Diskrétní počet - Discrete calculus

Diskrétní počet nebo počet diskrétních funkcí, je matematický studie přírůstkové stejným způsobem geometrie je studium tvaru a algebra je studie zobecnění aritmetické operace. Slovo počet je latinský slovo, což znamená původně „malý oblázek“; protože takové oblázky byly použity pro výpočet, význam slova se vyvinul a dnes obvykle znamená metodu výpočtu. Mezitím, počet, původně volal nekonečně malý počet nebo "kalkul z nekonečně malá čísla ", je studie o kontinuální změna.

Diskrétní počet má dva vstupní body, diferenciální počet a integrální počet. Diferenciální počet se týká přírůstkových rychlostí změn a sklonů po částech lineárních křivek. Integrální počet se týká akumulace veličin a ploch pod konstantní křivkami po částech. Tyto dva úhly pohledu spolu souvisejí pomocí základní věty o diskrétním počtu.

Studium konceptů změny začíná jejich diskrétní formou. Vývoj závisí na parametru, přírůstku ${ displaystyle Delta x}$ nezávislé proměnné. Pokud se tak rozhodneme, můžeme přírůstek zmenšit a zmenšit a najít spojité protějšky těchto konceptů jako limity. Neformálně je limit diskrétního počtu jako ${ displaystyle Delta x až 0}$ je nekonečně malý počet. I když slouží jako diskrétní základ počtu, hlavní hodnota diskrétního počtu je v aplikacích.

Dvě počáteční konstrukce

Diskrétní diferenciální počet je studium definice, vlastností a aplikací rozdílový kvocient funkce. Proces hledání rozdílového kvocientu se nazývá diferenciace. Vzhledem k funkci definované v několika bodech reálné linie je rozdílový kvocient v tomto bodě způsob kódování chování funkce v malém měřítku (tj. Od bodu k dalšímu). Vyhledáním rozdílového kvocientu funkce v každé dvojici po sobě jdoucích bodů v její doméně je možné vytvořit novou funkci nazvanou funkce rozdílového kvocientu nebo jen rozdílový kvocient původní funkce. Formálně je rozdílový kvocient a lineární operátor který bere funkci jako svůj vstup a produkuje druhou funkci jako svůj výstup. To je abstraktnější než mnoho procesů studovaných v elementární algebře, kde funkce obvykle zadávají číslo a vydávají jiné číslo. Například pokud je zdvojnásobení funkce dána vstupem tři, pak je na výstupu šest, a pokud je funkci kvadratury dán vstup tři, pak je na výstupu devět. Derivát však může brát funkci kvadratury jako vstup. To znamená, že derivace bere všechny informace o funkci kvadratury - například, že dva jsou posílány na čtyři, tři jsou posílány na devět, čtyři jsou posílány na šestnáct atd. - a používá tyto informace k vytvoření další funkce. Funkce produkovaná diferenciací funkce kvadratury se ukazuje jako něco blízkého funkci zdvojení.

Předpokládejme, že funkce jsou definovány v bodech oddělených přírůstkem ${ displaystyle Delta x = h> 0}$ :

{ displaystyle a, a + h, a + 2h, ldots, a + nh, ldots}

„Zdvojení funkce“ může být označeno ${ displaystyle g (x) = 2x}$ a „funkce kvadratury“ pomocí ${ displaystyle f (x) = x ^ {2}}$ . „Diferenční kvocient“ je rychlost změny funkce v jednom z intervalů ${ displaystyle [x, x + h]}$ definovaný vzorcem:

{ displaystyle { frac {f (x + h) -f (x)} {h}}.}

Trvá to funkci ${ displaystyle f}$ jako vstup, to jsou všechny informace - například, že dva jsou poslány na čtyři, tři jsou poslány na devět, čtyři jsou poslány na šestnáct atd. - a používá tyto informace k výstupu další funkce, funkce ${ displaystyle g (x) = 2x + h}$ , jak se ukáže. Z důvodu pohodlí může být nová funkce definována ve středních bodech výše uvedených intervalů:

{ displaystyle a + h / 2, a + h + h / 2, a + 2h + h / 2, ..., a + nh + h / 2, ...}

Protože rychlost změny je ta pro celý interval ${ displaystyle [x, x + h]}$ , jakýkoli bod v něm lze použít jako takový odkaz nebo, ještě lépe, celý interval, díky kterému je rozdílový kvocient a ${ displaystyle 1}$ -cochain.

