Geodetika na elipsoidu - Geodesics on an ellipsoid

Geodetika na zploštělém elipsoidu

Studium geodetika na elipsoidu vznikly v souvislosti s geodézie konkrétně s řešením triangulační sítě. Thepostava Země je dobře aproximován pomocízploštělý elipsoid, mírně zploštělá koule. A geodetické je nejkratší dráha mezi dvěma body na zakřiveném povrchu, analogická k a přímka na rovném povrchu. Řešení triangulační sítě na elipsoidu je tedy soubor cvičení ve sféroidní trigonometrii (Euler 1755 ).

Pokud se se Zemí zachází jako s koule, geodézie jsouvelké kruhy (všechny jsou uzavřeny) a problémy se snižují v sférická trigonometrie. Nicméně, Newton (1687) ukázalo, že účinek rotace Země má za následek podobu mírně zploštělého elipsoidu: v tomto případěrovník a meridiány jsou jedinou jednoduše uzavřenou geodetikou. Navíc nejkratší dráha mezi dvěma body na rovníku nemusí nutně probíhat podél rovníku. A konečně, pokud je elipsoid dále narušen, aby se stal trojosý elipsoid (se třemi zřetelnými poloosami) jsou uzavřeny pouze tři geodetiky.

Geodetika na elipsoidu revoluce

Existuje několik způsobů, jak definovat geodetiku (Hilbert & Cohn-Vossen 1952, s. 220–221). Jednoduchá definice je jako nejkratší cesta mezi dvěma body na povrchu. Často je však užitečnější je definovat jako cesty s nulougeodetické zakřivení - tj. Analog rovné čáry na zaobleném povrchu. Tato definice zahrnuje geodetiku, která cestuje tak daleko napříč povrchem elipsoidu, že se začíná vracet k výchozímu bodu, takže ostatní cesty jsou přímější a zahrnuje cesty, které se protínají nebo se znovu trasují. Dostatečně krátké segmenty geodetiky jsou stále nejkratší cestou mezi jejich koncovými body, ale geodetika nemusí být nutně globálně minimální (tj. Nejkratší ze všech možných cest). Každá globálně nejkratší cesta je geodetická, ale ne naopak.

Na konci 18. století, elipsoid revoluce (termínsféroid je také používán) byla dobře přijímaná aproximace kpostava Země. Úprava triangulační sítě znamenalo snížit všechna měření na a referenční elipsoid a řešení výsledného dvojrozměrného problému jako cvičení inspheroidní trigonometrie (Bomford 1952, Kap. 3) (Leick a kol. 2015, §4.5).

Obr. 1. Geodetika AB na elipsoidu revoluce. N je severní pól a EFH lež na rovníku.

Je možné redukovat různé geodetické problémy do jednoho ze dvou typů. Zvažte dva body: $A$ na zeměpisná šířka $φ 1$ a zeměpisná délka $λ 1$ a $B$ ve zeměpisné šířce $φ 2$ a zeměpisná délka $λ 2$ (viz obr. 1). Spojovací geodetické (z $A$ na $B$ ) je $AB$ , délky $s 12$ , který má azimuty $α 1$ a $α 2$ ve dvou koncových bodech.^[1] Obvykle se zvažují dva geodetické problémy:

the přímý geodetický problém nebo první geodetický problém, vzhledem k tomu $A$ , $α 1$ , a $s 12$ , určit $B$ a $α 2$ ;
the inverzní geodetický problém nebo druhý geodetický problém, vzhledem k tomu $A$ a $B$ , určit $s 12$ , $α 1$ , a $α 2$ .

Jak je patrné z obr. 1, tyto problémy zahrnují řešení trojúhelníku $NAB$ daný jeden úhel, $α 1$ pro přímý problém a $λ 12 = λ 2 - λ 1$ pro inverzní problém a jeho dvě sousední strany. Pro sféru jsou řešení těchto problémů jednoduchá cvičení vsférická trigonometrie, jehož řešení je dánovzorce pro řešení sférického trojúhelníku (Viz článek na navigace ve velkém kruhu.)

Pro elipsoid revoluce byla nalezena charakteristická konstanta definující geodetickou hodnotu Clairaut (1735). Asystematické řešení pro cesty geodetiky bylo dánoLegendre (1806) aOriani (1806) (a následné práce v1808 a1810 Úplné řešení přímého problému (spolu s výpočetními tabulkami a vypracovaným příkladem) je dáno vztahem Bessel (1825).

V průběhu 18. století se geodetika obvykle označovala jako „shortestlines“. Termín „geodesic line“ vytvořil Laplace (1799b):

Nous désignerons cette ligne sous le nom de ligne géodésique [Tuto linku budeme nazývat geodetická čára].

Tato terminologie byla do angličtiny zavedena například jako „geodetická čára“ nebo jako „geodetická čára“ (Hutton 1811 ),

Přímka sledovaná způsobem, který jsme nyní popisovali, nebo odvozená z trigonometrických měr, prostředky, které jsme označili, se nazýváa geodetické nebo geodetická čára: má tu vlastnost, že je nejkratší, kterou lze nakreslit mezi oběma končetinami na povrchu Země; a je to tedy správné itinerářové měření vzdálenosti mezi těmito dvěma body.

Při jeho přijímání v jiných oblastech geodetická čára, často zkráceno na geodetické, bylo upřednostňováno.

Tato část pojednává o problému s elipsoidem revoluce (obláček i prolát). Problém na triaxiálním elipsoidu je popsán v další části.

Rovnice pro geodetiku

Obr. 2. Diferenciální prvek poledníkové elipsy.

Obr. 3. Diferenciální prvek geodézie na elipsoidu.

Zde jsou vyvinuty rovnice pro geodetiku; thederivation úzce navazuje na Bessel (1825).Jordan & Eggert (1941),Bagratuni (1962, §15),Gan'shin (1967, Kap. 5),Krakiwsky & Thomson (1974, §4),Rapp (1993, §1.2),Jekeli (2012), aBorre & Strang (2012) také poskytnout derivace těchto rovnic.

Vezměme si elipsoid revoluce s rovníkovým poloměrem $A$ a polární poloosa $b$ . Definujte plošinu $F = (A - b)/ A$ , výstřednost $E = \sqrt A 2 - b 2 / A = \sqrt F (2 - F)$ a druhá excentricita $E' = \sqrt A 2 - b 2 / b = E /(1 - F)$ . (Ve většině aplikací v geodézii se elipsoid považuje za zploštělý, $A > b$ ; teorie však platí beze změny, aby proložila elipsoidy, $A < b$ , v jakém případě $F$ , $E 2$ , a $E' 2$ arenegativní.)

