Arthur – Selbergův stopový vzorec - Arthur–Selberg trace formula

v matematika, Arthur – Selbergův stopový vzorec je zobecněním Selbergův stopový vzorec ze skupiny SL₂ libovolně reduktivní skupiny přes globální pole, vyvinutý společností James Arthur v dlouhé sérii příspěvků od roku 1974 do roku 2003. Popisuje charakter reprezentace G(A) na diskrétní části L²
₀(G(F)∖G(A)) z L²(G(F)∖G(A)), pokud jde o geometrické údaje, kde G je reduktivní algebraická skupina definovaná nad globálním polem F a A je prsten z adeles z F.

Existuje několik různých verzí trasovacího vzorce. První verze byla nerafinovaný sledovací vzorec, jejichž podmínky závisí na operátorech zkrácení a mají tu nevýhodu, že nejsou neměnné. Arthur později našel invariantní vzorec trasování a stabilní stopový vzorec které jsou vhodnější pro aplikace. The jednoduchý sledovací vzorec (Flicker & Kazhdan 1988 ) je méně obecný, ale snazší prokázat. The vzorec místního trasování je analogický přes místní pole. Jacquet's relativní stopový vzorec je zobecnění, při kterém se integruje funkce jádra do ne-diagonálních podskupin.

Zápis

• F je globální pole, například pole racionálních čísel.
• A je prsten Adelese z F.
• G je redukční algebraická skupina definovaná nad F.

Kompaktní pouzdro

V (vzácném) případě, kdy G(F)∖G(A) je kompaktní, reprezentace se rozdělí jako přímý součet neredukovatelných reprezentací a stopový vzorec je podobný Frobeniův vzorec pro charakter reprezentace indukované z triviálního vyjádření podskupiny konečných index.

V kompaktním případě, což je v zásadě způsobeno Selbergem, skupinami G(F) a G(A) lze nahradit libovolnou konkrétní podskupinou compact lokálně kompaktní skupiny G s ΓG kompaktní. Skupina G působí na prostor funkcí na Γ ∖G správným pravidelným zastoupením R, a to se vztahuje i na akci skupinového kruhu G, považovaný za okruh funkcí F na G. Charakter této reprezentace je dán zevšeobecněním Frobeniova vzorce následovně: Akce funkce F na funkci φ na Γ ∖G darováno

${displaystyle displaystyle R (f) (phi) (x) = int _ {G} f (y) phi (xy), dy = int _ {Gamma ackslash G} součet _ {gamma v Gamma} f (x ^ {- 1} gama y) phi (y), dy.}$

Jinými slovy, R(F) je integrální operátor na L²(Γ ∖G) (prostor funkcí na Γ ∖G) s jádrem

${displaystyle displaystyle K_ {f} (x, y) = součet _ {gama v gama} f (x ^ {- 1} gama y).}$

Proto stopa po R(F) darováno

${displaystyle displaystyle operatorname {Tr} (R (f)) = int _ {Gamma ackslash G} K_ {f} (x, x), dx.}$

Jádro K. lze psát jako

${displaystyle K_ {f} (x, y) = součet _ {oin O} K_ {o} (x, y)}$

kde Ó je sada tříd konjugace v Γ, a

${displaystyle K_ {o} (x, y) = součet _ {gamma v o} f (x ^ {- 1} gama y) = součet _ {delta v gama _ {gamma} ackslash gama} f (x ^ {- 1} delta ^ {- 1} gama delta y)}$

kde γ je prvek třídy konjugace Óa Γ_y je jeho centralizátor v Γ.

Na druhou stranu je stopa dána také

${displaystyle displaystyle operatorname {Tr} (R (f)) = součet _ {pi} m (pi) operatorname {Tr} (R (f) | pi)}$

kde m(π) je multiplicita neredukovatelné jednotkové reprezentace π G v L²(Γ ∖G).

Příklady

• Pokud Γ a G jsou oba konečné, stopový vzorec je ekvivalentní Frobeniovi vzorci pro charakter indukované reprezentace.
• Li G je skupina R reálných čísel a Γ podskupiny Z celých čísel, pak se vzorec trasování stane Poissonův součtový vzorec.

Problémy v nekompaktním případě

Ve většině případů Arthur-Selbergova stopového vzorce, kvocient G(F)∖G(A) není kompaktní, což způsobuje následující (úzce související) problémy:

• Zastoupení na L²(G(F)∖G(A)) obsahuje nejen diskrétní komponenty, ale také spojité komponenty.
• Jádro již není integrovatelné přes úhlopříčku a operátory R(F) již nemají sledovací třídu.

Arthur se s těmito problémy vypořádal tak, že jádro zkrátil na špičky tak, aby bylo zkrácené jádro integrovatelné přes úhlopříčku. Tento proces zkrácení způsobuje mnoho problémů; například zkrácené výrazy již nejsou při konjugaci neměnné. Další manipulací s pojmy dokázal Arthur vytvořit invariantní stopový vzorec, jehož termíny jsou neměnné.