Nejběžnější notace pro rozdílový kvocient je:

{ displaystyle { frac { Delta f} { Delta x}} (x + h / 2) = { frac {f (x + h) -f (x)} {h}}.}

Pokud vstup funkce představuje čas, pak rozdílový kvocient představuje změnu vzhledem k času. Například pokud ${ displaystyle f}$ je funkce, která bere čas jako vstup a udává pozici koule v té době jako výstup, potom rozdílový kvocient ${ displaystyle f}$ je to, jak se pozice mění v čase, to znamená, že je rychlost míče.

Pokud je funkce lineární (to znamená, že pokud body graf funkce leží na přímce), pak lze funkci zapsat jako ${ displaystyle y = mx + b}$ , kde ${ displaystyle x}$ je nezávislá proměnná, ${ displaystyle y}$ je závislá proměnná, ${ displaystyle b}$ je ${ displaystyle y}$ -intercept a:

{ displaystyle m = { frac { text {rise}} { text {run}}} = { frac {{ text {změna}} y} {{ text {změna}} x}} = { frac { Delta y} { Delta x}}.}

To dává přesnou hodnotu pro sklon přímky.

Sklon:

{ displaystyle m = left ({ frac { Delta y} { Delta x}} right) = tan ( theta)}

Pokud funkce není lineární, pak změna v ${ displaystyle y}$ děleno změnou v ${ displaystyle x}$ liší se. Diferenční kvocient dává přesný význam pojmu změna výstupu s ohledem na změnu vstupu. Abych byl konkrétní, pojďme ${ displaystyle f}$ být funkcí a opravit bod ${ displaystyle x}$ v doméně ${ displaystyle f}$ . ${ displaystyle (x, f (x))}$ je bod v grafu funkce. Li ${ displaystyle h}$ je přírůstek ${ displaystyle x}$ , pak ${ displaystyle x + h}$ je další hodnota ${ displaystyle x}$ . Proto, ${ displaystyle (x + h, f (x + h))}$ je přírůstek ${ displaystyle (x, f (x))}$ . Sklon přímky mezi těmito dvěma body je

{ displaystyle m = { frac {f (x + h) -f (x)} {(x + h) -a}} = { frac {f (x + h) -f (x)} {h }}.}

Tak ${ displaystyle m}$ je sklon čáry mezi ${ displaystyle (x, f (x))}$ a ${ displaystyle (x + h, f (x + h))}$ .

Zde je konkrétní příklad, rozdílový kvocient funkce kvadratury. Nechat ${ displaystyle f (x) = x ^ {2}}$ být funkcí kvadratury. Pak:

{ displaystyle { begin {aligned} { frac { Delta f} { Delta x}} (x) & = {(x + h) ^ {2} -x ^ {2} přes {h}} & = {x ^ {2} + 2hx + h ^ {2} -x ^ {2} nad {h}} & = {2hx + h ^ {2} nad {h}} & = 2x + h. End {zarovnáno}}}

Diferenční kvocient rozdílového kvocientu se nazývá druhý rozdílový kvocient a je definována na

{ displaystyle a + h, a + 2h, a + 3h, ldots, a + nh, ldots}

A tak dále.

Diskrétní integrální počet je studium definic, vlastností a aplikací Riemann součty. Proces hledání hodnoty součtu se nazývá integrace. V technickém jazyce integrální počet studuje jisté lineární operátor.

The Riemannova suma zadá funkci a odešle funkci, která dává algebraický součet ploch mezi částí grafu vstupu a osa x.

Motivujícím příkladem jsou ujeté vzdálenosti v daném čase.

{ displaystyle { text {distance}} = { text {speed}} cdot { text {time}}}

Pokud je rychlost konstantní, je zapotřebí pouze násobení, ale pokud se rychlost změní, vyhodnotíme ujetou vzdálenost rozdělením času na mnoho krátkých časových intervalů a vynásobením času uplynulého v každém intervalu jednou z rychlostí v tomto intervalu , a poté vezmeme částku (a Riemannova suma ) ujeté vzdálenosti v každém intervalu.

Konstantní rychlost

Riemannova suma měří celkovou plochu tyčí definovanou

{ displaystyle f}

, mezi dvěma body (zde

{ displaystyle a}

a

{ displaystyle b}

).