Nechť má elementární segment cesty na elipsoidu délku $ds$ . Z obr. 2 a 3, usoudíme, že pokud je jeho azimut $α$ , pak $ds$ je spojen s $d φ$ a $d λ$ podle

(1)

{ displaystyle { color {bílá}.} qquad cos alpha , ds = rho , d varphi = - { frac {dR} { sin varphi}}, quad sin alfa , ds = R , d lambda,}

kde $ρ$ jepoledníkový poloměr zakřivení, $R = ν cosφ$ je poloměr kruhu zeměpisné šířky $φ$ , a $ν$ jenormální poloměr zakřivení Elementární segment je tedy dán vztahem

{ displaystyle ds ^ {2} = rho ^ {2} , d varphi ^ {2} + R ^ {2} , d lambda ^ {2}}

nebo

{ displaystyle { begin {aligned} ds & = { sqrt { rho ^ {2} varphi '^ {2} + R ^ {2}}} , d lambda & equiv L ( varphi , varphi ') , d lambda, end {zarovnáno}}}

kde $φ '= d φ / d λ$ aLagrangeova funkce $L$ záleží na $φ$ přes $ρ (φ)$ a $R (φ)$ . Délka libovolné cesty mezi $(φ 1, λ 1)$ a $(φ 2, λ 2)$ darováno

{ displaystyle s_ {12} = int _ { lambda _ {1}} ^ { lambda _ {2}} L ( varphi, varphi ') , d lambda,}

kde $φ$ je funkce $λ$ uspokojující $φ (λ 1) = φ 1$ a $φ (λ 2) = φ 2$ . Nejkratší cesta nebo geodetické zprávy k nalezení této funkce $φ (λ)$ což minimalizuje $s 12$ . Toto je cvičení vvariační počet a podmínka minimalizace je dánaBeltrami identita,

{ displaystyle L- varphi '{ frac { částečné L} { částečné varphi'}} = { text {konst.}}}

Střídání za $L$ a pomocí ekv. (1) dává

{ displaystyle R sin alpha = { text {const.}}}

Clairaut (1735) našel tohle vztah pomocí geometrické konstrukce; podobnou derivaci uvádíLyusternik (1964, §10).^[2] Diferenciace tohoto vztahu dává

{ displaystyle d alpha = sin varphi , d lambda.}

To spolu s ekv. (1), vede k systémuobyčejné diferenciální rovnice pro geodetiku

{ displaystyle { color {bílá}.} qquad { frac {d varphi} {ds}} = { frac { cos alfa} { rho}}; quad { frac {d lambda } {ds}} = { frac { sin alpha} { nu cos varphi}}; quad { frac {d alpha} {ds}} = { frac { tan varphi sin alpha} { nu}}.}

Můžeme vyjádřit $R$ z hlediskaparametrická zeměpisná šířka, $β$ ,použitím

{ displaystyle R = a cos beta,}

a Clairautův vztah se pak stává

{ displaystyle sin alpha _ {1} cos beta _ {1} = sin alpha _ {2} cos beta _ {2}.}

Obr. 4. Geodetický problém mapovaný na pomocnou sféru.

Obr. 5. Elementární geodetický problém na pomocné sféře.

To je sinusové pravidlo sférické trigonometrie týkající se dvou stran trojúhelníku $NAB$ (viz obr.4), $NA = 1 ⁄ 2 π - β 1$ , a $Pozn = 1 ⁄ 2 π - β 2$ a jejich opačné úhly $B = π - α 2$ a $A = α 1$ .

Abychom našli vztah pro třetí stranu $AB = σ 12$ , délka sférického obloukua zahrnutý úhel $N = ω 12$ , sférická zeměpisná délka, je užitečné vzít v úvahu trojúhelník $NEP$ představující geodetický počátek na rovníku; viz obr. 5. Na tomto obrázku jsou proměnné vztahující se k pomocné sféře zobrazeny s odpovídajícími veličinami pro elipsoid zobrazený v závorkách. Množství bez indexů odkazují na libovolný bod $P$ ; $E$ , bod, ve kterém geodézie protíná rovník směrem na sever, se používá jako počátek $σ$ , $s$ a $ω$ .

Obr. 6. Diferenciální prvek geodetické koule.

Pokud strana $EP$ se prodlužuje pohybem $P$ nekonečně (viz obr. 6), získáme

(2)

{ displaystyle { color {bílá}.} qquad cos alpha , d sigma = d beta, quad sin alpha , d sigma = cos beta , d omega.}

Kombinace ekv. (1) a (2) udává různé varianty pro $s$ a $λ$

{ displaystyle { frac {1} {a}} { frac {ds} {d sigma}} = { frac {d lambda} {d omega}} = { frac { sin beta} { sin varphi}}.}

Vztah mezi $β$ a $φ$ je

{ displaystyle tan beta = { sqrt {1-e ^ {2}}} tan varphi = (1-f) tan varphi,}

který dává

{ displaystyle { frac { sin beta} { sin varphi}} = { sqrt {1-e ^ {2} cos ^ {2} beta}},}

aby se staly diferenciální rovnice pro geodetiku

{ displaystyle { frac {1} {a}} { frac {ds} {d sigma}} = { frac {d lambda} {d omega}} = { sqrt {1-e ^ { 2} cos ^ {2} beta}}.}

Posledním krokem je použití $σ$ jako nezávislý parametr v obou těchto diferenciálních rovnicích a tím vyjádřit $s$ a $λ$ jako integrály. Uplatnění sinusového pravidla na vrcholy $E$ a $G$ ve sférickém trojúhelníku $EGP$ na obr. 5 dává

{ displaystyle sin beta = sin beta ( sigma; alpha _ {0}) = cos alpha _ {0} sin sigma,}

kde $α 0$ je azimut v $E$ , Nahradíme to do rovnice pro $ds / d σ$ a integrace výsledku dává

(3)

{ displaystyle { color {bílá}.} qquad { frac {s} {b}} = int _ {0} ^ { sigma} { sqrt {1 + k ^ {2} sin ^ { 2} sigma '}} , d sigma',}

kde

{ displaystyle k = e ' cos alfa _ {0},}

a limity integrálu jsou zvoleny tak, aby $s (σ = 0) = 0$ . Legendre (1811, str. 180) poukázal na to, že rovnice pro $s$ je stejné jako rovnice prooblouk na elipsu s poloosami $b \sqrt 1 + E' 2 cos 2 α 0$ a $b$ . Abychom vyjádřili rovnici pro $λ$ ve smyslu $σ$ , píšeme

{ displaystyle d omega = { frac { sin alpha _ {0}} { cos ^ {2} beta}} , d sigma,}

který vyplývá z rovnice (2) a Clairautův vztah. To přináší

(4)

{ displaystyle { color {bílá}.} qquad lambda - lambda _ {0} = omega -f sin alpha _ {0} int _ {0} ^ { sigma} { frac { 2-f} {1+ (1-f) { sqrt {1 + k ^ {2} sin ^ {2} sigma '}}}}} , d sigma',}

a limity integrálů jsou zvoleny tak $λ = λ 0$ na přechodu rovníku, $σ = 0$ .

Tím je dokončeno řešení cesty geodetické pomocí pomocné koule. Tímto zařízením lze velký kruh přesně namapovat na geodetiku na elipsoidu revoluce.

Existuje také několik způsobů aproximace geodetiky na terrestrialellipsoidu (s malým zploštěním) (Rapp 1991, §6); některé z nich jsou popsány v článku o zeměpisná vzdálenost Jedná se však obvykle o složitost srovnatelnou s metodou přesného řešení (Jekeli 2012, §2.1.4).

Chování geodetiky

Obr. 7. Poledníky a rovník jsou jedinou uzavřenou geodetikou. (Pro velmi zploštělé elipsoidy existují i jiné uzavřené geodetiky; viz obr. 11 a 12).

Geodetické na zploštělý elipsoid (

F = ​ 1 ⁄ 50

) s

α 0 = 45°

.

Obr. 8. Sledování geodézie na elipsoidu po dobu asi 5 okruhů.

Obr. 9. Stejná geodetika po asi 70 obvodech.

Obr. 10. Geodetické na elipsoidu prolátu (

F = -​ 1 ⁄ 50

) s

α 0 = 45°

. Porovnejte s obr.

Obr.7 ukazuje jednoduchou uzavřenou geodetiku, která se skládá z temeridiánů (zelená) a rovníku (červená). (Zde kvalifikace „jednoduchá“ znamená, že geodetika se uzavírá sama bez vzájemného průniku.) To vyplývá z rovnic pro geodetiku uvedených v předchozí části.