Původní Selbergův stopový vzorec studoval diskrétní podskupinu Lie skutečné Lieovy skupiny G(R) (obvykle SL₂(R)). Ve vyšší pozici je vhodnější nahradit Lieovu skupinu adelickou skupinou G(A). Jedním z důvodů je, že diskrétní skupinu lze brát jako skupinu bodů G(F) pro F (globální) pole, se kterým je snazší pracovat než s diskrétními podskupinami Lieových skupin. Také to dělá Operátoři Hecke snazší pracovat.

Vzorec trasování v nekompaktním případě

Jedna verze vzorce trasování (Arthur 1983 ) tvrdí rovnost dvou distribucí na G(A):

${displaystyle sum _ {oin O} J_ {o} ^ {T} = součet _ {chi v X} J_ {chi} ^ {T}.}$

Levá strana je geometrická stránka stopového vzorce a je součtem tříd ekvivalence ve skupině racionálních bodů G(F) z G, zatímco pravá strana je spektrální stránka stopového vzorce a je součtem nad určitými reprezentacemi podskupin z G(A).

Distribuce

Tato část je prázdná. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Únor 2011)

Geometrické pojmy

Tato část je prázdná. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Únor 2011)

Spektrální podmínky

Tato část je prázdná. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Únor 2011)

Invariantní vzorec trasování

Verze výše uvedeného trasovacího vzorce není v praxi zvlášť snadná, jedním z problémů je, že termíny v něm nejsou neměnné při konjugaci. Arthur (1981) našel modifikaci, ve které jsou termíny neměnné.

Stavy invariantního trasovacího vzorce

${displaystyle sum _ {M} {frac {| W_ {0} ^ {M} |} {| W_ {0} ^ {G} |}} součet _ {gamma in (M (Q))} a ^ {M } (gamma) I_ {M} (gamma, f) = součet _ {M} {frac {| W_ {0} ^ {M} |} {| W_ {0} ^ {G} |}} int _ {Pi (M)} a ^ {M} (pi) I_ {M} (pi, f), dpi}$

kde

• F je testovací funkce na G(A)
• M se pohybuje přes konečnou sadu racionálních Levi podskupin o G
• (M(Q)) je sada tříd konjugace M(Q)
• Π (M) je sada neredukovatelných jednotkových reprezentací M(A)
• A^M(γ) souvisí s objemem M(Q, γ)M(A, γ)
• A^M(π) souvisí s multiplicitou neredukovatelné reprezentace π v L²(M(Q)M(A))
• ${displaystyle displaystyle I_ {M} (gama, f)}$ je spojen s ${displaystyle displaystyle int _ {M (A, gama) lomítko M (A)} f (x ^ {- 1} gama x), dx}$
• ${displaystyle displaystyle I_ {M} (pi, f)}$ souvisí se stopou ${displaystyle displaystyle int _ {M (A)} f (x) pi (x), dx}$
• Ž₀(M) je Weylova skupina z M.

Stabilní stopový vzorec

Langlands (1983) navrhl možnost stabilního zpřesnění sledovacího vzorce, které lze použít k porovnání sledovacího vzorce pro dvě různé skupiny. Takový stabilní stopový vzorec byl nalezen a prokázán Arthur (2002).

Dva prvky skupiny G(F) jsou nazývány stabilně konjugovat pokud jsou konjugované nad algebraickým uzavřením pole F. Jde o to, že když člověk porovnává prvky ve dvou různých skupinách, které souvisejí například s vnitřním kroucením, obvykle nezíská dobrou korespondenci mezi třídami konjugace, ale pouze mezi stabilními třídami konjugace. Abychom tedy mohli porovnat geometrické výrazy ve vzorcích trasování pro dvě různé skupiny, chtěli bychom, aby tyto výrazy byly nejen neměnné v rámci konjugace, ale aby se také dobře chovaly ve stabilních třídách konjugace; tito se nazývají stabilní distribuce.

Stabilní vzorec trasování zapíše výrazy do vzorce trasování skupiny G pokud jde o stabilní distribuce. Tyto stabilní distribuce však nejsou distribucemi ve skupině G, ale jsou distribucemi v rodině kvazistupňových skupin zvaných endoskopické skupiny z G. Nestabilní orbitální integrály ve skupině G odpovídají stabilním orbitálním integrálům na jeho endoskopických skupinách H.

Jednoduchý vzorec trasování

Existuje několik jednoduchých forem vzorce trasování, které omezují kompaktně podporované testovací funkce F nějakým způsobem (Flicker & Kazhdan 1988 ). Výhodou toho je, že se stopový vzorec a jeho důkaz výrazně usnadní a nevýhodou je, že výsledný vzorec je méně výkonný.

Například pokud funkce F jsou cuspidální, což znamená, že

${displaystyle int _ {nin N (A)} f (xny), dn = 0}$

pro každého unipotent radikálu N správné parabolické podskupiny (definováno nad F) a jakékoli X, y v G(A), pak operátor R(F) má obraz v prostoru hrotových forem, takže je kompaktní.

