Eliptická dráha - Elliptic orbit

0.0 · 0.2 · 0.4 · 0.6 · 0.8


Část série na |
Astrodynamika |
---|
![]() |
Gravitační vlivy |
Opatření pro účinnost |
v astrodynamika nebo nebeská mechanika, an eliptická dráha nebo eliptická dráha je Keplerova dráha s excentricita méně než 1; to zahrnuje speciální případ a kruhová dráha, s výstředností rovnou 0. V přísnějším smyslu je to oběžná dráha Keplerova s výstředností větší než 0 a menší než 1 (tedy bez kruhové oběžné dráhy). V širším smyslu je to Keplerova dráha s negativem energie. To zahrnuje radiální eliptickou dráhu s excentricitou rovnou 1.
V gravitační problém dvou těl s negativní energií obě těla následují podobný eliptické dráhy se stejnými oběžná doba kolem jejich společné barycentrum. Rovněž relativní poloha jednoho těla vůči druhému sleduje eliptickou dráhu.
Mezi příklady eliptických drah patří: Oběžná dráha Hohmann, Molniya orbita, a oběžná dráha tundry.
Rychlost
Za standardních předpokladů orbitální rychlost () těla cestujícího podél eliptická dráha lze vypočítat z vis-viva rovnice tak jako:
kde:
- je standardní gravitační parametr,
- je vzdálenost mezi obíhajícími tělesy.
- je délka poloviční hlavní osa.
Rovnice rychlosti pro a hyperbolická trajektorie má buď + , nebo je to stejné s konvencí jako v tom případě A je negativní.
Oběžná doba
Za standardních předpokladů oběžná doba () těla pohybujícího se po eliptické dráze lze vypočítat jako:
kde:
- je standardní gravitační parametr,
- je délka poloviční hlavní osa.
Závěry:
- Oběžná doba je stejná jako u a kruhová dráha s orbitálním poloměrem rovným polohlavní ose (),
- U dané poloviční hlavní osy orbitální období nezávisí na excentricitě (viz také: Keplerův třetí zákon ).
Energie
Za standardních předpokladů specifická orbitální energie () eliptické dráhy je záporná a rovnice zachování orbitální energie (dále jen) Vis-viva rovnice ) pro tuto oběžnou dráhu může mít formu:
kde:
- je orbitální rychlost orbitálního tělesa,
- je vzdálenost orbitálního tělesa od centrální orgán,
- je délka poloviční hlavní osa,
- je standardní gravitační parametr.
Závěry:
- Pro danou poloviční hlavní osu je specifická orbitální energie nezávislá na výstřednosti.
Za použití viriální věta shledáváme:
- časový průměr specifické potenciální energie se rovná −2ε
- časový průměr z r−1 je A−1
- časový průměr specifické kinetické energie se rovná ε
Energie z hlediska hlavní poloosy
Může být užitečné znát energii z hlediska hlavní poloosy (a zapojených hmot). Celková energie oběžné dráhy je dána vztahem
- ,
kde a je poloviční hlavní osa.
Derivace
Protože gravitace je centrální síla, moment hybnosti je konstantní:
Při nejbližším a nejvzdálenějším přiblížení je moment hybnosti kolmý na vzdálenost od obíhané hmoty, proto:
- .
Celková energie oběžné dráhy je dána vztahem
- .
Můžeme nahradit v a získat
- .
To platí pro r je nejbližší / nejvzdálenější vzdálenost, takže dostaneme dvě simultánní rovnice, které řešíme pro E:
Od té doby a , kde epsilon je výstřednost oběžné dráhy, máme konečně uvedený výsledek.
Úhel dráhy letu
Úhel dráhy letu je úhel mezi vektorem rychlosti obíhajícího tělesa (= vektor tečný k okamžité oběžné dráze) a místní vodorovnou rovinou. Za standardních předpokladů zachování momentu hybnosti úhel dráhy letu splňuje rovnici:
kde:
- je specifický relativní moment hybnosti oběžné dráhy,
- je orbitální rychlost orbitálního tělesa,
- je radiální vzdálenost obíhajícího tělesa od centrální orgán,
- je úhel dráhy letu
je úhel mezi vektorem orbitální rychlosti a poloviční hlavní osou. je místní skutečná anomálie. proto
kde je výstřednost.