Všechny ostatní geodetiky jsou znázorněny na Obr. 8 a 9, které ukazují geodetické počínaje rovníkem s $α 0 = 45°$ . Geodetika osciluje kolem rovníku. Rovníkové přechody se nazývají uzly a jsou volány body maximální nebo minimální zeměpisné šířky vrcholy; parametrické šířky vrcholů jsou dány vztahem $β = \pm (1 ⁄ 2 π - | α 0 |)$ Geodetika dokončí jednu úplnou oscilační inlatitude, než se zeměpisná délka zvětší o 360°Při každém následném přechodu rovníku na sever (viz obr. $λ$ nedosáhne plného obvodu rovníku přibližně $2π F sinα 0$ (pro aprolátový elipsoid je toto množství záporné a $λ$ dokončí víc než celý obvod; viz obr.10). Pro téměř všechny hodnoty $α 0$ , geodetika vyplní tu část elipsoidu mezi dvěma zeměpisnými šířkami vrcholů (viz obr. 9).

Dvě další uzavřená geodetika pro zploštělý elipsoid,

​ b ⁄ A = ​ 2 ⁄ 7

.

Obr. 11. Boční pohled.

Obr. 12. Pohled shora.

Pokud je elipsoid dostatečně zploštělý, tj. $ b ⁄ A < 1 ⁄ 2$ , je možná další třída jednoduché uzavřené geodetiky (Klingenberg 1982, §3.5.19). Dvě takové geodetiky jsou znázorněny na obr. 11 a 12. Tady $ b ⁄ A = 2 ⁄ 7$ a rovníkový azimut, $α 0$ , pro zelenou (resp. modrou) je zvolena geodetika 53.175° (resp. 75.192°), takže thegeodesic dokončí 2 (resp. 3) úplné oscilace kolem rovníku na jednom obvodu elipsoidu.

Obr. 13. Geodetika (modrá) z jednoho bodu pro

F = ​ 1 ⁄ 10

,

φ 1 = -30°

; geodetické kruhy jsou zobrazeny zeleně a řezané lokusy červeně.

Obr. 13 ukazuje vycházející geodetiku (modře) $A$ s $α 1$ násobek15° až do bodu, kdy přestanou být nejkratšími cestami. (Zploštění bylo zvětšeno na¹⁄₁₀ aby se zvýraznily elipsoidní účinky.) Rovněž jsou zobrazeny (zeleně) křivky konstanty $s 12$ , což jsou geodetické kruhy na střed $A$ .Gauss (1828) ukázal, že na jakémkoli povrchu se geodetické a geodetické kružnice protínají v pravých úhlech. Červená čára jeřezané místo, lokus bodů, které mají několik (v tomto případě dva) nejkratší geodetiku od $A$ . Na kouli je cutlocus bodem. Na zploštělém elipsoidu (zde zobrazeném) se jedná o segment kruhu zeměpisné šířky se středem v bodě antipodální na $A$ , $φ = -φ 1$ . Podélná délka rozřezaného lokusu je přibližně $λ 12 \in [π - F π cosφ 1, π + F π cosφ 1]$ . Li $A$ leží na rovníku, $φ 1 = 0$ , tento vztah je přesný a v důsledku toho je rovník pouze nejkratší geodetickou if $| λ 12 | \leq (1 - F) π$ . U prolateellipsoidu je řezaný lokus segmentem anti-meridiánu se středem na bodovém antipodalu k $A$ , $λ 12 = π$ , a to znamená, že střední geodetika přestane být nejkratší cestou před dosažením antipodalpointu.

Diferenciální vlastnosti geodetiky

Různé problémy týkající se geodetik vyžadují znalost jejich chování, když jsou narušeny. To je užitečné při trigonometrických úpravách (Ehlert 1993 ), určující fyzikální vlastnosti signálů, které sledují geodetiku atd. Vezměme si referenční geodetiku, parametrizovanou pomocí $s$ a druhá geodetická malá vzdálenost $t (s)$ daleko od toho. Gauss (1828) to ukázal $t (s)$ posloucháGauss-Jacobiho rovnice

{ displaystyle { color {bílá}.} qquad displaystyle { frac {d ^ {2} t (s)} {ds ^ {2}}} = K (s) t (s),}

Obr. 14. Definice zmenšené délky a geodetického měřítka.

kde $K. (s)$ je Gaussovo zakřivení na $s$ Jako lineární homogenní diferenciální rovnice druhého řádu lze její řešení vyjádřit jako součet dvou nezávislých řešení

{ displaystyle t (s_ {2}) = Cm (s_ {1}, s_ {2}) + DM (s_ {1}, s_ {2})}

kde

{ displaystyle { begin {aligned} m (s_ {1}, s_ {1}) & = 0, quad left. { frac {dm (s_ {1}, s_ {2})} {ds_ { 2}}} vpravo | _ {s_ {2} = s_ {1}} = 1, M (s_ {1}, s_ {1}) & = 1, quad left. { Frac {dM (s_ {1}, s_ {2})} {ds_ {2}}} vpravo | _ {s_ {2} = s_ {1}} = 0. end {zarovnáno}}}

Množství $m (s 1, s 2) = m 12$ je tzvzkrácená délka, a $M (s 1, s 2) = M 12$ jegeodetické měřítko.^[3]Jejich základní definice jsou znázorněny na obr. 14.

TheGaussovo zakřivení pro elipsoid revoluce je

{ displaystyle K = { frac {1} { rho nu}} = { frac {{ bigl (} 1-e ^ {2} sin ^ {2} varphi { bigr)} ^ { 2}} {b ^ {2}}} = { frac {b ^ {2}} {a ^ {4} { bigl (} 1-e ^ {2} cos ^ {2} beta { bigr)} ^ {2}}}.}

Helmert (1880, Ekv. (6.5.1.)) Vyřešil Gauss-Jacobiequation pro tento případ umožňující $m 12$ a $M 12$ vyjádřit jako integrály.

Jak vidíme z obr. 14 (horní dílčí obrázek), oddělení twogeodetiky začínající ve stejném bodě s azimuty se liší o $d α 1$ je $m 12 d α 1$ . Na uzavřeném povrchu, jako je elipsoid, $m 12$ oscilace kolem nuly. Jde o to $m 12$ stane se nula je bodsdružené do výchozího bodu. Aby geodetické mezi $A$ a $B$ , délky $s 12$ , aby byla nejkratší cestou, musí splňovat podmínku Jacobi (Jacobi 1837 ) (Jacobi 1866, §6)(Forsyth 1927, §§26–27)(Bliss 1916 ), ke kterému neexistuje žádný bod konjugovaný $A$ mezi $A$ a $B$ . Pokud tato podmínka není splněna, pak existuje apoblíž cesta (ne nutně geodetická), která je kratší. Jacobiho podmínka je tedy místní vlastností geodetiky a je pouze nezbytnou podmínkou pro to, aby geodetika byla globální nejkratší cestou. Nezbytné a dostatečné podmínky pro geodetiku, která je nejkratší cestou, jsou:

pro zploštělý elipsoid, $| σ 12 | \leq π$ ;
pro elipsoid prolate, $| λ 12 | \leq π$ , pokud $α 0 \neq 0$ ; -li $α 0 = 0$ , doplňková podmínka $m 12 \geq 0$ je vyžadováno, pokud $| λ 12 | = π$ .

Obálka geodetiky

Geodetika z jednoho bodu (

F = ​ 1 ⁄ 10

,

φ 1 = -30°

)

Obr. 15. Obálka geodetiky z bodu

A

na

φ 1 = -30°

.

Obr. 16. Spojení čtyř geodetik

A

a bod

B

,

φ 2 = 26°

,

λ 12 = 175°

.

