$

pro ${ displaystyle alpha}$ v K., se nazývá Artin – Schreierův polynom. Když ${ displaystyle alpha neq beta ^ {p} - beta}$ pro všechny ${ displaystyle beta v K}$, tento polynom je neredukovatelné v K.[X], a jeho rozdělení pole přes K. je cyklické prodloužení z K. stupně str. Z toho vyplývá, že pro každý kořen β, čísla β + i, pro ${ displaystyle 1 leq i leq p}$, tvoří všechny kořeny - tím Fermatova malá věta —Takže dělící pole je ${ displaystyle K ( beta)}$.

Naopak jakékoli rozšíření Galois z K. stupně str rovnající se charakteristice K. je dělící pole Artin – Schreierova polynomu. To lze prokázat pomocí aditivních protějšků metod zapojených do Kummerova teorie, jako Hilbertova věta 90 a aditivní Galoisova kohomologie. Tato rozšíření se nazývají Artin – Schreier rozšíření.

Artin – Schreierova rozšíření hrají roli v teorii rozpustnost radikály v charakteristice str, představující jednu z možných tříd rozšíření v řešitelném řetězci.

Hrají také roli v teorii abelianské odrůdy a jejich isogenies. Charakteristické str, isogeny stupně str abelianských odrůd musí pro svá funkční pole dát buď Artin – Schreierovo rozšíření nebo a čistě neoddělitelné rozšíření.

Artin – Schreier – Witt rozšíření

Existuje analogie Artin-Schreierovy teorie, která charakteristicky popisuje cyklická rozšíření str z str-výkonový stupeň (nejen stupeň str sám), pomocí Wittovy vektory, vyvinutý společností Witt  (1936 ).

Reference

• Artin, Emil; Schreier, Otto (1927), „Eine Kennzeichnung der reell abgeschlossenen Körper“, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität HamburgSpringer Berlin / Heidelberg, 5: 225–231, doi:10.1007 / BF02952522, ISSN  0025-5858
• Lang, Serge (2002), Algebra, Postgraduální texty z matematiky, 211 (Přepracované třetí vydání), New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-95385-4, PAN  1878556, Zbl  0984.00001 Oddíl VI.6
• Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2000), Kohomologie číselných polí, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 323, Berlín: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-66671-4, PAN  1737196, Zbl  0948.11001 Oddíl VI.1
• Witt, Ernst (1936), „Zyklische Körper und Algebren der Characteristik p vom Grad pⁿ. Struktur diskret bewerteter perfekter Körper mit vollkommenem Restklassenkörper der Charakteristik pⁿ", Journal für die reine und angewandte Mathematik (v němčině), 176: 126–140, doi:10.1515 / crll.1937.176.126