Když je rychlost konstantní, lze celkovou vzdálenost uraženou v daném časovém intervalu vypočítat vynásobením rychlosti a času. Například cestování ustálenou rychlostí 50 mph po dobu 3 hodin vede k celkové vzdálenosti 150 mil. V grafu vlevo, když jsou grafy konstantní rychlosti a času, tyto dvě hodnoty tvoří obdélník s výškou rovnou rychlosti a šířkou rovnou uplynulému času. Proto produkt rychlosti a času také vypočítá obdélníkovou plochu pod (konstantní) křivkou rychlosti. Toto spojení mezi oblastí pod křivkou a ujetou vzdáleností lze rozšířit na žádný nepravidelně tvarovaná oblast vykazující v daném časovém období přírůstkově se měnící rychlost. Pokud pruhy v diagramu vpravo představují rychlost, která se mění od intervalu k dalšímu, ujetá vzdálenost (mezi časy představovanými ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle b}$ ) je oblast stínované oblasti ${ displaystyle s}$ .

Takže interval mezi ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle b}$ je rozdělen na několik stejných segmentů, přičemž délka každého segmentu představuje symbol ${ displaystyle Delta x}$ . Pro každý malý segment máme jednu hodnotu funkce ${ displaystyle f (x)}$ . Zavolejte tu hodnotu ${ displaystyle v}$ . Poté oblast obdélníku se základnou ${ displaystyle Delta x}$ a výška ${ displaystyle v}$ udává vzdálenost (čas ${ displaystyle Delta x}$ vynásobený rychlostí ${ displaystyle v}$ ) cestoval v tomto segmentu. S každým segmentem je spojena hodnota funkce nad ním, ${ displaystyle f (x) = v}$ . Součet všech těchto obdélníků udává plochu mezi osou a po částech konstantní křivkou, což je celková ujetá vzdálenost.

Předpokládejme, že funkce je definována ve středech intervalů stejné délky ${ displaystyle Delta x = h> 0}$ :

{ displaystyle a + h / 2, a + h + h / 2, a + 2h + h / 2, ldots, a + nh-h / 2, ldots}

Pak Riemannova suma z ${ displaystyle a}$ na ${ displaystyle b = a + nh}$ v sigma notace je:

{ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} f (a + ih) , Delta x.}

Protože se tento výpočet provádí pro každého ${ displaystyle n}$ , nová funkce je definována v bodech:

{ displaystyle a, a + h, a + 2h, ldots, a + nh, ldots}

The základní věta o počtu uvádí, že diferenciace a integrace jsou inverzní operace. Přesněji řečeno, týká se rozdílových kvocientů s Riemannovými součty. Lze jej také interpretovat jako přesné vyjádření skutečnosti, že diferenciace je inverzní k integraci.

Základní věta o počtu: Je-li funkce ${ displaystyle f}$ je definován na oddílu intervalu ${ displaystyle [a, b]}$ , ${ displaystyle b = a + nh}$ , a pokud ${ displaystyle F}$ je funkce, jejíž rozdílový kvocient je ${ displaystyle f}$ , pak máme:

{ displaystyle sum _ {i = 0} ^ {n-1} f (a + ih + h / 2) , Delta x = F (b) -F (a).}

Navíc pro každého ${ textstyle m = 0,1,2, ldots, n-1}$ , my máme:

{ displaystyle { frac { Delta} { Delta x}} součet _ {i = 0} ^ {m} f (a + ih + h / 2) , Delta x = f (a + mh + h / 2).}

Toto je také prototypové řešení a rozdílová rovnice. Diferenční rovnice vztahují neznámou funkci k jejímu rozdílu nebo rozdílovému kvocientu a jsou ve vědách všudypřítomné.

Dějiny

Časná historie diskrétního počtu je historie počtu. Takové základní myšlenky jako rozdílové kvocienty a Riemann součty objevují se implicitně nebo explicitně v definicích a důkazech. Po vyčerpání limitu se však už nikdy nespatří. Nicméně Kirchhoffův zákon napětí (1847) lze vyjádřit pomocí jednorozměrné diskrétní vnější derivace.