Geodetika z určitého bodu $A$ pokud bude pokračovat, vyříznutý lokus vytvoří obálku znázorněnou na obr. 15. Zde geodetika, pro kterou $α 1$ je násobkem3° jsou zobrazeny světle modře. (Geodetika se zobrazuje pouze pro svůj první průchod blízko antipodálního bodu, nikoli pro následné.) Některé geodetické kruhy jsou zobrazeny zeleně; tyto formcusps na obálce. Lokalita řezu je zobrazena červeně. Obálka je lokus bodů, které jsou konjugovány $A$ ; body na obálce lze vypočítat vyhledáním bodu, ve kterém $m 12 = 0$ na geodetice.Jacobi (1891) nazývá tuto hvězdnou postavu vyrobenou obálkou astroid.

Mimo astroid se v každém bodě protínají dvě geodetiky; tedy mezi nimi jsou dvě geodetiky (s délkou přibližně polovinou obvodu elipsoidu) $A$ a tyto body. To odpovídá situaci na sféře, kde existují „krátké“ a „dlouhé“ trasy ve velkém kruhu mezi dvěma body. Uvnitř štítu se v každém bodě protínají čtyři geodetiky. Čtyři takové geodetiky jsou zobrazeny na obr. 16, kde jsou geodiky číslovány v pořadí s rostoucí délkou. (Toto číslo používá stejnou pozici pro $A$ 13 a je nakreslen ve stejné projekci.) Dvě kratší geodetika jsou stabilní, tj., $m 12 > 0$ , takže neexistuje žádná blízká cesta spojující dva body, která je kratší; další dva jsou nestabilní. Pouze nejkratší řádek (první) má $σ 12 \leq π$ . Všechny geodézie jsou tečny k obálce, která je na obrázku zobrazena zeleně.

Astroid je (vnější) evoluce geodetických kruhů soustředěných na $A$ . Stejně tak jsou geodetické kruhyevoluce astroidu.

Oblast geodetického polygonu

A geodetický polygon je mnohoúhelník, jehož strany jsou geodetické. Je to analogické k a sférický mnohoúhelník, jehož strany jsou velké kruhy. Oblast takového polygonu může být nalezena nejprve výpočtem plochy mezi ageodickým segmentem a rovníkem, tj. Plocha čtyřúhelníku $AFHB$ na obr.1 (Danielsen 1989 ). Jakmile je tato oblast známa, lze plochu polygonu vypočítat sečtením příspěvků ze všech hran polygonu.

Zde výraz pro tuto oblast $S 12$ z $AFHB$ je vyvíjen následovně Sjöberg (2006). Oblast kteréhokoli uzavřeného regionu elipsoidu je

{ displaystyle T = int dT = int { frac {1} {K}} cos varphi , d varphi , d lambda,}

kde $dT$ je prvkem povrchové plochy a $K.$ je Gaussovo zakřivení. NyníVěta o Gauss-Bonnetovi aplikován na stavy geodetického polygonu

{ displaystyle Gamma = int K , dT = int cos varphi , d varphi , d lambda,}

kde

{ displaystyle Gamma = 2 pi - součet _ {j} theta _ {j}}

je geodetický přebytek a $θ j$ je vnější úhel atvertex $j$ . Vynásobení rovnice pro $Γ$ podle $R 22$ , kde $R 2$ jeauthalic radius a odečtením této rovnice pro $T$ dává

{ displaystyle { begin {zarovnáno} T & = R_ {2} ^ {2} , Gamma + int { biggl (} { frac {1} {K}} - R_ {2} ^ {2} { biggr)} cos varphi , d varphi , d lambda & = R_ {2} ^ {2} , Gamma + int { Biggl (} { frac {b ^ { 2}} {{ bigl (} 1-e ^ {2} sin ^ {2} varphi { bigr)} ^ {2}}} - R_ {2} ^ {2} { Biggr)} cos varphi , d varphi , d lambda, end {zarovnáno}}}

Kde hodnota $K.$ pro elipsoid byl nahrazen. Použití tohoto vzorce na čtyřúhelník $AFHB$ s tím, že $Γ = α 2 - α 1$ a provedení integrálu $φ$ dává

{ displaystyle S_ {12} = R_ {2} ^ {2} ( alpha _ {2} - alpha _ {1}) + b ^ {2} int _ { lambda _ {1}} ^ { lambda _ {2}} { biggl (} { frac {1} {2 { bigl (} 1-e ^ {2} sin ^ {2} varphi { bigr)}}} + { frac { tanh ^ {- 1} (e sin varphi)} {2e sin varphi}} - { frac {R_ {2} ^ {2}} {b ^ {2}}} { biggr )} sin varphi , d lambda,}

kde je integrál nad geodetickou čarou (takže $φ$ je implicitně funkcí $λ$ Integrál lze vyjádřit jako řadu platnou pro malé $F$ (Danielsen 1989 ) (Karney 2013, §6 a dodatek).

Plocha geodetického polygonu je dána sečtením $S 12$ přes jeho okraje. Tento výsledek platí za předpokladu, že mnohoúhelník nezahrnuje pól; pokud ano, $2π R 22$ musí být přidáno k datu. Pokud jsou hrany určeny jejich vrcholy, pak apohodlný výraz pro geodetický přebytek $E 12 = α 2 - α 1$ je

{ displaystyle tan { frac {E_ {12}} {2}} = { frac { sin { tfrac {1} {2}} ( beta _ {2} + beta _ {1}) } { cos { tfrac {1} {2}} ( beta _ {2} - beta _ {1})}} tan { frac { omega _ {12}} {2}}.}

Řešení přímých a inverzních úloh

Řešení geodetických problémů vyžaduje mapování geodézie na pomocnou sféru a řešení odpovídajícího problému vnavigace ve velkém kruhu.Při řešení "elementárního" sférického trojúhelníku pro $NEP$ na obr. 5,Napierova pravidla pro kvadrantální trojúhelníky lze zaměstnat,

{ displaystyle { begin {zarovnáno} sin alpha _ {0} & = sin alpha cos beta = tan omega cot sigma, cos sigma & = cos beta cos omega = tan alpha _ {0} cot alpha, cos alpha & = cos omega cos alpha _ {0} = cot sigma tan beta, sin beta & = cos alpha _ {0} sin sigma = cot alpha tan omega, sin omega & = sin sigma sin alpha = tan beta tan alpha _ {0}. end {zarovnáno}}}

Mapování geodetiky zahrnuje vyhodnocení integrálů pro vzdálenost, $s$ a zeměpisná délka, $λ$ , Rov. (3) a (4) a ty závisí na parametru $α 0$ .

Řešení přímého problému je přímé, protože $α 0$ lze určit přímo z daných množství $φ 1$ a $α 1$ .

V případě inverzního problému $λ 12$ je dáno; to nelze snadno spojit s ekvivalentním sférickým úhlem $ω 12$ protože $α 0$ Řešení problému to tedy vyžaduje $α 0$ iterativně nalezen.

V geodetických aplikacích, kde $F$ je malý, integrály se obvykle hodnotí jako řada (Legendre 1806 )(Oriani 1806 ) (Bessel 1825 ) (Helmert 1880 )(Rainsford 1955 ) (Rapp 1993 ). Pro libovolné $F$ , integrály (3) a (4) lze najít pomocí numerické kvadratury nebo jejich vyjádřenímeliptické integrály (Legendre 1806 ) (Cayley 1870 ).

Vincenty (1975) poskytuje řešení pro přímé a inverzní problémy; ty jsou založeny na sériové expanzi provedené do třetí řady při zploštění a poskytují přesnost asi0,1 mm pro WGS84 elipsoid; inverzní metoda však selhává, aby konvergovala pro téměř antipodální body. Karney (2013) pokračuje v expanzi do šestého řádu, což je dostatečné k zajištění plnéhodvojnásobná přesnost přesnost pro $| F | \leq 1 ⁄ 50$ a vylepšuje řešení inverzního problému tak, aby se ve všech případech sbíhalo.Karney (2013, dodatek) rozšiřuje metodu o použití eliptických integrací, které lze použít na elipsoidy s libovolným zploštěním.

