Složená Bézierova křivka - Composite Bézier curve

Beziergon - Červený beziergon prochází modrými vrcholy, zelené body jsou kontrolní body, které určují tvar spojovacích Bézierových křivek

v geometrické modelování a v počítačová grafika, a složená Bézierova křivka je po částech Bézierova křivka to je minimálně kontinuální. Jinými slovy, složená Bézierova křivka je řada Bézierových křivek spojených koncem až koncem, kde se poslední bod jedné křivky shoduje s počátečním bodem další křivky. V závislosti na aplikaci mohou být přidány další požadavky na hladkost (například spojitost C1 nebo C2).^[1]

Kontinuální složený Bézier se také nazývá a polybezier, podobností s křivka, ale zatímco v křivkách jsou body spojeny přímkami, v polybezieru jsou body spojeny Bézierovými křivkami. A beziergon (také zvaný bezigon) je uzavřená cesta složená z Bézierovy křivky. Je to podobné jako a polygon v tom, že spojuje sadu vrcholy čarami, ale zatímco v polygonech jsou vrcholy spojeny přímkami, v beziergonu jsou vrcholy spojeny Bézierovými křivkami.^[2][3][4] Někteří autoři dokonce nazývají kompozitní Bézierovu křivku C0 „Bézierovou spline“;^[5] druhý termín je však používán jinými autory jako synonymum pro (nekompozitní) Bézierovu křivku a pro označení složeného případu přidávají před „Bézierova spline“ „kompozit“.^[6]

Snad nejběžnějším použitím kompozitních Béziers je popsat obrys každého písmene v a PostScript nebo PDF soubor. Takové obrysy se skládají z jednoho beziergonu pro otevřená písmena nebo několik beziergonů pro uzavřená písmena. Moderní vektorová grafika a počítačové písmo systémy jako PostScript, Asymptota, Metafont, OpenType, a SVG pro kreslení zakřivených tvarů použijte složené Bézierovy křivky složené z kubických Bézierových křivek (křivky 3. řádu).

Sinc funkce aproximovaná pomocí hladkého Bézierova spline, tj. série hladce spojených Bézierových křivek

Hladké spojování

Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Srpna 2014)

Složené Bézierovy křivky lze vyhladit na libovolný požadovaný stupeň hladkost pomocí konstrukce Stärk.^[7]

Kontinuální kompozitní kubické Bézierovy křivky C2 jsou ve skutečnosti kubické B-splajny,^[8] a naopak.^[9]

Jednotlivé křivky jsou podle definice C1 a C2 spojité. Geometrická podmínka pro kontinuitu C1 při přechodu přes koncový bod spojující dvě křivky je, že přidružené kontrolní body jsou vzájemně proti sobě a kolineární s koncovým bodem. Geometrická podmínka pro spojitost C2 je spojitost C1, s dalším omezením, že kontrolní body jsou ve stejné vzdálenosti od koncového bodu.

Přibližné kruhové oblouky

V případě, že primitivní kruhový oblouk nejsou v konkrétním prostředí podporovány, lze je přiblížit pomocí Bézierovy křivky.^[10] Obvykle osm kvadratických segmentů^[11] nebo čtyři kubické segmenty se používají k přiblížení kružnice. Je žádoucí zjistit délku ${ displaystyle mathbf {k}}$ kontrolních bodů, jejichž výsledkem je nejmenší chyba aproximace pro daný počet kubických segmentů.

Pomocí čtyř křivek

Vezmeme-li v úvahu pouze 90 stupňů jednotkový kruhový oblouk v první kvadrant, definujeme koncové body ${ displaystyle mathbf {A}}$ a ${ displaystyle mathbf {B}}$ s kontrolními body ${ displaystyle mathbf {A '}}$ a ${ displaystyle mathbf {B '}}$, respektive jako:

${ displaystyle { begin {aligned} mathbf {A} & = [0,1] mathbf {A '} & = [ mathbf {k}, 1] mathbf {B'} & = [1, mathbf {k}] mathbf {B} & = [1,0] konec {zarovnáno}}}$

Z definice kubické Bézierovy křivky máme:

${ displaystyle mathbf {C} (t) = (1-t) ^ {3} mathbf {A} +3 (1-t) ^ {2} t mathbf {A '} +3 (1-t ) t ^ {2} mathbf {B '} + t ^ {3} mathbf {B}}$

S pointou ${ displaystyle mathbf {C} (t = 0,5)}$ jako střed oblouku můžeme napsat následující dvě rovnice:

${ displaystyle { begin {aligned} mathbf {C} & = { frac {1} {8}} mathbf {A} + { frac {3} {8}} mathbf {A '} + { frac {3} {8}} mathbf {B '} + { frac {1} {8}} mathbf {B} mathbf {C} & = { sqrt {1/2}} = { sqrt {2}} / 2 end {zarovnáno}}}$

Řešení těchto rovnic pro souřadnici x (a shodně pro souřadnici y) poskytne:

${ displaystyle { frac {0} {8}} mathbf {+} { frac {3} {8}} mathbf {k} + { frac {3} {8}} + { frac {1 } {8}} = { sqrt {2}} / 2}$

${ displaystyle mathbf {k} = { frac {4} {3}} ({ sqrt {2}} - 1) přibližně 0,5522847498}$

Obecný případ

Můžeme vytvořit kruh o poloměru ${ displaystyle R}$ z libovolného počtu kubických Bézierových křivek.^[12]Nechte oblouk začínat v bodě ${ displaystyle mathbf {A}}$ a končí v bodě ${ displaystyle mathbf {B}}$, umístěné ve stejných vzdálenostech nad a pod osou x, klenoucích se pod obloukem úhlu ${ displaystyle theta = 2 phi}$:

${ displaystyle { begin {aligned} mathbf {A} _ {x} & = R cos ( phi) mathbf {A} _ {y} & = R sin ( phi) mathbf {B} _ {x} & = mathbf {A} _ {x} mathbf {B} _ {y} & = - mathbf {A} _ {y} end {zarovnáno}}}$

Kontrolní body lze zapsat jako:^[13]

${ displaystyle { begin {aligned} mathbf {A '} _ {x} & = { frac {4R- mathbf {A} _ {x}} {3}} mathbf {A'} _ {y} & = { frac {(R- mathbf {A} _ {x}) (3R- mathbf {A} _ {x})} {3 mathbf {A} _ {y}}} mathbf {B '} _ {x} & = mathbf {A'} _ {x} mathbf {B '} _ {y} & = - mathbf {A'} _ {y} end {zarovnaný}}}$

Příklady

• 

  Osmisegmentový kvadratický polyBézier (červený) přibližující kruh (černý) s kontrolními body

• 

  Čtyřsegmentový kubický polyBézier (červený) přibližující kruh (černý) s kontrolními body

Písma

TrueType písma používají složené Béziery složené z kvadratický Bézierovy křivky (křivky 2. řádu). Popsat typické typové provedení jako počítačové písmo podle jakékoli přesnosti vyžadují Beziéři 3. řádu méně dat než Beziéři 2. řádu; a ty zase vyžadují méně dat než řada přímek. To platí, i když jakýkoli přímý segment vyžaduje méně dat než kterýkoli segment paraboly; a ten parabolický segment zase vyžaduje méně dat než kterýkoli segment křivky 3. řádu.

Viz také

• B-spline

Reference