V průběhu 20. století zůstává diskrétní počet propojen s nekonečně malým počtem, zejména diferenciálními formami, ale také začíná čerpat z algebraická topologie jak se oba vyvíjejí. Hlavní příspěvky pocházejí od těchto osob:^[1]

Henri Poincaré: triangulace (barycentrické dělení, duální triangulace ), Poincare lemma, první důkaz generála Stokesova věta a mnoho dalšího
L. E. J. Brouwer: věta o jednoduché aproximaci
Élie Cartan, Georges de Rham: pojem diferenciální formy, vnější derivace jako nezávislý na souřadnicích lineární operátor, přesnost / uzavřenost forem
Emmy Noetherová, Heinz Hopf, Leopold Vietoris, Walther Mayer: moduly z řetězy, hraniční operátor, řetězové komplexy
J. W. Alexander, Solomon Lefschetz, Lev Pontryagin, Andrey Kolmogorov, Norman Steenrod, Eduard Čech: raný cochain pojmy
Hermann Weyl: zákony Kirchho ﬀ uvedené z hlediska hraničních a hraničních operátorů
W. V. D. Hodge: Operátor hvězd Hodge, Hodgeův rozklad
Samuel Eilenberg, Saunders Mac Lane, Norman Steenrod, J.H.C. Whitehead: důsledný vývoj homologie a kohomologie včetně řetězových a řetězových komplexů pohárový produkt
Hassler Whitney: řetězy jako celá čísla

Nedávný vývoj diskrétního počtu, počínaje Whitney, byl poháněn potřebami aplikované modelování. ^[2] ^[3]^[4]

Aplikace

Diskrétní počet se používá pro modelování buď přímo, nebo nepřímo jako diskretizace nekonečně malého počtu počet v každém oboru fyzikálních věd, pojistněmatematická věda, počítačová věda, statistika, inženýrství, ekonomika, podnikání, lék, demografie a v dalších oblastech, kdekoli může být problém matematicky modelováno. Umožňuje člověku přejít z (nekonstantní) rychlosti změny na celkovou změnu nebo naopak, a mnohokrát při studiu problému známe jedno a snažíme se najít druhé.

Fyzika zvláště využívá kalkul; všechny diskrétní koncepty v klasická mechanika a elektromagnetismus jsou spojeny prostřednictvím diskrétního počtu. The Hmotnost objektu známého hustota který se postupně mění, moment setrvačnosti těchto objektů, stejně jako celkovou energii objektu v diskrétním konzervativním poli lze zjistit pomocí diskrétního počtu. Příkladem použití diskrétního počtu v mechanice je Newtonův druhý zákon pohybu: historicky uvedl, že výslovně používá výraz „změna pohybu“, což implikuje rčení rozdílového kvocientu Změna hybnosti tělesa se rovná výsledné síle působící na těleso a je ve stejném směru. Běžně se dnes vyjadřuje jako síla = hmotnost × zrychlení, vyvolá diskrétní počet, když je změna inkrementální, protože zrychlení je rozdílový kvocient rychlosti vzhledem k času nebo druhý rozdílový kvocient prostorové polohy. Počínaje vědomím, jak se objekt zrychluje, používáme Riemannovy součty k odvození jeho dráhy.

Maxwellova teorie elektromagnetismus a Einstein teorie o obecná relativita byly vyjádřeny v jazyce diskrétního počtu.

Chemie používá k určení počtu reakčních rychlostí a radioaktivního rozpadu kalkul (exponenciální úpadek ).

V biologii začíná populační dynamika reprodukcí a úmrtností, aby se modelovaly změny populace (populační modelování ).

Ve strojírenství rozdílové rovnice se používají k vykreslení kurzu kosmické lodi v prostředí s nulovou gravitací, k modelování přenos tepla, difúze, a šíření vln.

Oddělený Greenova věta se používá v nástroji známém jako a planimetr, který se používá k výpočtu plochy rovného povrchu na výkresu. Například jej lze použít k výpočtu množství plochy zabrané květinovým záhonem nebo bazénem nepravidelného tvaru při navrhování dispozice pozemku. Lze jej použít k efektivnímu výpočtu součtu obdélníkových domén v obrázcích, aby bylo možné rychle extrahovat funkce a detekovat objekt; další algoritmus, který lze použít, je tabulka sečtených ploch.

V oblasti medicíny lze kalkul použít k nalezení optimálního úhlu rozvětvení cévy, aby se maximalizoval průtok. Ze zákonů o rozpadu pro eliminaci konkrétního léku z těla se používá k odvození zákonů o dávkování. V nukleární medicíně se používá k vytváření modelů přenosu záření v cílených nádorových terapiích.