Geodetika na triaxiálním elipsoidu

Řešení geodetického problému pro elipsoid revoluce je z matematického hlediska relativně jednoduché: díky symetrii mají geodetika konstanta pohybu, daný Clairautovým vztahem umožňujícím redukci problému nakvadratura. Na počátku 19. století (s dílem Legendra, Oriani, Bessel a kol.), Došlo k úplnému pochopení vlastností geodetiky na anellipsoidu revoluce.

Na druhou stranu, geodetika na triaxiálním elipsoidu (se třemi nerovnocennostmi) nemá žádnou zjevnou pohybovou konstantu a představovala tedy v první polovině 19. století neřešitelný nevyřešený problém. V pozoruhodném článku Jacobi (1839) objevil konstantu pohybu umožňující tento problém snížit na kvadraturní také (Klingenberg 1982, §3.5).^[4]

Trojosý souřadnicový systém

Zvažte elipsoid definovaný

{ displaystyle h = { frac {X ^ {2}} {a ^ {2}}} + { frac {Y ^ {2}} {b ^ {2}}} + { frac {Z ^ { 2}} {c ^ {2}}} = 1,}

kde $(X, Y, Z)$ jsou karteziánské souřadnice soustředěné na elipsoidu a bez ztráty obecnosti $A \geq b \geq C > 0$ .^[5]Jacobi (1866, §§ 26–27) zaměstnával elipsoidní zeměpisná šířka a zeměpisná délka $(β, ω)$ definován

Obr. Elipsoidní souřadnice.

{ displaystyle { begin {zarovnáno} X & = a cos omega { frac { sqrt {a ^ {2} -b ^ {2} sin ^ {2} beta -c ^ {2} cos ^ {2} beta}} { sqrt {a ^ {2} -c ^ {2}}}}, Y & = b cos beta sin omega, Z & = c sin beta { frac { sqrt {a ^ {2} sin ^ {2} omega + b ^ {2} cos ^ {2} omega -c ^ {2}}} { sqrt {a ^ {2 } -c ^ {2}}}}. end {zarovnáno}}}

V limitu $b \to A$ , $β$ se stane parametrickou šířkou pro zploštělý elipsoid, takže použití symbolu $β$ je v souladu s předchozími částmi. $ω$ je odlišný ze sférické délky definované výše.^[6]

Mřížky konstanty $β$ (modře) a $ω$ (zeleně) jsou uvedeny na obr. 17. Tyto představují an ortogonální souřadnicový systém: čáry mřížky se protínají v pravých úhlech. Hlavní sekce elipsoidu, definované $X = 0$ a $Z = 0$ jsou zobrazeny červeně. Třetí hlavní část, $Y = 0$ , je pokryta řádky $β = \pm 90 °$ a $ω = 0 °$ nebo $\pm180°$ . Tyto řádky se scházejí ve čtyřipupeční body (z nichž dva jsou viditelné na tomto obrázku), kdehlavní poloměry zakřivení jsou rovny. Na dalších obrázcích v této části jsou parametry elipsoidu $A : b : C = 1.01:1:0.8$ , a je viděn v ortografické projekci z výše uvedeného bodu $φ = 40 °$ , $λ = 30 °$ .

Mřížky elipsoidních souřadnic lze interpretovat třemi různými způsoby:

Jsou to „linie zakřivení“ na elipsoidu: jsou rovnoběžné se směry hlavního zakřivení (Monge 1796 ).
Jsou také průsečíky elipsoidu s konfokální systémy hyperboloidů jednoho a dvou listů (Dupin 1813, Část 5 ).
Nakonec jsou to geodetické elipsy a hyperboly definované pomocí dvou sousedních pupečních bodů (Hilbert & Cohn-Vossen 1952, str. 188). Například řádky konstanty $β$ na obr. 17 lze generovat známým konstrukce strun pro elipsy s konci struny připnutou ke dvěma pupečním bodům.

Jacobiho řešení

Jacobi ukázal, že geodetické rovnice vyjádřené v elipsoidních souřadnicích jsou oddělitelné. Zde popsal svůj objev svému příteli a sousedovi Besselovi (Jacobi 1839, Dopis Besselovi),

Předvčerem jsem omezil kvadraturu problému geodetických linií na elipsoid se třemi nerovnými osami. Jsou to nejjednodušší vzorce na světě, Abelian integrály, které se stanou dobře známými eliptickými integrály, pokud jsou 2 osy stejné.
Königsberg, 28. prosince '38.

Řešení dané Jacobi (Jacobi 1839 )(Jacobi 1866, §28) je

{ displaystyle { begin {aligned} delta & = int { frac {{ sqrt {b ^ {2} sin ^ {2} beta + c ^ {2} cos ^ {2} beta }} , d beta} {{ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2} sin ^ {2} beta -c ^ {2} cos ^ {2} beta}} { sqrt {{ bigl (} b ^ {2} -c ^ {2} { bigr)} cos ^ {2} beta - gamma}}}} [6pt] & quad - int { frac {{ sqrt {a ^ {2} sin ^ {2} omega + b ^ {2} cos ^ {2} omega}} , d omega} {{ sqrt {a ^ { 2} sin ^ {2} omega + b ^ {2} cos ^ {2} omega -c ^ {2}}} { sqrt {{ bigl (} a ^ {2} -b ^ { 2} { bigr)} sin ^ {2} omega + gamma}}}}. End {zarovnáno}}}

Jak poznamenává Jacobi „funkce úhlu $β$ rovná se funkce úhlu $ω$ . Tyto dvě funkce jsou jen abelianské integrály ... "Dvě konstanty." $δ$ a $y$ se objeví v řešení. Typicky $δ$ je nula, jsou-li dolní meze integrálů považovány za výchozí bod geodetiky a směr geodetiky je určen $y$ . Pro geodézie, které začínají v pupečních bodech, však máme $γ = 0$ a $δ$ určuje směr v pupečním bodě. Konstanta $y$ lze vyjádřit jako

{ displaystyle gamma = { bigl (} b ^ {2} -c ^ {2} { bigr)} cos ^ {2} beta sin ^ {2} alpha - { bigl (} a ^ {2} -b ^ {2} { bigl)} sin ^ {2} omega cos ^ {2} alfa,}

kde $α$ je úhel, který geodetický úhel s konstantními liniemi $ω$ . V limitu $b \to A$ , to se sníží na $sinα cosβ = konst.$ , známý vztah Clairaut. Odvození Jacobiho výsledku je dáno Darboux (1894, §§ 583–584); dává řešení, které našel Liouville (1846) pro obecné kvadratické povrchy.

Průzkum triaxiálních geodetik

Cirkumpolární geodetika,

ω 1 = 0°

,

α 1 = 90°

.

Obr.

β 1 = 45.1°

.

Obr.

β 1 = 87.48°

.

Na triaxiálním elipsoidu existují pouze tři jednoduché uzavřené geodetiky, tři hlavní sekce elipsoidu dané $X = 0$ , $Y = 0$ , a $Z = 0$ .^[7]Pro průzkum ostatních geodetik je vhodné uvažovat o geodetikách, které protínají střední hlavní část, $Y = 0$ , v pravých úhlech. Taková geodetika je znázorněna na obr. 18–22, které používají stejné parametry elipsoidu a stejný směr pohledu jako na obr. 17. Kromě toho jsou na každém z těchto obrázků červeně zobrazeny tři hlavní elipsy.

