Kalibrovaná geometrie - Calibrated geometry
V matematický pole diferenciální geometrie, a kalibrované potrubí je Riemannovo potrubí (M,G) dimenze n vybaven a rozdíl p-formulář φ (pro některé 0 ≤ p ≤ n) což je kalibrace, znamenající, že:
- φ je zavřeno: dφ = 0, kde d je vnější derivace
- pro všechny X ∈ M a jakékoli orientované p-rozměrný podprostor ξ T.XM, φ|ξ = λ svξ s λ ≤ 1. Zde objξ je objemová forma ξ s ohledem na G.
Soubor GX(φ) = { ξ jak je uvedeno výše : φ|ξ = objξ }. (Aby byla teorie netriviální, potřebujeme GX(φ) být neprázdný.) Let G(φ) být svazkem GX(φ) pro X v M.
Za teorii kalibrací stojí R. Harvey a B. Lawson a další. Mnohem dříve (v roce 1966) Edmond Bonan představen G2- potrubí a Spin (7) - rozdělovač, zkonstruoval všechny paralelní formy a ukázal, že tyto potrubí byly Ricciho ploché. Quaternion-Kähler potrubí byly současně studovány v roce 1967 Edmond Bonan a Vivian Yoh Kraines a zkonstruovali paralelní 4-formu.
Kalibrované dílčí potrubí
A p-rozměrný dílčí potrubí Σ z M se říká, že je kalibrovaný dílčí potrubí s ohledem na φ (nebo jednoduše φ-kalibrováno) pokud TΣ leží v G(φ).
Slavný argument o jedné řádce ukazuje, že kalibrováno p-submanifolds minimalizují objem v rámci svých třída homologie. Opravdu, předpokládejme to Σ je kalibrován a Σ ' je p podmanifold ve stejné třídě homologie. Pak
kde platí první rovnost, protože Σ je kalibrováno, druhá rovnost je Stokesova věta (tak jako φ je uzavřena) a nerovnost platí, protože φ je kalibrace.
Příklady
- Na Kähler potrubí, vhodně normalizované pravomoci Kählerova forma jsou kalibrace a kalibrované dílčí potrubí jsou komplexní dílčí potrubí. To vyplývá z Wirtingerova nerovnost.
- Na Rozdělovač Calabi – Yau, skutečnou součástí holomorfní objemové formy (vhodně normalizované) je kalibrace a kalibrovaná dílčí potrubí jsou speciální Lagrangian submanifolds.
- Na G2- potrubí, jak 3-forma, tak Hodgeova duální 4-forma definují kalibrace. Odpovídající kalibrované dílčí potrubí se nazývají asociativní a koassociativní dílčí potrubí.
- Na Spin (7) - rozdělovač, definující 4-forma, známá jako Cayleyova forma, je kalibrace. Odpovídající kalibrované dílčí potrubí se nazývají dílčí potrubí Cayley.
Reference
- Bonan, Edmonde (1965), „Structure presque quaternale sur une variété différentiable“, C. R. Acad. Sci. Paříž, 261: 5445–5448.
- Bonan, Edmonde (1966), „Sur les variétés riemanniennes à groupe d'holonomie G2 ou Spin (7)“, C. R. Acad. Sci. Paříž, 262: 127–129.
- Berger, M. (1970), „Quelques problemes de geometrie Riemannienne ou Deux variace sur les espaces symetriques compacts de rang un“, Matematika Enseignement., 16: 73–96.
- Brakke, Kenneth A. (1991), „Minimální kužely na hyperkrychlích“, J. Geom. Anální.: 329–338 (§6.5).
- Brakke, Kenneth A. (1993), Polyedrické minimální kužely v R4.
- de Rham, Georges (1957–1958), V oblasti komplexních potrubí. Poznámky k semináři o několika komplexních proměnných, Institute for Advanced Study, Princeton, New Jersey.
- Federer, Herbert (1965), „Některé věty o integrálních proudech“, Transakce Americké matematické společnosti, 117: 43–67, doi:10.2307/1994196, JSTOR 1994196.
- Joyce, Dominic D. (2007), Riemannovy skupiny holonomy a kalibrovaná geometrie, Oxfordské postgraduální texty z matematiky, Oxford: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-921559-1.
- Harvey, F. Reese (1990), Spinory a kalibraceAkademický tisk, ISBN 978-0-12-329650-4.
- Kraines, Vivian Yoh (1965), „Topologie kvaternionových variet“, Býk. Amer. Matematika. Soc., 71,3, 1: 526–527, doi:10.1090 / s0002-9904-1965-11316-7.
- Lawlor, Gary (1998), „Prokazování minimalizace oblasti pomocí řízeného krájení“, Indiana Univ. Matematika. J., 47 (4): 1547–1592, doi:10.1512 / iumj.1998.47.1341.
- Morgan, Frank, Lawlor, Gary (1996), „Křivky krájení dokazují, že trojité křižovatky lokálně minimalizují plochu“, J. Diff. Geom., 44: 514–528.
- Morgan, Frank, Lawlor, Gary (1994), „Spárované kalibrace aplikované na mýdlové filmy, nemísitelné kapaliny a povrchy nebo sítě minimalizující jiné normy“, Pac. J. Math., 166: 55–83.
- McLean, R. C. (1998), „Deformace kalibrovaných dílčích potrubí“, Komunikace v analýze a geometrii, 6: 705–747.
- Morgan, Frank (1988), „Plochy minimalizující plochu, tváře Grassmannianů a kalibrace“, Amer. Matematika. Měsíční, 95 (9): 813–822, doi:10.2307/2322896, JSTOR 2322896.
- Morgan, Frank (1990), „Kalibrace a nové singularity v plochách minimalizujících plochu: průzkum In„ Variační metody “(Proc. Conf. Paris, červen 1988), (H. Berestycki J.-M. Coron a I. Ekeland, ed.) ", Prog. Nelineární rozdíl. Ekv. Applns, 4: 329–342.
- Morgan, Frank (2009), Teorie geometrických měr: Průvodce pro začátečníky (4. vydání), London: Academic Press.
- Thi, Dao Trong (1977), „Minimální skutečné proudy na kompaktních Riemannovských potrubích“, Izv. Akad. Nauk. SSSR ser. Rohož, 41: 807–820.
- Van, Le Hong (1990), „Relativní kalibrace a problém stability minimálních povrchů“, Globální analýza - studie a aplikace, IVPřednášky z matematiky, 1453, New York: Springer-Verlag, s. 245–262.
- Wirtinger, W. (1936), „Eine Determinantenidentität und ihre Anwendung auf analytische Gebilde und Hermitesche Massbestimmung“, Monatshefte für Mathematik und Physik, 44: 343–365 (§6.5), doi:10.1007 / BF01699328.