V ekonomii umožňuje kalkul stanovení maximálního zisku výpočtem obou mezní náklady a vedlejší příjem, stejně jako modelování trhů. ^[5]

Diskrétní počet lze použít ve spojení s jinými matematickými disciplínami. Například jej lze použít v teorie pravděpodobnosti určit pravděpodobnost diskrétní náhodné proměnné z funkce předpokládané hustoty.

Počítadlo rozdílů a součtů

Předpokládejme funkci (a ${ displaystyle 0}$ -cochain) ${ displaystyle f}$ je definována v bodech oddělených přírůstkem ${ displaystyle Delta x = h> 0}$ :

{ displaystyle a, a + h, a + 2h, ldots, a + nh, ldots}

The rozdíl (nebo vnější derivace, nebo hraniční operátor) funkce je dána vztahem:

{ displaystyle { big (} Delta f { big)} { big (} [x, x + h] { big)} = f (x + h) -f (x).}

Je definován v každém z výše uvedených intervalů; to je ${ displaystyle 1}$ -cochain.

Předpokládejme, že ${ displaystyle 1}$ -cochain ${ displaystyle g}$ je definována v každém z výše uvedených intervalů. Pak jeho součet je funkce (a ${ displaystyle 0}$ -cochain) definované v každém z bodů:

{ displaystyle left ( sum g right) (a + nh) = sum _ {i = 1} ^ {n} g { big (} [a + (i-1) h, a + ih] { big)}.}

Jsou to jejich vlastnosti:

Trvalé pravidlo: Pokud ${ displaystyle c}$ je konstantní, pak

{ displaystyle Delta c = 0}

Linearita: pokud ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle b}$ jsou konstanty,

{ Displaystyle Delta (af + bg) = a , Delta f + b , Delta g, quad součet (af + bg) = a , součet f + b , součet g}

Pravidlo produktu:

{ displaystyle Delta (fg) = f , Delta g + g , Delta f + Delta f , Delta g}

Základní věta o počtu Já:

{ displaystyle left ( sum Delta f right) (a + nh) = f (a + nh) -f (a)}

Základní věta počtu II:

{ displaystyle Delta left ( sum g right) = g}

Definice se vztahují na grafy jak následuje. Pokud je funkce (a ${ displaystyle 0}$ -cochain) ${ displaystyle f}$ je definována v uzlech grafu:

{ displaystyle a, b, c, ldots}

pak jeho vnější derivace (nebo diferenciál) je rozdíl, tj. následující funkce definovaná na okrajích grafu ( ${ displaystyle 1}$ -cochain):

{ displaystyle left (df right) { big (} [a, b] { big)} = f (b) -f (a).}

Li ${ displaystyle g}$ je ${ displaystyle 1}$ -cochain, pak jeho integrální přes sled hran ${ displaystyle sigma}$ grafu je součet jeho hodnot na všech okrajích ${ displaystyle sigma}$ ("integrál cesty"):

{ displaystyle int _ { sigma} g = součet _ { sigma} g { big (} [a, b] { big)}.}

Jedná se o vlastnosti:

Trvalé pravidlo: Pokud ${ displaystyle c}$ je konstantní, pak

{ displaystyle dc = 0}

Linearita: pokud ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle b}$ jsou konstanty,

{ Displaystyle d (af + bg) = a , df + b , dg, quad int _ { sigma} (af + bg) = a , int _ { sigma} f + b , int _ { sigma} g}

Pravidlo produktu:

{ Displaystyle d (fg) = f , dg + g , df + df , dg}

Základní věta počtu I.: Pokud ${ displaystyle 1}$ -řetěz ${ displaystyle sigma}$ sestává z okrajů ${ displaystyle [a_ {0}, a_ {1}], [a_ {1}, a_ {2}], ..., [a_ {n-1}, a_ {n}]}$ , pak pro všechny ${ displaystyle 0}$ -cochain ${ displaystyle f}$

{ displaystyle int _ { sigma} df = f (a_ {n}) - f (a_ {0})}

Základní věta počtu II: pokud je graf a strom, ${ displaystyle g}$ je ${ displaystyle 1}$ -cochain a funkce ( ${ displaystyle 0}$ -cochain) je definován na uzlech grafu

{ displaystyle f (x) = int _ { sigma} g}

kde ${ displaystyle 1}$ -řetěz ${ displaystyle sigma}$ skládá se z ${ displaystyle [a_ {0}, a_ {1}], [a_ {1}, a_ {2}], ..., [a_ {n-1}, x]}$ pro některé pevné ${ displaystyle a_ {0}}$ , pak

{ displaystyle df = g}

Viz reference.^[6]^[7]^[8]^[9]^[3]^[10]

Řetězy jednoduchostí a kostek

Zjednodušený komplex.