Moment hybnosti souvisí s vektorovým křížovým součinem polohy a rychlosti, který je úměrný sinu úhlu mezi těmito dvěma vektory. Tady je definován jako úhel, který se od tohoto liší o 90 stupňů, takže kosinus se objeví na místě sinu.
![]() | Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Červen 2008) |
Pohybová rovnice
Z počáteční polohy a rychlosti
An orbitální rovnice definuje cestu obíhající těleso kolem centrální orgán ve vztahu k , bez určení polohy jako funkce času. Pokud je výstřednost menší než 1, pak pohybová rovnice popisuje eliptickou dráhu. Protože Keplerova rovnice nemá generála uzavřené řešení pro Excentrická anomálie (E) ve smyslu Střední anomálie (M), pohybové rovnice jako funkce času také nemají řešení v uzavřené formě (ačkoli existují numerická řešení pro oba).
Avšak časově nezávislé dráhové rovnice uzavřené formy eliptické oběžné dráhy vzhledem k centrálnímu tělesu lze určit pouze z počáteční polohy () a rychlost ().
V tomto případě je vhodné použít následující předpoklady, které se poněkud liší od výše uvedených standardních předpokladů:
- Poloha centrálního těla je v počátcích a je primárním zaměřením () elipsy (alternativně lze místo toho použít těžiště, pokud má obíhající těleso významnou hmotu)
- Hmotnost centrálního těla (m1) je známá
- Počáteční poloha oběžného tělesa () a rychlost () jsou známy
- Elipsa leží v rovině XY
Čtvrtý předpoklad lze učinit bez ztráty obecnosti, protože jakékoli tři body (nebo vektory) musí ležet ve společné rovině. Za těchto předpokladů musí druhé ohnisko (někdy nazývané „prázdné“ ohnisko) ležet také v rovině XY: .
Pomocí vektorů
Obecná rovnice elipsy za těchto předpokladů pomocí vektorů je:
kde:
- je délka poloviční hlavní osa.
- je druhé („prázdné“) zaměření.
- je libovolná (x, y) hodnota splňující rovnici.
Délka hlavní poloosy (a) lze vypočítat jako:
kde je standardní gravitační parametr.
Prázdné zaměření () lze najít nejprve určením Vektor výstřednosti:
Kde je specifický moment hybnosti obíhajícího tělesa:
Pak
Používání souřadnic XY
To lze provést v kartézských souřadnicích pomocí následujícího postupu:
Obecná rovnice elipsy za výše uvedených předpokladů je:
Dané:
- počáteční souřadnice polohy
- počáteční souřadnice rychlosti
a
- gravitační parametr
Pak:
- specifický moment hybnosti
- počáteční vzdálenost od F1 (na počátku)
- délka hlavní poloosy
- the Vektor výstřednosti souřadnice
Nakonec prázdné souřadnice zaostření
Nyní lze výsledné hodnoty fx, fy a použít na obecnou elipsovou rovnici výše.
Orbitální parametry
Stav obíhajícího tělesa v kterémkoli daném čase je definován polohou a rychlostí obíhajícího tělesa vzhledem k centrálnímu tělesu, které může být reprezentováno trojrozměrným Kartézské souřadnice (poloha orbitálního tělesa představovaná x, yaz) a podobné kartézské složky rychlosti orbitálního tělesa. Tato sada šesti proměnných se spolu s časem nazývá vektory orbitálního stavu. Vzhledem k hmotnosti těchto dvou těles určují celou oběžnou dráhu. Dva nejobecnější případy s těmito 6 stupni volnosti jsou eliptická a hyperbolická oběžná dráha. Zvláštní případy s méně stupni volnosti jsou kruhová a parabolická dráha.
Protože k úplné reprezentaci eliptické oběžné dráhy s touto sadou parametrů je absolutně vyžadováno alespoň šest proměnných, je k reprezentaci oběžné dráhy s libovolnou sadou parametrů zapotřebí šest proměnných. Další sada šesti parametrů, které se běžně používají, jsou orbitální prvky.
