Hesse normální forma - Hesse normal form

Výkres normálu (červeně) a vzdálenosti od počátku k linii (zeleně) vypočtené pomocí Hesseho normálu

The Hesse normální forma pojmenoval podle Otto Hesse, je rovnice používaná v analytická geometrie, a popisuje a čára v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ nebo a letadlo v Euklidovský prostor ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ nebo nadrovina ve vyšších dimenzích.^[1][2] Primárně se používá pro výpočet vzdáleností (viz vzdálenost bod-rovina a vzdálenost bod-čára ).

Je psán vektorovým zápisem jako

${ displaystyle { vec {r}} cdot { vec {n}} _ {0} -d = 0. ,}$

Tečka ${ displaystyle cdot}$ označuje skalární součin nebo Tečkovaný produkt. Vektor ${ displaystyle { vec {n}} _ {0}}$ představuje jednotka normální vektor z E nebo G, který ukazuje od počátku souřadnicového systému k rovině (nebo linii, ve 2D). Vzdálenost ${ displaystyle d geq 0}$ je vzdálenost od počátku k rovině (nebo přímce).

Tuto rovnici splňují všechny body P, ležící přesně v rovině E (nebo ve 2D, na řádku G), popsaný vektorem umístění ${ displaystyle { vec {r}}}$ který ukazuje od počátku souřadnicového systému do P.

Odvození / výpočet z normální formy

Poznámka: Následující derivace pro zjednodušení pojednává o 3D případu. Je však použitelný také ve 2D.

V normální formě

${ displaystyle ({ vec {r}} - { vec {a}}) cdot { vec {n}} = 0 ,}$

rovina je dána normálním vektorem ${ displaystyle { vec {n}}}$ stejně jako libovolný poziční vektor ${ displaystyle { vec {a}}}$ bodu ${ displaystyle A v E}$. Směr ${ displaystyle { vec {n}}}$ je vybrán k uspokojení následující nerovnosti

${ displaystyle { vec {a}} cdot { vec {n}} geq 0 ,}$

Dělením normálního vektoru ${ displaystyle { vec {n}}}$ podle jeho velikost ${ displaystyle | { vec {n}} |}$, získáme jednotkový (nebo normalizovaný) normální vektor

${ displaystyle { vec {n}} _ {0} = {{ vec {n}} přes {| { vec {n}} |}} ,}$

a výše uvedená rovnice může být přepsána jako

${ displaystyle ({ vec {r}} - { vec {a}}) cdot { vec {n}} _ {0} = 0. ,}$

Střídání

${ displaystyle d = { vec {a}} cdot { vec {n}} _ {0} geq 0 ,}$

získáme Hesseovu normální formu

${ displaystyle { vec {r}} cdot { vec {n}} _ {0} -d = 0. ,}$

V tomto diagramu d je vzdálenost od počátku. Protože ${ displaystyle { vec {r}} cdot { vec {n}} _ {0} = d}$ platí pro každý bod v rovině, platí to také pro bod Q (bod, kde se vektor z počátku setkává s rovinou E), s ${ displaystyle { vec {r}} = { vec {r}} _ {s}}$, podle definice Skalární součin

${ displaystyle d = { vec {r}} _ {s} cdot { vec {n}} _ {0} = | { vec {r}} _ {s} | cdot | { vec { n}} _ {0} | cdot cos (0 ^ { circ}) = | { vec {r}} _ {s} | cdot 1 = | { vec {r}} _ {s} |. ,}$

Velikost ${ displaystyle | { vec {r}} _ {s} |}$ z ${ displaystyle {{ vec {r}} _ {s}}}$ je nejkratší vzdálenost od počátku k rovině.

Reference

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. "Hessian normální forma". MathWorld.