V geometrie z křivky, an ortoptické je soubor bodů, pro které dva tečny dané křivky se setkávají v pravém úhlu.
Ortoptikum paraboly je její directrix (fialová).
Elipsa a její ortoptika (fialová)
Hyperbola s ortoptickou (fialová)
Příklady:
- Ortoptická a parabola je jeho directrix (důkaz: viz níže ),
- Ortoptická z elipsa X2/A2 + y2/b2 = 1 je režisérský kruh X2 + y2 = A2 + b2 (vidět níže ),
- Ortoptická a hyperbola X2/A2 − y2/b2 = 1, A > b, je kruh X2 + y2 = A2 − b2 (v případě A ≤ b neexistují žádné ortogonální tečny, viz níže ),
- Ortoptická z astroid X2⁄3 + y2⁄3 = 1 je quadrifolium s polární rovnicí

- (vidět níže ).
Zobecnění:
- An izoptický je množina bodů, u kterých se setkávají dvě tečny dané křivky v a pevný úhel (vidět níže ).
- An izoptický z dva rovinné křivky je množina bodů, u kterých se dvě tečny setkávají v a pevný úhel.
- Thalesova věta na akordu PQ lze považovat za ortoptický dvou kruhů, které jsou zdegenerovány na dva body P a Q.
Ortoptický vůči parabole
Libovolná parabola může být transformována a tuhý pohyb (úhly se nezmění) na parabolu s rovnicí
. Sklon v bodě paraboly je
. Výměna
dává parametrické vyjádření paraboly s tangenciálním sklonem jako parametr:
Tečna má rovnici
s dosud neznámým
, které lze určit vložením souřadnic parabolového bodu. Jeden dostane 
Pokud tečna obsahuje bod (X0, y0), z paraboly, pak rovnice

drží, který má dvě řešení m1 a m2 odpovídající dvěma procházejícím tečnám (X0, y0). Volný člen redukované kvadratické rovnice je vždy výsledkem jeho řešení. Pokud se tedy tečny setkají v (X0, y0) ortogonálně platí následující rovnice:

Poslední rovnice je ekvivalentní k

což je rovnice directrix.
Ortoptika elipsy a hyperboly
Elipsa
Nechat
být elipsou úvahy.
(1) Tečny elipsy
na sousedních vrcholech se protínají v jednom ze 4 bodů
, které leží na požadované ortoptické křivce (kruh
).
(2) Tečna v bodě
elipsy
má rovnici
(s. Elipsa ). Pokud bod není vrcholem, lze tuto rovnici vyřešit: 
Používání zkratek
a rovnice
jeden dostane:

Proto
a rovnice nevislé tečny je

Řešení vztahů
pro
a respektovat
vede ke sklonu v závislosti na parametrickém znázornění elipsy:
(Další důkaz: viz Elipsa.)
Pokud tečna obsahuje bod
, z elipsy, pak rovnice

drží. Odstranění druhé odmocniny vede k

který má dvě řešení
odpovídající dvěma procházejícím tečnám
. Konstantní člen monické kvadratické rovnice je vždy výsledkem jeho řešení. Pokud se tedy tečny setkají v
ortogonálně platí následující rovnice:
Ortoptika (červené kruhy) kruhu, elipsy a hyperboly

Poslední rovnice je ekvivalentní k

Z (1) a (2) jeden dostane:
- Průsečíky ortogonálních tečen jsou body kruhu
.
Hyperbola
Případ elipsy lze přijmout téměř přesně jako případ hyperboly. Jediné změny, které je třeba provést, jsou nahrazení
s
a omezit m na |m| > b/A. Proto:
- Průsečíky ortogonálních tečen jsou body kruhu
, kde A > b.
Ortoptický na astroid
Ortoptický (fialový) astroidu
Astroid lze popsat parametrickým vyjádřením
.
Z podmínky

jeden pozná vzdálenost α v prostoru parametrů, ke kterému je kolmá tečna C→(t) objeví se. Ukazuje se, že vzdálenost je nezávislá na parametru t, jmenovitě α = ± π/2. Rovnice (ortogonálních) tečen v bodech C→(t) a C→(t + π/2) jsou příslušně:

Jejich společný bod má souřadnice:

Toto je současně parametrické znázornění ortoptiky.
Vyloučení parametru t poskytuje implicitní vyjádření

Představujeme nový parametr φ = t − 5π/4 jeden dostane

(Důkaz používá identita úhlového součtu a rozdílu.) Proto získáme polární vyjádření

ortoptické. Proto:
Izoptikum paraboly, elipsy a hyperboly
Izoptika (fialová) paraboly pro úhly 80 ° a 100 °
Izoptika (fialová) elipsy pro úhly 80 ° a 100 °
Izoptika (fialová) hyperboly pro úhly 80 ° a 100 °
Pod izotopy pro úhly α ≠ 90° jsou uvedeny. Se nazývají α-izoptika. Důkazy viz níže.
Rovnice izoptiky
- Parabola:
The α-izoptika paraboly s rovnicí y = sekera2 jsou větvemi hyperboly

Větve hyperboly poskytují izoptiku pro dva úhly α a 180° − α (viz obrázek).
- Elipsa:
The α-izoptika elipsy s rovnicí X2/A2 + y2/b2 = 1 jsou dvě části křivky stupně 4

(viz obrázek).
- Hyperbola:
The α-izoptika hyperboly s rovnicí X2/A2 − y2/b2 = 1 jsou dvě části křivky stupně 4

Důkazy
- Parabola:
Parabola y = sekera2 lze parametrizovat podle sklonu jeho tečen m = 2sekera:

Tečna se sklonem m má rovnici

Bod (X0, y0) je na tečně právě tehdy

To znamená svahy m1, m2 dvou tečen obsahujících (X0, y0) splnit kvadratickou rovnici

Pokud se tečny setkávají pod úhlem α nebo 180° − α, rovnice

musí být splněny. Řešení kvadratické rovnice pro ma vkládání m1, m2 do poslední rovnice jeden dostane

Toto je rovnice hyperboly výše. Jeho větve nesou dvě izoptiky paraboly pro dva úhly α a 180° − α.
- Elipsa:
V případě elipsy X2/A2 + y2/b2 = 1 lze přijmout myšlenku pro ortoptiku pro kvadratickou rovnici

Nyní, stejně jako v případě paraboly, je třeba vyřešit kvadratickou rovnici a obě řešení m1, m2 musí být vloženo do rovnice

Přeskupení ukazuje, že izoptika je součástí křivky stupně 4:

- Hyperbola:
Řešení pro případ hyperboly lze převzít z případu elipsy nahrazením b2 s −b2 (jako v případě ortoptiky, vizvýše ).
Vizualizaci izoptiky viz implicitní křivka.
externí odkazy
Poznámky
Reference