Sluneční Soustava
V Sluneční Soustava, planety, asteroidy, většina komety a některé kousky vesmírný odpad mít přibližně eliptické dráhy kolem Slunce. Přísně vzato, obě tělesa se točí kolem stejného ohniska elipsy, toho blíže k masivnějšímu tělu, ale když je jedno těleso výrazně hmotnější, například slunce ve vztahu k Zemi, může být ohnisko obsaženo ve větším hromadění těla, a tak se říká, že se kolem něj točí menší. Následující tabulka perihelion a aphelion z planety, trpasličí planety a Halleyova kometa demonstruje variaci výstřednosti jejich eliptických drah. Pro podobné vzdálenosti od slunce širší pruhy označují větší výstřednost. Všimněte si téměř nulové výstřednosti Země a Venuše ve srovnání s enormní výstředností Halleyovy komety a Eris.
Radiální eliptická trajektorie
A radiální trajektorie může být segment dvojité čáry, což je zdegenerovaná elipsa s poloviční vedlejší osou = 0 a výstředností = 1. Ačkoli je výstřednost 1, nejedná se o parabolickou dráhu. Platí většina vlastností a vzorců eliptických drah. Oběžnou dráhu však nelze uzavřít. Je to otevřená oběžná dráha odpovídající části zvrhlé elipsy od okamžiku, kdy se těla navzájem dotýkají a pohybují se od sebe, dokud se navzájem nedotknou. V případě bodových hmot je možná jedna plná oběžná dráha, počínaje a konče singularitou. Rychlosti na začátku a na konci jsou nekonečné v opačných směrech a potenciální energie se rovná mínus nekonečnu.
Radiální eliptická trajektorie je řešením problému dvou těles s nějakou okamžitou nulovou rychlostí, jako v případě shazování předmět (zanedbání odporu vzduchu).
Dějiny
The Babyloňané byli první, kdo si uvědomili, že pohyb Slunce podél ekliptický nebyl jednotný, i když nevěděli, proč tomu tak je; dnes je známo, že je to způsobeno tím, že se Země pohybuje na eliptické oběžné dráze kolem Slunce, přičemž Země se pohybuje rychleji, když je blíže ke Slunci přísluní a pohybuje se pomaleji, když je dále afélium.[1]
V 17. století Johannes Kepler objevil, že oběžné dráhy, kolem kterých planety cestují kolem Slunce, jsou elipsy se Sluncem v jednom ohnisku, a popsal to ve svém první zákon planetárního pohybu. Později, Isaac Newton vysvětlil to jako svůj důsledek zákon univerzální gravitace.
Viz také
- Apsis
- Charakteristická energie
- Elipsa
- Seznam oběžných drah
- Orbitální výstřednost
- Orbitální rovnice
- Parabolická trajektorie
Reference
- ^ David Leverington (2003), Babylon k Voyageru i mimo něj: historie planetární astronomie, Cambridge University Press, s. 6–7, ISBN 0-521-80840-5
- D'Eliseo, MM (2007). "Orbitální rovnice prvního řádu". American Journal of Physics. 75 (4): 352–355. Bibcode:2007AmJPh..75..352D. doi:10.1119/1.2432126.
- D'Eliseo, MM; Mironov, Sergey V. (2009). „Gravitační elipsa“. Journal of Mathematical Physics. 50: 022901–022901. arXiv:0802.2435. Bibcode:2009JMP .... 50a2901M. doi:10.1063/1.3078419.
- Curtis, Howard (2009). Orbitální mechanika pro studenty inženýrství. Butterworth-Heinemann. ISBN 978-0123747785.
externí odkazy
- Java applet animující oběžnou dráhu satelitu na eliptické oběžné dráze Keplera kolem Země s jakoukoli hodnotou pro polohlavní osu a excentricitu.
- Apogee - Perigee Měsíční fotografické srovnání
- Aphelion - Perihelion Solární fotografické srovnání
- http://www.castor2.ca