A zjednodušený komplex ${ displaystyle S}$ je sada jednoduchosti který splňuje následující podmínky:

1. Každý tvář simplexu z

{ displaystyle S}

je také v

{ displaystyle S}

.

2. Neprázdné průsečík dvou libovolných jednoduchostí

{ displaystyle sigma _ {1}, sigma _ {2} v S}

je tváří obou

{ displaystyle sigma _ {1}}

a

{ displaystyle sigma _ {2}}

.

Hranice hranice 2-simplexu (vlevo) a hranice 1-řetězce (vpravo) jsou převzaty. Oba jsou 0, což jsou součty, ve kterých se kladný i záporný 0-simplex vyskytují jednou. Hranice hranice je vždy 0. Netriviální cyklus je něco, co se uzavírá jako hranice simplexu v tom, že jeho hranice se rovná 0, ale ve skutečnosti to není hranice simplexu nebo řetězce.

Podle definice an orientace a k-simplex je dán uspořádáním vrcholů, zapsaných jako ${ displaystyle (v_ {0}, ..., v_ {k})}$ , s pravidlem, že dvě uspořádání definují stejnou orientaci právě tehdy, pokud se liší o dokonce permutace. Každý simplex má tedy přesně dvě orientace a přepnutí pořadí dvou vrcholů změní orientaci na opačnou orientaci. Například výběr orientace jednostranného jednostranného výběru znamená výběr jednoho ze dvou možných směrů a výběr orientace jednostranného jednostranného výběru toho, co by mělo znamenat „proti směru hodinových ručiček“.

Nechat ${ displaystyle S}$ být zjednodušeným komplexem. A zjednodušující k-řetěz je konečný formální součet

{ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {N} c_ {i} sigma _ {i}, ,}

kde každý C_i je celé číslo a σ_i je orientovaný k-jednodušší. V této definici deklarujeme, že každý orientovaný simplex se rovná negativu simplexu s opačnou orientací. Například,

{ displaystyle (v_ {0}, v_ {1}) = - (v_ {1}, v_ {0}).}

The vektorový prostor z k-řetězce na ${ displaystyle S}$ je psáno ${ displaystyle C_ {k}}$ . Má základ v individuální korespondenci se sadou k-jednoduchosti v ${ displaystyle S}$ . Chcete-li explicitně definovat základ, musíte zvolit orientaci každého simplexu. Jedním ze standardních způsobů, jak toho dosáhnout, je zvolit uspořádání všech vrcholů a dát každému simplexu orientaci odpovídající indukovanému uspořádání jeho vrcholů.

Nechat ${ displaystyle sigma = (v_ {0}, ..., v_ {k})}$ být orientovaný k-simplex, považováno za základní prvek ${ displaystyle C_ {k}}$ . The hraniční operátor

{ displaystyle částečné _ {k}: C_ {k} pravá šipka C_ {k-1}}

je lineární operátor definován:

{ displaystyle částečné _ {k} ( sigma) = součet _ {i = 0} ^ {k} (- 1) ^ {i} (v_ {0}, tečky, { widehat {v_ {i }}}, tečky, v_ {k}),}

kde orientovaný simplex

{ displaystyle (v_ {0}, tečky, { widehat {v_ {i}}}, tečky, v_ {k})}

je ${ displaystyle i}$ th tvář ${ displaystyle sigma}$ , získané odstraněním jeho ${ displaystyle i}$ th vrchol.

v ${ displaystyle C_ {k}}$ , prvky podskupiny

{ displaystyle Z_ {k} = ker částečné _ {k}}

jsou označovány jako cyklya podskupina

{ displaystyle B_ {k} = operatorname {im} částečný _ {k + 1}}

se říká, že se skládá z hranice.

To ukazuje přímý výpočet ${ displaystyle částečné ^ {2} = 0}$ . Z geometrického hlediska to říká, že hranice čehokoli nemá hranice. Ekvivalentně, vektorové prostory ${ displaystyle (C_ {k}, částečné _ {k})}$ formulář a řetězový komplex. Další ekvivalentní prohlášení je toto ${ displaystyle B_ {k}}$ je obsažen v ${ displaystyle Z_ {k}}$ .