Aplikace

Jacquet & Langlands (1970) použil k prokázání Selbergova stopového vzorce Korespondence Jacquet – Langlands mezi automatickými formami na GL₂ a jeho zkroucené formy. Arthur-Selbergův vzorec stopy lze použít ke studiu podobných korespondencí na vyšších hodnostních skupinách. Lze jej také použít k prokázání několika dalších zvláštních případů Langlandsovy funkcionality, jako jsou základní změny, některé skupiny.

Kottwitz (1988) použil stopový vzorec Arthur – Selberg k prokázání Weilova domněnka o Tamagawových číslech.

Lafforgue (2002) popsal, jak se stopový vzorec používá v jeho důkazu Langlandsova domněnky pro obecné lineární skupiny nad funkčními poli.

Viz také

• Masová vlnová forma
• Harmonická forma Maass

Reference

• Arthur, James (1981), „Trasovací vzorec v invariantní formě“, Annals of Mathematics, Druhá série, 114 (1): 1–74, doi:10.2307/1971376, JSTOR  1971376, PAN  0625344
• Arthur, James (1983), "Trasovací vzorec pro redukční skupiny" (PDF), Konference o automorfní teorii (Dijon, 1981)Publ. Matematika. Univ. Paříž VII, 15, Paříž: Univ. Paříž VII, s. 1–41, CiteSeerX  10.1.1.207.4897, doi:10.1007/978-1-4684-6730-7_1, ISBN  978-0-8176-3135-2, PAN  0723181
• Arthur, James (2002), „Stabilní stopový vzorec. I. Obecné expanze“ (PDF), Věstník Matematického ústavu v Jussieu. JIMJ. Journal de l'Institute de Mathématiques de Jussieu, 1 (2): 175–277, doi:10.1017 / S1474-748002000051, PAN  1954821, archivovány z originál (PDF) dne 2008-05-09
• Arthur, James (2005), „Úvod do sledovacího vzorce“ (PDF), Harmonická analýza, stopový vzorec a odrůdy Shimura, Clay Math. Proc., 4„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, s. 1–263, PAN  2192011, archivovány z originál (PDF) dne 2008-05-09
• Flicker, Yuval Z .; Kazhdan, David A. (1988), „A simple trace formula“, Journal d'Analyse Mathématique, 50: 189–200, doi:10.1007 / BF02796122
• Gelbart, Stephen (1996), Přednášky o stopovém vzorci Arthur-Selberg, Univerzitní přednáškový cyklus, 9„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, arXiv:math.RT / 9505206, doi:10.1090 / ulect / 009, ISBN  978-0-8218-0571-8, PAN  1410260
• Jacquet, H .; Langlands, Robert P. (1970), Automorfní formuláře na GL (2), Lecture Notes in Mathematics, Vol. 114, 114, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007 / BFb0058988, ISBN  978-3-540-04903-6, PAN  0401654
• Konno, Takuya (2000), „Průzkum stopového vzorce Arthur-Selberg“ (PDF), Surikaisekikenkyusho Kõkyuroku (1173): 243–288, PAN  1840082
• Kottwitz, Robert E. (1988), „Tamagawa numbers“, Ann. matematiky., 2, 127 (3): 629–646, doi:10.2307/2007007, JSTOR  2007007, PAN  0942522
• Labesse, Jean-Pierre (1986), „La formule des traces d'Arthur-Selberg“, Astérisque (133): 73–88, PAN  0837215
• Langlands, Robert P. (2001), „The trace formula and its applications: an Introduction to the work of James Arthur“, Kanadský matematický bulletin, 44 (2): 160–209, doi:10.4153 / CMB-2001-020-8, ISSN  0008-4395, PAN  1827854
• Lafforgue, Laurent (2002), „Chtoucas de Drinfeld, formule des traces d'Arthur-Selberg a korespondence de Langlands“, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I (Peking, 2002), Peking: Vyšší ed. Stiskněte, str. 383–400, PAN  1989194
• Langlands, Robert P. (1983), Les débuts d'une formule des traces stabilní Publikace Mathématiques de l'Université Paris VII [Mathematical Publications of the University of Paris VII], 13, Paříž: Université de Paris VII U.E.R. de Mathématiques, PAN  0697567
• Langlands, Robert P. (2001), „Trasovací vzorec a jeho aplikace: úvod do díla Jamese Arthura“, Kanadský matematický bulletin, 44 (2): 160–209, doi:10.4153 / CMB-2001-020-8, PAN  1827854, archivovány z originál dne 11.06.2008, vyvoláno 2008-11-27
• Shokranian, Salahoddin (1992), Trasovací vzorec Selberg-ArthurPřednášky z matematiky, 1503, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007 / BFb0092305, ISBN  978-3-540-55021-1, PAN  1176101

externí odkazy

• Díla Jamese Arthura na Hliněný institut
• Archiv sebraných děl Jamese Arthura na Katedra matematiky University of Toronto