Třída Pontryagin - Pontryagin class - Wikipedia

v matematika, Třídy Pontryagin, pojmenoval podle Lev Pontryagin, jsou si jisti charakteristické třídy skutečných vektorových svazků. Třídy Pontryagin leží uvnitř kohomologické skupiny se stupni násobkem čtyř.

Definice

Vzhledem k tomu, skutečný vektorový balíček E přes M, své k-th Pontryagin třída ${ displaystyle p_ {k} (E)}$ je definován jako

{ displaystyle p_ {k} (E) = p_ {k} (E, mathbb {Z}) = (- 1) ^ {k} c_ {2k} (E otimes mathbb {C}) v H ^ {4k} (M, mathbb {Z}),}

kde:

${ displaystyle c_ {2k} (E otimes mathbb {C})}$ označuje ${ displaystyle 2k}$ -th Třída Chern z komplexifikace ${ displaystyle E otimes mathbb {C} = E oplus iE}$ z E,
${ displaystyle H ^ {4k} (M, mathbb {Z})}$ je ${ displaystyle 4k}$ -kohomologie skupina M s celé číslo koeficienty.

Racionální třída Pontryagin ${ displaystyle p_ {k} (E, mathbb {Q})}$ je definován jako obraz ${ displaystyle p_ {k} (E)}$ v ${ displaystyle H ^ {4k} (M, mathbb {Q})}$ , ${ displaystyle 4k}$ - kohomologická skupina M s Racionální koeficienty.

Vlastnosti

The celková třída Pontryagin

{ displaystyle p (E) = 1 + p_ {1} (E) + p_ {2} (E) + cdots v H ^ {*} (M, mathbb {Z}),}

je (modulo 2-torzní) multiplikativní vzhledem k Whitney součet vektorových svazků, tj.

{ displaystyle 2p (E oplus F) = 2p (E) úsměv p (F)}

pro dva vektorové svazky E a F přes M. Pokud jde o jednotlivé třídy Pontryagin str_k,

{ displaystyle 2p_ {1} (E oplus F) = 2p_ {1} (E) + 2p_ {1} (F),}

{ displaystyle 2p_ {2} (E oplus F) = 2p_ {2} (E) + 2p_ {1} (E) úsměv p_ {1} (F) + 2p_ {2} (F)}

a tak dále.

Mizení tříd Pontryagin a Třídy Stiefel – Whitney vektorového svazku nezaručuje, že vektorový svazek je triviální. Například až vektorový izomorfismus svazku, existuje jedinečný netriviální vektorový balíček 10 ${ displaystyle E_ {10}}$ přes 9-koule. (The funkce svírání pro ${ displaystyle E_ {10}}$ vyplývá z homotopická skupina ${ displaystyle pi _ {8} ( mathrm {O} (10)) = mathbb {Z} / 2 mathbb {Z}}$ .) Třídy Pontryagin a Stiefel-Whitney všechny zanikají: třídy Pontryagin neexistují ve stupni 9 a třída Stiefel-Whitney w₉ z E₁₀ zmizí Wu vzorec w₉ = w₁w₈ + Sq¹(w₈). Navíc je tento vektorový svazek stabilně netriviální, tj Whitney součet z E₁₀ s jakýmkoli triviálním svazkem zůstává netriviální. (Hatcher 2009, str. 76)

Vzhledem k tomu, 2k-dimenzionální vektorový svazek E my máme

{ displaystyle p_ {k} (E) = e (E) úsměv e (E),}

kde E(E) označuje Eulerova třída z E, a ${ displaystyle úsměv}$ označuje pohárový produkt hodin kohomologie.

Třídy Pontryagin a zakřivení

Jak ukázal Shiing-Shen Chern a André Weil kolem roku 1948 racionální třídy Pontryagin

{ displaystyle p_ {k} (E, mathbf {Q}) v H ^ {4k} (M, mathbf {Q})}

mohou být prezentovány jako diferenciální formy, které polynomiálně závisejí na zakřivená forma vektorového svazku. Tento Teorie Chern-Weil odhalila hlavní souvislost mezi algebraickou topologií a globální diferenciální geometrií.

