Schurova algebra - Schur algebra
V matematice Schurovy algebry, pojmenoval podle Issai Schur, jsou určité konečně-dimenzionální algebry úzce spojený s Schur – Weylova dualita mezi obecně lineární a symetrický skupiny. Používají se k propojení reprezentační teorie z těch dvou skupiny. Jejich použití prosazovala vlivná monografie J. A. Green poprvé publikováno v roce 1980.[1] Název „Schurova algebra“ je odvozen od Greena. V modulárním případě (přes nekonečno pole pozitivní charakteristiky) Schurovy algebry používaly Gordon James a Karin Erdmann ukázat, že (stále otevřené) problémy výpočtu čísel rozkladu pro obecné lineární skupiny a symetrické skupiny jsou ve skutečnosti ekvivalentní.[2] Schurovy algebry používaly Friedlander a Suslin prokázat konečnou generaci kohomologie konečný skupinová schémata.[3]
Konstrukce
Schurova algebra lze definovat pro všechny komutativní prsten a celá čísla . Zvažte algebra z polynomy (s koeficienty v ) v proměnné dojíždění , 1 ≤ i, j ≤ . Označit podle homogenní polynomy stupně . Prvky jsou k-lineární kombinace monomiálů vytvořených společným násobením generátorů (umožňující opakování). Tím pádem
Nyní, má přirozený uhlígebra struktura s kombinací a počítat homomorfismy algebry dané generátorům od
Jelikož je komultiplikace homomorfismus algebry, je bialgebra. Jeden to snadno zkontroluje je podkoalgebra bialgebry , pro každého r ≥ 0.
Definice. Schurova algebra (ve stupních ) je algebra . To znamená, je lineární duální z .
Je obecným faktem, že lineární dvojí uhlíkory je algebra přirozeným způsobem, kde multiplikace v algebře je vyvolána dualizací komultiplikace v uhlígebře. Chcete-li to vidět, nechte
a vzhledem k lineárním funkcionálům , na , definovat jejich součin jako lineární funkci danou
Prvkem identity pro toto násobení funkcionálů je počet .
Hlavní vlastnosti
- Jedna z nejzákladnějších vlastností vyjadřuje jako centralizační algebra. Nechat být prostorem hodnosti vektory sloupců nad a tvoří tenzor Napájení
Pak symetrická skupina na písmena působí přirozeně na tenzorový prostor permutací místa a jedno má izomorfismus
Jinými slovy, lze chápat jako algebru endomorfismy dojíždění tenzorového prostoru s akcí symetrická skupina.
- je zdarma hodnosti dané binomický koeficient .
- Různé základny jsou známy, z nichž mnohé jsou indexovány dvojicemi polostandardů Mladé obrazy tvaru , tak jako se liší v sadě oddíly z do ne více než části.
- V případě k je nekonečné pole, lze také identifikovat s obalovou algebrou (ve smyslu H. Weyla) pro působení obecná lineární skupina působící na tenzorový prostor (prostřednictvím diagonálního působení na tenzory, vyvolaného přirozeným působením na dané násobením matic).
- Schurovy algebry jsou „definovány přes celá čísla“. To znamená, že splňují následující změnu vlastnosti skalárů:
- pro jakýkoli komutativní kruh .
- Schurovy algebry poskytují přírodní příklady kvazihereditárních algeber[4] (jak je definováno Cline, Parshallem a Scottem), a tak mějte hezké homologický vlastnosti. Zejména Schurovy algebry mají konečné globální dimenze.
Zobecnění
- Zobecněné Schurovy algebry (spojené s jakýmkoli redukčním algebraická skupina ) byly zavedeny Donkinem v 80. letech.[5] Jsou také kvázi dědičné.
- Přibližně ve stejnou dobu, Dipper a James[6] představil kvantované Schurovy algebry (nebo q-Schurovy algebry zkráceně), což je typ q-deformace výše popsaných klasických Schurových algeber, ve kterých je symetrická skupina nahrazena odpovídajícími Hecke algebra a obecnou lineární skupinu příslušným kvantová skupina.
- Jsou tu také zobecněné algebry q-Schur, které jsou získány zevšeobecněním práce Dippera a Jamese stejným způsobem, jakým Donkin zobecnil klasické Schurovy algebry.[7]
- Existují další zevšeobecnění, například afinní q-Schurovy algebry[8] související s afinitou Kac – Moody Lež algebry a další zobecnění, například cyklotomické q-Schurovy algebry[9] související s Ariki-Koikeovými algebrami (což jsou q-deformace určitých komplexní reflexní skupiny ).
Studium těchto různých tříd zobecnění tvoří aktivní oblast současného výzkumu.
Reference
- ^ J. A. Green, Polynomiální reprezentace GLnSpringer Lecture Notes 830, Springer-Verlag 1980. PAN2349209, ISBN 978-3-540-46944-5, ISBN 3-540-46944-3
- ^ Karin Erdmann, čísla rozkladu pro symetrické skupiny a faktory složení Weylových modulů. Journal of Algebra 180 (1996), 316–320. doi:10.1006 / jabr.1996.0067 PAN1375581
- ^ Eric Friedlander a Andrei Suslin „Kohomologie schémat konečných skupin nad polem. Inventiones Mathematicae 127 (1997), 209--270. PAN1427618 doi:10,1007 / s002220050119
- ^ Edward Cline, Brian Parshall a Leonard Scott, konečněrozměrné algebry a nejvyšší váhové kategorie. Journal für die Reine und Angewandte Mathematik [Crelle's Journal] 391 (1988), 85–99. PAN0961165
- ^ Stephen Donkin, On Schur algebras and related algebras, I. Journal of Algebra 104 (1986), 310–328. doi:10.1016/0021-8693(86)90218-8 PAN0866778
- ^ Richard Dipper a Gordon James, algebra q-Schur. Proceedings of the London Math. Společnost (3) 59 (1989), 23–50. doi:10.1112 / plms / s3-59.1.23 PAN0997250
- ^ Stephen Doty, Prezentace zobecněných algeber q-Schur. Teorie reprezentace 7 (2003), 196-213 (elektronicky). doi:10.1090 / S1088-4165-03-00176-6
- ^ R. M. Green, Afinní q-Schurova algebra. Journal of Algebra 215 (1999), 379--411. doi:10.1006 / jabr.1998.7753
- ^ Richard Dipper, Gordon James a Andrew Mathas, algebry Cyclotomic q-Schur. Matematika. Zeitschrift 229 (1998), 385--416. doi:10.1007 / PL00004665 PAN1658581
Další čtení
- Stuart Martin, Schurovy algebry a teorie reprezentace, Cambridge University Press 1993. PAN2482481, ISBN 978-0-521-10046-5
- Andrew Mathas, Iwahori-Hecke algebry a Schurovy algebry symetrické skupiny, University Lecture Series, sv. 15, American Mathematical Society, 1999. PAN1711316, ISBN 0-8218-1926-7
- Hermann Weyl, Klasické skupiny. Jejich invarianty a zastoupení. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1939. PAN0000255, ISBN 0-691-05756-7