Pokud je výchozí bod $β 1 \in (-90°, 90°)$ , $ω 1 = 0$ , a $α 1 = 90°$ , pak $γ> 0$ a geodézie obklopuje elipsoid v „cirkumpolárním“ smyslu. Geodesicoscillates sever a jih od rovníku; na každé oscilaci se dokončí o něco méně než celý obvod kolem elipsoidu, což má za následek, v typickém případě, v geodetické výplni oblast ohraničenou dvěma liniemi zeměpisné šířky $β = \pm β 1$ . Na příkladech jsou uvedeny dva příklady. 18 a 19. Obrázek 18 ukazuje prakticky stejné chování jako u zploštělého rotačního elipsoidu (protože $A \approx b$ ); ve srovnání s obr. 9. Pokud je však výchozí bod ve větší zeměpisné šířce (obr. 18), zkreslení vyplývající z $A \neq b$ jsou evidentní. Všechny tečny k cirkumpolární geodetice se dotýkají konfokálního jednoplášťového hyperboloidu, který protíná elipsoid v $β = β 1$ (Chasles 1846 )(Hilbert & Cohn-Vossen 1952, s. 223–224).

Transpolární geodetika,

β 1 = 90°

,

α 1 = 180°

.

Obr.

ω 1 = 39.9°

.

Obr.

ω 1 = 9.966°

.

Pokud je výchozí bod $β 1 = 90°$ , $ω 1 \in (0°, 180°)$ , a $α 1 = 180°$ , pak $γ <0$ a geodetika obklopuje elipsoidin v „transpolárním“ smyslu. Geodetika osciluje na východ a západ od elipsy $X = 0$ ; na každé oscilaci to lehce dokončí více než celý obvod kolem elipsoidu. V typickém případě to má za následek geodetické vyplnění oblasti ohraničené dvěma podélnými čarami $ω = ω 1$ a $ω = 180 ° - ω 1$ .Li $A = b$ , všechny meridiány jsou geodetické; účinek $A \neq b$ způsobí, že taková geodetika osciluje na východ a na západ. Dva příklady jsou uvedeny na obr. 20 a 21. Zúžení geodetické blízkosti pólu zmizí v limitu $b \to C$ ; v tomto případě se elipsoid stane aprolátovým elipsoidem a obr. 20 by připomínal obr. 10 (otočený na jeho straně). Všechny tečny k transpolární geodetice se dotýkají kontaktního hyperboloidu s dvojitými listy, který protíná elipsoid v $ω = ω 1$ .

Obr. 22. Umbilikální geodetika,

β 1 = 90°

,

ω 1 = 0°

,

α 1 = 135°

.

Pokud je výchozí bod $β 1 = 90°$ , $ω 1 = 0°$ (pupeční bod) a $α 1 = 135°$ (geodetika opouští elipsu $Y = 0$ v pravém úhlu) $γ = 0$ a geodetika opakovaně protíná opačný pupeční bod a vrací se do výchozího bodu. Na každém obvodu však úhel, pod kterým se protíná $Y = 0$ se blíží 0° nebo180° takže asymptoticky leží geodetika na elipse $Y = 0$ (Hart 1849 ) (Arnold 1989, str. 265), jak je znázorněno na obr. 22. Jedna geodetika nevyplňuje oblast na elipsoidu. Všechny tečny k umbilikální geodetice se dotýkají konfokální hyperboly, která protíná elipsoid vumbilických bodech.

Pupeční geodetika má několik zajímavých vlastností.

Prostřednictvím kteréhokoli bodu na elipsoidu existují dvě pupeční geodetika.
Geodetická vzdálenost mezi protilehlými pupečními body je stejná bez ohledu na počáteční směr geodézie.
Zatímco uzavřená geodetika na elipsách $X = 0$ a $Z = 0$ jsou stabilní (geodetika zpočátku blízko a téměř rovnoběžná s elipsou zůstává blízko elipsy), uzavřená geodetika na elipsě $Y = 0$ , který prochází všemi 4 pupečními body, je exponenciálně nestabilní. Pokud je rozrušený, vyklopí se z letadla $Y = 0$ a otočit se před návratem do blízkosti letadla. (Toto chování se může opakovat v závislosti na povaze počáteční poruchy.)

Pokud je výchozím bodem $A$ geodetické není pupeční bod, jeho obálka je astroid se dvěma hrbolky ležící na $β = -β 1$ a další dva dál $ω = ω 1 + π$ . Místo řezu $A$ je část čáry $β = -β 1$ mezi hrbolky.

Aplikace

Přímé a inverzní geodetické problémy již nehrají ústřední roli v geodézii, kterou kdysi hrály. Místo řešenínastavení z geodetické sítě jako atdimenzionální problém ve sféroidní trigonometrii jsou tyto problémy řešeny trojrozměrnými metodami (Vincenty & Bowring 1978 Pozemská geodetika přesto hraje důležitou roli v několika oblastech:

pro měření vzdáleností a ploch v geografické informační systémy;
definice námořní hranice (UNCLOS 2006 );
v pravidlech Federální letecká správa pro oblastní navigaci (RNAV 2007 );
metoda měření vzdáleností v FAI Sportovní řád (FAI 2018 ).
pomozte muslimům najít jejich směr k Mekce

Podle zásada nejmenší akce, mnoho problémů ve fyzice lze formulovat jako variační problém podobný tomu geodetickému. Geodetický problém je skutečně ekvivalentní pohybu částice omezené v pohybu na povrchu, ale jinak není vystaven žádným silám (Laplace 1799a ) (Hilbert & Cohn-Vossen 1952, str. 222). Z tohoto důvodu se geodetika na jednoduchých površích, jako jsou rotační elipsoidy nebo triaxiální elipsoidy, často používá jako „testovací případy“ pro zkoumání nových metod. Mezi příklady patří:

vývoj eliptických integrálů (Legendre 1811 ) a eliptické funkce (Weierstrass 1861 );
vývoj diferenciální geometrie (Gauss 1828 ) (Christoffel 1869 );
metody řešení systémů diferenciálních rovnic změnou nezávislých proměnných (Jacobi 1839 );
studium žíravost (Jacobi 1891 );
vyšetřování počtu a stability periodických drah (Poincaré 1905 );
v limitu $C \to 0$ , geodetika na triaxiálním elipsoidu redukována na případ dynamický kulečník;
extensions to an arbitrary number of dimensions (Knörrer 1980 );
geodesic flow on a surface (Berger 2010, Kap. 12).

Viz také

Poznámky

^ Tady $α 2$ je vpřed azimuth at $B$ .Some authors calculate the zadní azimuth instead; this is given by $α 2 \pm π$ .
^ Laplace (1799a) showed that a particle constrained to move ona surface but otherwise subject to no forces moves along a geodesic forthat surface. Thus, Clairaut's relation is just a consequence ofconservation of angular momentum for a particle on a surface ofrevolution.
^ Bagratuni (1962, §17) uses the term "coefficient ofconvergence of ordinates" for the geodesic scale.
^ This section is adapted from the documentation for GeographicLib(Karney 2015, Geodesics on a triaxial ellipsoid )
^ This notation for the semi-axes is incompatible with that used in theprevious section on ellipsoids of revolution in which $A$ a $b$ stood for the equatorial radius and polar semi-axis.Thus the corresponding inequalities are $A = A \geq b > 0$ foran oblate ellipsoid and $b \geq A = A > 0$ for a prolateellipsoid.
^ Omezení $b \to C$ gives a prolate ellipsoid with $ω$ playing the role of the parametric latitude.
^ Li $ C ⁄ A < 1 ⁄ 2$ , there are other simple closed geodesicssimilar to those shown in Figs. 11 and 12(Klingenberg 1982, §3.5.19).

