Whittakerův model - Whittaker model

v teorie reprezentace, obor matematiky, Whittakerův model je realizace a zastoupení a reduktivní algebraická skupina jako GL₂ přes konečný nebo místní nebo globální pole na prostoru funkcí ve skupině. Je pojmenován po E. T. Whittaker i když v této oblasti nikdy nepracoval, protože (Jacquet1966, 1967 ) poukázal na to, že pro skupinu SL₂(R) některé z funkcí zahrnutých do reprezentace jsou Whittakerovy funkce.

Neredukovatelné reprezentace bez Whittakerova modelu se někdy nazývají „zvrhlí“ a ti s Whittakerovým modelem se někdy nazývají „generické“. Zastoupení θ₁₀ z symplektická skupina Sp₄ je nejjednodušší příklad zdegenerovaného zastoupení.

Whittaker modely pro GL₂

Li G je algebraická skupina GL₂ a F je místní pole a $τ$ je fixní netriviální charakter skupiny doplňkových látek F a $π$ je neredukovatelné zastoupení obecné lineární skupiny G(F), pak model Whittaker pro $π$ je reprezentace $π$ na prostoru funkcí ƒ na G(F) uspokojující

{ displaystyle f left ({ begin {pmatrix} 1 & b 0 & 1 end {pmatrix}} g right) = tau (b) f (g).}

Jacquet & Langlands (1970) použil Whittakerovy modely k přiřazení L-funkcí přípustná prohlášení z GL₂.

Whittaker modely pro GL_n

Nechat ${ displaystyle G}$ být obecná lineární skupina ${ displaystyle operatorname {GL} _ {n}}$ , ${ displaystyle psi}$ hladký komplexní hodnotný netriviální aditivní charakter ${ displaystyle F}$ a ${ displaystyle U}$ podskupina ${ displaystyle operatorname {GL} _ {n}}$ skládající se z unipotentních horních trojúhelníkových matic. Nedegenerovaný charakter ${ displaystyle U}$ je ve formě

{ displaystyle chi (u) = psi ( alpha _ {1} x_ {12} + alpha _ {2} x_ {23} + cdots + alpha _ {n-1} x_ {n-1n }),}

pro ${ displaystyle u = (x_ {ij})}$ ∈ ${ displaystyle U}$ a nenulové ${ displaystyle alpha _ {1}, ldots, alpha _ {n-1}}$ ∈ ${ displaystyle F}$ . Li ${ displaystyle ( pi, V)}$ je plynulé znázornění ${ displaystyle G (F)}$ , a Whittaker funkční ${ displaystyle lambda}$ je spojitá lineární funkce na ${ displaystyle V}$ takhle ${ Displaystyle lambda ( pi (u) v) = chi (u) lambda (v)}$ pro všechny ${ displaystyle u}$ ∈ ${ displaystyle U}$ , ${ displaystyle v}$ ∈ ${ displaystyle V}$ . Násobnost jedna uvádí, že pro ${ displaystyle pi}$ unitární neredukovatelný, prostor Whittakerových funkcionálů má dimenzi maximálně rovnou jedné.

Whittakerovy modely pro redukční skupiny

Li G je rozdělená reduktivní skupina a U je unipotentní radikál borelské podskupiny B, pak Whittakerův model pro reprezentaci je jeho vložením do indukovaného (Gelfand – Graev ) zastoupení Ind^G
_U( $χ$ ), kde $χ$ je nedegenerovaný charakter U, například součet znaků odpovídajících jednoduchým kořenům.

Viz také

Zastoupení Gelfand – Graev, zhruba součet Whittakerových modelů přes konečné pole.
Kirillov model

Reference

Jacquet, Hervé (1966), „Une interprétation géométrique et une généralisation P-adique des fonctions de Whittaker en théorie des groupes semi-simples“, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A et B, 262: A943 – A945, ISSN 0151-0509, PAN 0200390
Jacquet, Hervé (1967), „Fonctions de Whittaker associées aux groupes de Chevalley“, Bulletin de la Société Mathématique de France, 95: 243–309, ISSN 0037-9484, PAN 0271275
Jacquet, H .; Langlands, Robert P. (1970), Automorfní formuláře na GL (2), Lecture Notes in Mathematics, Vol. 114, 114, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007 / BFb0058988, ISBN 978-3-540-04903-6, PAN 0401654
J. A. Shalika, Věta o multiplicitě pro ${ displaystyle GL_ {n}}$ , The Annals of Mathematics, 2nd. Ser., Sv. 100, č. 2 (1974), 171-193.

Další čtení

Jacquet, Hervé; Shalika, Joseph (1983). „Whittakerovy modely indukovaných reprezentací“. Pacific Journal of Mathematics. 109 (1): 107–120. ISSN 0030-8730.