Hypotrochoid - Hypotrochoid

Červená křivka je hypotrochoid nakreslený, když se menší černý kruh otáčí kolem uvnitř většího modrého kruhu (parametry jsou R = 5, r = 3, d = 5).

A hypotrochoid je ruleta sledovat bodem připojeným k a kruh z poloměr r válcování kolem uvnitř pevného kruhu o poloměru R, kde jde o a vzdálenost d od středu vnitřního kruhu.

The parametrické rovnice pro hypotrochoid jsou:^[1]

{ displaystyle x ( theta) = (R-r) cos theta + d cos doleva ({R-r nad r} theta doprava)}

{ displaystyle y ( theta) = (R-r) sin theta -d sin left ({R-r over r} theta right)}

kde ${ displaystyle theta}$ je úhel tvořený horizontálou a středem kružnice (nejedná se o polární rovnice, protože ${ displaystyle theta}$ není polární úhel). Při měření v radiánu ${ displaystyle theta}$ bere hodnoty z ${ displaystyle 0}$ na ${ displaystyle 2 pi times { frac { operatorname {LCM} (r, R)} {R}}}$ kde LCM je nejmenší společný násobek.

Zvláštní případy zahrnují hypocykloid s d = r je přímka nebo plochá elipsa a elipsa s R = 2r a d > r nebo d < r (d se nerovná r).^[2] (vidět Tusi pár ).

The elipsa (nakreslen červeně) lze vyjádřit jako speciální případ hypotrochoidu s R = 2r (Tusi pár ); tady R = 10, r = 5, d = 1.

Klasika Spirograf hračka sleduje hypotrochoid a epitrochoid křivky.

Hypotrochoidy popisují podporu vlastních čísel některých náhodných matic s cyklickými korelacemi^[3]

Viz také

Reference

^ J. Dennis Lawrence (1972). Katalog speciálních rovinných křivek. Dover Publications. str.165–168. ISBN 0-486-60288-5.
^ Gray, Alfred. Moderní diferenciální geometrie křivek a povrchů s Mathematica (Druhé vydání.). CRC Press. str. 906. ISBN 9780849371646.
^ Aceituno, Pau Vilimelis; Rogers, Tim; Schomerus, Henning (2019-07-16). „Univerzální hypotrochoidní zákon pro náhodné matice s cyklickými korelacemi“. Fyzický přehled E. 100 (1): 010302. doi:10.1103 / PhysRevE.100.010302.

externí odkazy

Weisstein, Eric W. „Hypotrochoid“. MathWorld.
Flash animace hypocykloidu
Hypotrochoid z Visual Dictionary of Special Plane Curves, Xah Lee
Interaktivní hypotrochoidní animace
O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., „Hypotrochoid“, MacTutor Historie archivu matematiky, University of St Andrews.

[1] J. Dennis Lawrence (1972). Katalog speciálních rovinných křivek. Dover Publications. str.165–168. ISBN 0-486-60288-5.

[2] Gray, Alfred. Moderní diferenciální geometrie křivek a povrchů s Mathematica (Druhé vydání.). CRC Press. str. 906. ISBN 9780849371646.

[3] Aceituno, Pau Vilimelis; Rogers, Tim; Schomerus, Henning (2019-07-16). „Univerzální hypotrochoidní zákon pro náhodné matice s cyklickými korelacemi“. Fyzický přehled E. 100 (1): 010302. doi:10.1103 / PhysRevE.100.010302.

[1]

[2]

[3]