Reference

Arnold, V. I. (1989). Matematické metody klasické mechaniky. Translated by Vogtmann, K.; Weinstein, A. (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-96890-2. OCLC 4037141.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Bagratuni, G. V. (1967) [1962]. Course in Spheroidal Geodesy. doi:10.5281/zenodo.32371. OCLC 6150611. Translation from Russian of Курс сфероидической геодезии (Moscow, 1962) by U.S. Air Force (FTD-MT-64-390 )
Berger, M. (2010). Geometry Revealed. Translated by Senechal, L. J. Springer. doi:10.1007/978-3-540-70997-8. ISBN 978-3-540-70996-1.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Bessel, F. W. (2010) [1825]. Translated by Karney, C. F. F.; Deakin, R. E. "The calculation of longitude and latitude from geodesic measurements". Astronomische Nachrichten. 331 (8): 852–861. arXiv:0908.1824. Bibcode:2010AN....331..852K. doi:10.1002 / asna.201011352. Anglický překlad Astron. Nachr. 4, 241–254 (1825). Errata.
Bliss, G. A. (1916). "Jacobi's condition for problems of the calculus of variations in parametric form". Transakce Americké matematické společnosti. 17 (2): 195–206. doi:10.1090/S0002-9947-1916-1501037-4 (volný přístup).CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Bomford, G. (1952). Geodézie. Oxford: Clarendon. OCLC 1396190.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Borre, K.; Strang, W. G. (2012). Algorithms for Global Positioning. Wellesley-Cambridge Press. ISBN 978-0-9802327-3-8. OCLC 795014501. Kapitola 11, Geometry of the Ellipsoid.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Cayley, A. (1870). "On the geodesic lines on an oblate spheroid". Filozofický časopis. 4. série. 40 (268): 329–340. doi:10.1080/14786447008640411.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Chasles, M. (1846). "Sur les lignes géodésiques et les lignes de courbure des surfaces du second degré" [Geodesic lines and the lines of curvature of the surfaces of the second degree] (PDF). Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (francouzsky). 11: 5–20.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Christoffel, E. B. (1869). "Allgemeine Theorie der geodätischen Dreiecke" [General theory of geodesic triangles]. Abhandlungen Königlichen Akademie der Wissenschaft zu Berlin (in German): 119–176.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Clairaut, A. C. (1735). "Détermination géometrique de la perpendiculaire à la méridienne tracée par M. Cassini" [Geometrical determination of the perpendicular to the meridian drawn by Jacques Cassini]. Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Paris 1733 (in French): 406–416.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Danielsen, J. S. (1989). "The Area under the Geodesic". Přezkum průzkumu. 30 (232): 61–66. doi:10.1179/003962689791474267.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Darboux, J. G. (1894). Leçons sur la théorie générale des povrchy [Lessons on the general theory of surfaces] (francouzsky). 3. Paříž: Gauthier-Villars. OCLC 8566228. PDF.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Dupin, P. C. F. (1813). Développements de Géométrie [Developments in geometry] (francouzsky). Paříž: Courcier. OCLC 560800801.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Ehlert, D. (1993). Methoden der ellipsoidischen Dreiecksberechnung [Methods for ellipsoidal triangulation] (Technical report). Reihe B: Angewandte Geodäsie, Heft Nr. 292 (in German). Deutsche Geodätische Kommission. OCLC 257615376.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Euler, L. (1755). "Élémens de la trigonométrie sphéroïdique tirés de la méthode des plus grands et plus petits" [Elements of spheroidal trigonometry taken from the method of maxima and minima]. Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Berlin 1753 (francouzsky). 9: 258–293. Čísla.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
FAI (2018). FAI Sporting Code (PDF) (Technická zpráva). Lausanne, Switzerland: Fédération Aéronautique Internationale. Section 8.2.3.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Forsyth, A. R. (1927). Calculus of Variations. Cambridge Univ. Lis. ISBN 978-1-107-64083-2. OCLC 250050479.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Gan'shin, V. V. (1969) [1967]. Geometry of the Earth Ellipsoid. Translated by Willis, J. M. St. Louis: Aeronautical Chart and Information Center. doi:10.5281/zenodo.32854. OCLC 493553. Translation from Russian of Геометрия земного эллипсоида (Moscow, 1967).
Gauss, C. F. (1902) [1828]. Obecná vyšetřování zakřivených povrchů z let 1827 a 1825. Translated by Morehead, J. C.; Hiltebeitel, A. M. Princeton Univ. Lib. OCLC 7824448. PDF. Anglický překlad Disquisitiones generales circa superficies curvas (Dieterich, Göttingen, 1828).
Hart, A. S. (1849). "Geometrical demonstration of some properties of geodesic lines". Cambridge and Dublin Mathematical Journal. 4: 80–84.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Helmert, F. R. (1964) [1880]. Mathematical and Physical Theories of Higher Geodesy. 1. St. Louis: Aeronautical Chart and Information Center. doi:10.5281/zenodo.32050. OCLC 17273288. Anglický překlad Die Mathematischen und Physikalischen Theorieen der Höheren Geodäsie, Sv. 1 (Teubner, Leipzig, 1880).
Hilbert, D.; Cohn-Vossen, S. (1952). Geometrie a představivost. Translated by Nemenyi, P. New York: Chelsea. OCLC 301610346.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Hutton, C. (1811). A Course of Mathematics in Three Volumes Composed for the Use of the Royal Military Academy. London: F. C. a J. Rivington. str.115. OCLC 18031510.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Jacobi, C. G. J. (1837). "Zur Theorie der Variations-Rechnung und der Differential-Gleichungen" [The theory of the calculus of variations and of differential equations]. Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (v němčině). 1837 (17): 68–82. doi:10.1515/crll.1837.17.68.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Jacobi, C. G. J. (1839). "Note von der geodätischen Linie auf einem Ellipsoid und den verschiedenen Anwendungen einer merkwürdigen analytischen Substitution" [The geodesic on an ellipsoid and various applications of a remarkable analytical substitution]. Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (v němčině). 1839 (19): 309–313. doi:10.1515/crll.1839.19.309. Letter to Bessel, Dec. 28, 1838. francouzský překlad (1841).CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Jacobi, C. G. J. (2009) [1866]. A. Clebsch (vyd.). Lectures on Dynamics. Translated by Balagangadharan, K. New Delhi: Hindustan Book Agency. ISBN 978-81-85931-91-3. PAN 2569315. OCLC 440645889. Anglický překlad Vorlesungen über Dynamik (Reimer, Berlin, 1866). Errata.
Jacobi, C. G. J. (1891). "Über die Curve, welche alle von einem Punkte ausgehenden geodätischen Linien eines Rotationsellipsoides berührt" [The envelope of geodesic lines emanating from a single point on an ellipsoid]. v K. T. W. Weierstrass (vyd.). Jacobi's Gesammelte Werke (v němčině). 7. Berlin: Reimer. 72–87. OCLC 630416023. Op. post., completed by F. H. A. Wangerin. PDF.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Jekeli, C. (2012), Geometric Reference Systems in Geodesy, Ohio State Univ., hdl:1811/51274CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Jordan, W.; Eggert, O. (1962) [1941]. Handbook of Geodesy. 3.2. Translated by Carta, M. W. Washington, DC: Army Map Service. Bibcode:1962hage.book.....J. doi:10.5281/zenodo.35316. OCLC 34429043. Anglický překlad Handbuch der Vermessungskunde, 8th edition (Metzler, Stuttgart, 1941).
Karney, C. F. F. (2013). "Algorithms for geodesics". Journal of Geodesy. 87 (1): 43–55. arXiv:1109.4448. Bibcode:2013JGeod..87...43K. doi:10.1007/s00190-012-0578-z (otevřený přístup). Dodatky.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Karney, C. F. F. (2015). "GeographicLib". Version 1.44.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Klingenberg, W. P. A. (1982). Riemannova geometrie. de Gruyer. ISBN 978-3-11-008673-7. PAN 0666697. OCLC 8476832.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Knörrer, H. (1980). "Geodesics on the ellipsoid". Inventiones Mathematicae. 59 (2): 119–143. Bibcode:1980InMat..59..119K. doi:10.1007/BF01390041.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Krakiwsky, E. J.; Thomson, D. B. (1974), Geodetic position computations (PDF), Dept. of Geodesy and Geomatics Engineering, Lecture Notes, Fredericton, N.B.: Univ. of New Brunswick, Bibcode:1974gpc..book.....KCS1 maint: ref = harv (odkaz)
Laplace, P. S. (1829) [1799a]. Treatise on Celestial Mechanics. 1. Přeloženo Bowditch, N. Boston: Hillard, Gray, Little, & Wilkins. OCLC 1294937. Book 1, §8.
Laplace, P. S. (1799b). Traité de Mécanique Céleste [Treatise on Celestial Mechanics] (francouzsky). 2. Paris: Crapelet. str. 112. OCLC 25448952.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Legendre, A. M. (1806). "Analyse des triangles tracées sur la surface d'un sphéroïde" [Analysis of spheroidal triangles]. Mémoires de l'Institut National de France (in French) (1st semester): 130–161.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Legendre, A. M. (1811). Exercices de Calcul Intégral sur Divers Ordres de Transcendantes et sur les Quadratures [Exercises in Integral Calculus] (francouzsky). Paříž: Courcier. OCLC 312469983.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Leick, A.; Rapoport, L.; Tatarnikov, D. (2015). GPS Satellite Surveying (4. vydání). Wiley. ISBN 978-1-119-01828-5.
Liouville, J. (1846). "Sur quelques cas particuliers où les équations du mouvement d'un point matériel peuvent s'intégrer" [On special cases where the equations of motion of a point particle can be integrated] (PDF). Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (francouzsky). 11: 345–378.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Lyusternik, L. (1964). Shortest Paths: Variational Problems. Popular Lectures in Mathematics. 13. Translated by Collins, P.; Brown, R. B. New York: Macmillan. PAN 0178386. OCLC 1048605. Translation from Russian of Кратчайшие Линии: Вариационные Задачи (Moscow, 1955).CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Monge, G. (1850) [1796]. "Sur les lignes de courbure de la surface de l'ellipsoïde" [On the lines of curvature on the surface of the ellipsoid]. v J. Liouville (vyd.). Application de l'Analyse à la Géometrie (ve francouzštině) (5. vydání). Paris: Bachelier. str. 139–160. OCLC 2829112. Čísla.
Národní geodetický průzkum (2012). "Geodesic Utilities: Inverse and Forward". Version 3.0.
Newton, I. (1848) [1687]. Matematické principy přírodní filozofie. Translated by Motte, A. New York: Adee. str.405. Book 3, Proposition 19, Problem 3, pp. 405–409.
Oriani, B. (1806). "Elementi di trigonometria sferoidica, Pt. 1" [Elements of spheroidal trigonometry]. Memorie Dell'Istituto Nazionale Italiano (v italštině). 1 (1): 118–198.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Oriani, B. (1808). "Elementi di trigonometria sferoidica, Pt. 2" [Elements of spheroidal trigonometry]. Memorie Dell'Istituto Nazionale Italiano (v italštině). 2 (1): 1–58.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Oriani, B. (1810). "Elementi di trigonometria sferoidica, Pt. 3" [Elements of spheroidal trigonometry]. Memorie Dell'Istituto Nazionale Italiano (v italštině). 2 (2): 1–58.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Poincaré, H. (1905). "Sur les lignes géodésiques des surfaces convexes" [Geodesics lines on convex surfaces]. Transakce Americké matematické společnosti (francouzsky). 6 (3): 237–274. doi:10.2307/1986219. JSTOR 1986219.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Rainsford, H. F. (1955). "Dlouhá geodetika na elipsoidu". Bulletin Géodésique. 37 (1): 12–22. Bibcode:1955BGeod..29 ... 12R. doi:10.1007 / BF02527187.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Rapp, R. H. (1991), Geometric geodesy, part I, Ohio State Univ., hdl:1811/24333CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Rapp, R. H. (1993), Geometric geodesy, part II, Ohio State Univ., hdl:1811/24409CS1 maint: ref = harv (odkaz)
RNAV (2007). Order 8260.54A, The United States Standard for Area Navigation (PDF) (Technická zpráva). Washington, D.C.: U.S. Federal Aviation Administration. Dodatek 2.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Sjöberg, L. E. (2006). "Determination of areas on the plane, sphere and ellipsoid". Přezkum průzkumu. 38 (301): 583–593. doi:10.1179/003962606780732100.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
UNCLOS (2006). A Manual on Technical Aspects of the United Nations Convention on the Law of the Sea, 1982 (PDF) (Technical report) (4th ed.). Monako: Mezinárodní hydrografický úřad.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Vincenty, T. (1975). "Direct and inverse solutions of geodesics on the ellipsoid with application of nested equations" (PDF). Přezkum průzkumu. 23 (176): 88–93. doi:10.1179/sre.1975.23.176.88. Addendum: Survey Review 23 (180): 294 (1976).CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Vincenty, T.; Bowring, B. R. (1978). Application of three-dimensional geodesy to adjustments of horizontal networks (PDF) (Technická zpráva). NOAA. NOS NGS-13.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Weierstrass, K. T. W. (1861). "Über die geodätischen Linien auf dem dreiaxigen Ellipsoid" [Geodesic lines on a triaxial ellipsoid]. Monatsberichte der Königlichen Akademie der Wissenschaft zu Berlin (in German): 986–997. PDF.CS1 maint: ref = harv (odkaz)