Pro vektorový svazek E přes n-dimenzionální diferencovatelné potrubí M vybaven a spojení, celková třída Pontryagin je vyjádřena jako

{ displaystyle p = left [1 - { frac {{ rm {Tr}} ( Omega ^ {2})} {8 pi ^ {2}}} + { frac {{ rm {Tr }} ( Omega ^ {2}) ^ {2} -2 { rm {Tr}} ( Omega ^ {4})} {128 pi ^ {4}}} - { frac {{ rm {Tr}} ( Omega ^ {2}) ^ {3} -6 { rm {Tr}} ( Omega ^ {2}) { rm {Tr}} ( Omega ^ {4}) + 8 { rm {Tr}} ( Omega ^ {6})} {3072 pi ^ {6}}} + cdots right] v H_ {dR} ^ {*} (M),}

kde Ω označuje zakřivená forma, a H *_dR(M) označuje de Rhamova kohomologie skupiny.^{[Citace je zapotřebí ]}

Pontryagin třídy potrubí

The Třídy Pontryagin hladkého potrubí jsou definovány jako třídy Pontryagin tečný svazek.

Novikov v roce 1966 prokázal, že pokud jsou dva kompaktní, orientované a hladké potrubí homeomorfní pak jejich racionální třídy Pontryagin str_k(M, Q) v H^4k(M, Q) jsou stejní.

Pokud je dimenze alespoň pět, existuje maximálně konečně mnoho různých hladkých potrubí s daným homotopický typ a třídy Pontryagin.

Třídy Pontryagin z tříd Chern

Třídy Pontryagin komplexního vektorového svazku ${ displaystyle pi: E až X}$ lze zcela určit podle jeho tříd Chern. To vyplývá ze skutečnosti, že ${ displaystyle E otimes _ { mathbb {R}} mathbb {C} cong E oplus { bar {E}}}$ , Whitneyův vzorec součtu a vlastnosti Chernových tříd jeho komplexního sdruženého svazku. To znamená, ${ displaystyle c_ {i} ({ bar {E}}) = (- 1) ^ {i} c_ {i} (E)}$ a ${ displaystyle c (E oplus { bar {E}}) = c (E) c ({ bar {E}})}$ . Pak to vzhledem k vztahu

${ displaystyle { begin {zarovnáno} 1-p_ {1} (E) + p_ {2} (E) - cdots + (- 1) ^ {n} p_ {n} (E) = (1 + c_ {1} (E) + cdots + c_ {n} (E)) cdot (1-c_ {1} (E) + c_ {2} (E) - cdots + (- 1) ^ {n} c_ {n} (E)) end {zarovnáno}}}$ ^[1]

například můžeme tento vzorec použít k nalezení Pontryaginových tříd vektorového svazku na křivce a ploše. Pro křivku máme

${ displaystyle (1-c_ {1} (E)) (1 + c_ {1} (E)) = 1 + c_ {1} (E) ^ {2}}$

takže všechny třídy Pontryagin komplexních vektorových svazků jsou triviální. Na povrchu máme

${ displaystyle (1-c_ {1} (E) + c_ {2} (E)) (1 + c_ {1} (E) + c_ {2} (E)) = 1-c_ {1} (E ) ^ {2} + 2c_ {2} (E)}$

zobrazeno ${ displaystyle p_ {1} (E) = c_ {1} (E) ^ {2} -2c_ {2} (E)}$ . On-line balíčky se od té doby dále zjednodušují ${ displaystyle c_ {2} (L) = 0}$ podle rozměrových důvodů.

