Cirkumkumické a nekonzistentní - Circumconic and inconic - Wikipedia

v trojúhelník geometrie, a cirkadiální je kuželovitý řez který prochází třemi vrcholy trojúhelníku,^[1] a nepříjemné je kuželovitý řez napsaný případně po stranách prodloužena, trojúhelníku.^[2]

Předpokládat A, B, C jsou zřetelné nekolineární body, a let ΔABC značí trojúhelník, jehož vrcholy jsou A, B, C. Podle běžné praxe A označuje nejen vrchol, ale také úhel BAC na vrcholu Aa podobně pro B a C jako úhly dovnitř ΔABC. Nechat A = |před naším letopočtem|, b = |CA|, C = |AB|, postranní délky ΔABC.

v trilineární souřadnice, obecně cirkkonický je lokus variabilního bodu X = X : y : z splnění rovnice

uyz + vzx + wxy = 0,

na nějaký bod u: v: w. The izogonální konjugát každého bodu X na cirkkumonické, jiné než A, B, C, je bod na přímce

ux + vy + wz = 0.

Tato čára splňuje obvod ΔABC v 0,1 nebo 2 bodech podle cirkkonikonu je elipsa, parabola nebo hyperbola.

The obecně nekonzistentní je tečna ke třem okrajům ΔABC a je dána rovnicí

u²X² + proti²y² + w²z² − 2vwyz − 2wuzx − 2uvxy = 0.

Středy a tečny

Circumconic

Středem obecného cirkkoniku je bod

u(−au + bv + cw) : proti(au − bv + cw) : w(au + bv − cw).

Čáry tečné k obecné cirkkonické na vrcholech A, B, C jsou

wv + vz = 0,

uz + š x = 0,

vx + uy = 0.

Inconic

Jádrem obecného konicitu je bod

cv + bw : aw + cu : bu + av.

Čáry tečny k obecnému conicu jsou okraje ΔABC, dané rovnicemi X = 0, y = 0, z = 0.

Další funkce

Circumconic

• Každý nekruhový cirkkonický se setkává s obvodem ΔABC v jiném bodě než A, B a C, často nazývaném čtvrtý průsečík, dána trilineární souřadnice

(cx − az)(ano − bx) : (ano − bx)(B z − cy) : (B z − cy)(cx − az)

• Li P = p: q: r je bod na obecné cirkkonické, pak přímka tečná ke kuželosečce v P darováno

(vr + wq)X + (wp + ur)y + (uq + vp)z = 0.

• Obecná cirkkonická redukuje na a parabola kdyby a jen kdyby

u²A² + proti²b² + w²C² − 2vwbc − 2wuca − 2uvab = 0,

a do a obdélníková hyperbola kdyby a jen kdyby

u cos A + v cos B + w cos C = 0.

• Ze všech trojúhelníků zapsaných do dané elipsy je těžiště jedné z největších ploch se shoduje se středem elipsy.^{[3]:s. 147} Daná elipsa, procházející třemi vrcholy tohoto trojúhelníku a vycentrovaná na těžiště trojúhelníku, se nazývá trojúhelník Steinerovy kroužky.

Inconic

• Obecná konicita se redukuje na a parabola kdyby a jen kdyby

ubc + vca + wab = 0,

v takovém případě je tečna externě k jedné ze stran trojúhelníku a je tečna k prodloužení dalších dvou stran.

• Předpokládejme to p₁ : q₁ : r₁ a p₂ : q₂ : r₂ jsou odlišné body, a nechť

X = (p₁ + p₂t) : (q₁ + q₂t) : (r₁ + r₂t).

Jako parametr t se pohybuje přes reálná čísla, místo X je čára. Definovat

X² = (p₁ + p₂t)² : (q₁ + q₂t)² : (r₁ + r₂t)².

Místo X² je složité, nutně elipsa, dané rovnicí

L⁴X² + M⁴y² + N⁴z² − 2M²N²yz − 2N²L²zx − 2L²M²xy = 0,

kde

L = q₁r₂ − r₁q₂,

M = r₁p₂ − p₁r₂,

N = p₁q₂ − q₁p₂.

• Bod uvnitř trojúhelníku je středem inellipse trojúhelníku právě tehdy, když bod leží uvnitř trojúhelníku, jehož vrcholy leží ve středech stran původního trojúhelníku.^{[3]:s. 139} Pro daný bod uvnitř toho mediální trojúhelník, inellipse se středem v tomto bodě je jedinečná.^[3]:str.142
• Inellipse s největší plochou je Steiner inellipse, nazývaná také středová inellipse, se středem u trojúhelníku těžiště.^[3]:str.145 Obecně platí, že poměr plochy inellipse k oblasti trojúhelníku, pokud jde o jednotkový součet barycentrické souřadnice ${ displaystyle ( alfa, beta, gama)}$ středu inellipse, je^{[3]:s. 143}

${ displaystyle { frac { text {Oblast inellipse}} { text {Oblast trojúhelníku}}} = pi { sqrt {(1-2 alpha) (1-2 beta) (1-2 gamma)}},}$

který je maximalizován barycentrickými souřadnicemi těžiště ${ displaystyle alpha = beta = gamma = 1/3.}$

• Čáry spojující tečné body jakékoli inellipse trojúhelníku s opačnými vrcholy trojúhelníku jsou souběžné.^[3]:str.148

Rozšíření na čtyřúhelníky

Všechna centra inellipses dané čtyřúhelník spadají na úsečku spojující středy bodu úhlopříčky čtyřúhelníku.^{[3]:str. 136}

Příklady

• Cirkumkumy
  • Circumcircle, unikátní kruh který prochází třemi vrcholy trojúhelníku
  • Steinerovy kroužky, jedinečná elipsa, která prochází třemi vrcholy trojúhelníku a je vycentrována na trojúhelník těžiště
  • Kiepertova hyperbola, jedinečný kuželovitý tvar, který prochází třemi vrcholy trojúhelníku, jeho těžištěm a jeho ortocentrum
  • Jeřábek hyperbola, a obdélníková hyperbola soustředěný na trojúhelník devítibodový kruh a prochází třemi vrcholy trojúhelníku i jeho circumcenter, orthocenter a různá další významná centra
  • Feuerbachova hyperbola, obdélníková hyperbola, která prochází ortocentrem trojúhelníku, Nagel point a různé další významné body a má střed v devítibodové kružnici.
• Inconics
  • Incircle, jedinečný kruh, který je vnitřně tečný ke třem stranám trojúhelníku
  • Steiner inellipse, jedinečná elipsa, která je tečná ke třem stranám trojúhelníku v jejich středech
  • Mandart inellipse, jedinečná tečna elipsy ke stranám trojúhelníku v jeho kontaktních bodech excircles
  • Kiepertova parabola
  • Yff parabola

Reference

externí odkazy

• Circumconic na MathWorld
• Inconic na MathWorld