externí odkazy

Online geodesic bibliography of books and articles on geodesics on ellipsoids.
Test set for geodesics, a set of 500000 geodesics for the WGS84 ellipsoid, computed using high-precision arithmetic.
NGS tool provádění Vincenty (1975).
geod(1), man page for the PROJ utility for geodesic calculations.
GeographicLib implementation z Karney (2013).
Drawing geodesics on Google Maps.

[1] Tady $α 2$ je vpřed azimuth at $B$ .Some authors calculate the zadní azimuth instead; this is given by $α 2 \pm π$ .

[2] Laplace (1799a) showed that a particle constrained to move ona surface but otherwise subject to no forces moves along a geodesic forthat surface. Thus, Clairaut's relation is just a consequence ofconservation of angular momentum for a particle on a surface ofrevolution.

[3] Bagratuni (1962, §17) uses the term "coefficient ofconvergence of ordinates" for the geodesic scale.

[4] This section is adapted from the documentation for GeographicLib(Karney 2015, Geodesics on a triaxial ellipsoid )

[5] This notation for the semi-axes is incompatible with that used in theprevious section on ellipsoids of revolution in which $A$ a $b$ stood for the equatorial radius and polar semi-axis.Thus the corresponding inequalities are $A = A \geq b > 0$ foran oblate ellipsoid and $b \geq A = A > 0$ for a prolateellipsoid.

[6] Omezení $b \to C$ gives a prolate ellipsoid with $ω$ playing the role of the parametric latitude.

[7] Li $ C ⁄ A < 1 ⁄ 2$ , there are other simple closed geodesicssimilar to those shown in Figs. 11 and 12(Klingenberg 1982, §3.5.19).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]