Třídy Pontryagin na povrchu Quartic K3

Připomeňme, že kvartický polynom, jehož mizející lokus v ${ displaystyle mathbb {CP} ^ {3}}$ je hladká podrodina je povrch K3. Použijeme-li normální posloupnost

${ displaystyle 0 až { mathcal {T}} _ {X} až { mathcal {T}} _ { mathbb {CP} ^ {3}} | _ {X} až { mathcal {O }} (4) na 0}$

můžeme najít

${ displaystyle { begin {aligned} c ({ mathcal {T}} _ {X}) & = { frac {c ({ mathcal {T}} _ { mathbb {CP} ^ {3}} | _ {X})} {c ({ mathcal {O}} (4))}} & = { frac {(1+ [H]) ^ {4}} {(1 + 4 [H ])}} & = (1 + 4 [H] +6 [H] ^ {2}) cdot (1-4 [H] +16 [H] ^ {2}) & = 1+ 6 [H] ^ {2} end {aligned}}}$

zobrazeno ${ displaystyle c_ {1} (X) = 0}$ a ${ displaystyle c_ {2} (X) = 6 [H] ^ {2}}$ . Od té doby ${ displaystyle [H] ^ {2}}$ odpovídá čtyřem bodům, kvůli Bezoutovu lematu máme druhé číslo chern jako ${ displaystyle 24}$ . Od té doby ${ displaystyle p_ {1} (X) = - 2c_ {2} (X)}$ v tomto případě máme

${ displaystyle p_ {1} (X) = - 48}$ . Toto číslo lze použít k výpočtu třetí stabilní skupiny homotopy koulí.^[2]

Čísla pontryaginu

Čísla pontryaginu jsou si jistí topologické invarianty hladkého potrubí. Každé číslo Pontryaginu v potrubí M zmizí, pokud rozměr M není dělitelná číslem 4. Je definována pojmy Pontryaginovy třídy potrubí M jak následuje:

Vzhledem k hladkému ${ displaystyle 4n}$ -rozměrné potrubí M a sbírka přirozených čísel

{ displaystyle k_ {1}, k_ {2}, ldots, k_ {m}}

takhle

{ displaystyle k_ {1} + k_ {2} + cdots + k_ {m} = n}

,

číslo Pontryagin ${ displaystyle P_ {k_ {1}, k_ {2}, tečky, k_ {m}}}$ je definováno

{ displaystyle P_ {k_ {1}, k_ {2}, tečky, k_ {m}} = p_ {k_ {1}} úsměv p_ {k_ {2}} úsměv cdots úsměv p_ {k_ { m}} ([M])}

kde ${ displaystyle p_ {k}}$ označuje k-tá třída Pontryagin a [M] základní třída z M.

Vlastnosti

Čísla Pontryagin jsou orientovaná cobordism neměnný; a společně s Čísla Stiefel-Whitney určují třídu orientovaného cobordismu v orientovaném potrubí.
Pontryaginova čísla uzavřených Riemannovských variet (stejně jako Pontryaginových tříd) lze vypočítat jako integrály určitých polynomů z tenzoru zakřivení Riemannova variet.
Invarianty jako např podpis a ${ displaystyle { hat {A}}}$ -rod lze vyjádřit pomocí čísel Pontryagin. Pro teorému popisující lineární kombinaci Pontryaginových čísel poskytujících podpis viz Hirzebruchova věta o podpisu.

Zobecnění

Je tam také kvartérní Třída Pontryagin, pro vektorové svazky s čtveřice struktura.

Viz také

Reference

^ Mclean, Marku. „Třídy Pontryagin“ (PDF). Archivováno (PDF) od originálu 2016-11-08.
^ „Průzkum výpočtů skupin homotopy sfér a kobordismů“ (PDF). str. 16. Archivováno (PDF) od originálu dne 2016-01-22.

Milnor John W.; Stasheff, James D. (1974). Charakteristické třídy. Annals of Mathematics Studies. Princeton, New Jersey; Tokio: Princeton University Press / University of Tokyo Press. ISBN 0-691-08122-0.
Hatcher, Allen (2009). „Vector Bundles & K-Theory“ (2.1 ed.). Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)CS1 maint: ref = harv (odkaz)

externí odkazy

„Třída Pontryagin“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]

[1] Mclean, Marku. „Třídy Pontryagin“ (PDF). Archivováno (PDF) od originálu 2016-11-08.

[2] „Průzkum výpočtů skupin homotopy sfér a kobordismů“ (PDF). str. 16. Archivováno (PDF) od originálu dne 2016-01-22.

[1]

[2]