A kubický komplex je soubor složen z bodů, úsečky, čtverce, kostky, a jejich n-dimenzionální protějšky. Používají se analogicky k simplexům k vytváření komplexů. An elementární interval je podmnožina ${ displaystyle I podmnožina mathbf {R}}$ formuláře

{ displaystyle I = [ ell, ell +1] quad { text {nebo}} quad I = [ ell, ell]}

pro některé ${ displaystyle ell in mathbf {Z}}$ . An základní kostka ${ displaystyle Q}$ je konečný produkt elementárních intervalů, tj.

{ displaystyle Q = I_ {1} krát I_ {2} krát cdots krát I_ {d} podmnožina mathbf {R} ^ {d}}

kde ${ displaystyle I_ {1}, I_ {2}, ldots, I_ {d}}$ jsou základní intervaly. Ekvivalentně je základní kostka jakýkoli překlad jednotkové kostky ${ displaystyle [0,1] ^ {n}}$ vložený v Euklidovský prostor ${ displaystyle mathbf {R} ^ {d}}$ (pro některé ${ displaystyle n, d in mathbf {N} pohár {0 }}$ s ${ displaystyle n leq d}$ ). Sada ${ displaystyle X subseteq mathbf {R} ^ {d}}$ je krychlový komplex jestliže to může být psáno jako spojení elementárních kostek (nebo možná je homeomorfní k takové sadě) a obsahuje všechny tváře všech jejích kostek. Hraniční operátor a řetězový komplex jsou definovány podobně jako u zjednodušených komplexů.

Obecnější jsou buněčné komplexy.

A řetězový komplex ${ displaystyle (C _ {*}, částečné _ {*})}$ je posloupnost vektorové prostory ${ displaystyle ldots, C_ {0}, C_ {1}, C_ {2}, C_ {3}, C_ {4}, ldots}$ připojeno uživatelem lineární operátory (volala hraniční operátory) ${ displaystyle částečné _ {n}: C_ {n} až C_ {n-1}}$ , takže složení libovolných dvou po sobě jdoucích map je nulová mapa. Výslovně operátory hranice uspokojují ${ displaystyle částečné _ {n} cirkus částečné _ {n + 1} = 0}$ , nebo s potlačenými indexy, ${ displaystyle částečné ^ {2} = 0}$ . Komplex lze vypsat následujícím způsobem.

{ displaystyle cdots { xleftarrow { částečné _ {0}}} C_ {0} { xleftarrow { částečné _ {1}}} C_ {1} { xleftarrow { částečné _ {2}}} C_ {2} { xleftarrow { částečné _ {3}}} C_ {3} { xleftarrow { částečné _ {4}}} C_ {4} { xleftarrow { částečné _ {5}}} cdots}

A zjednodušená mapa je mapa mezi simplexními komplexy s vlastností, že obrazy vrcholů simplexu vždy pokrývají simplex (proto mají vrcholy vrcholy pro obrázky). Zjednodušená mapa ${ displaystyle f}$ ze zjednodušeného komplexu ${ displaystyle S}$ jinému ${ displaystyle T}$ je funkce ze sady vrcholů ${ displaystyle S}$ k vrcholovému souboru ${ displaystyle T}$ tak, že obraz každého simplexu v ${ displaystyle S}$ (zobrazeno jako sada vrcholů) je simplexní ${ displaystyle T}$ . Generuje lineární mapu nazvanou a řetězová mapa z řetězového komplexu ${ displaystyle S}$ do komplexu řetězců ${ displaystyle T}$ . Výslovně je to uvedeno ${ displaystyle k}$ -řetězce

{ displaystyle f ((v_ {0}, ldots, v_ {k})) = (f (v_ {0}), ldots, f (v_ {k}))}

-li ${ displaystyle f (v_ {0}), ..., f (v_ {k})}$ jsou všechny odlišné a jinak je nastavena na ${ displaystyle 0}$ .

A řetězová mapa ${ displaystyle f}$ mezi dvěma řetězovými komplexy ${ displaystyle (A _ {*}, d_ {A, *})}$ a ${ displaystyle (B _ {*}, d_ {B, *})}$ je sekvence ${ displaystyle f _ {*}}$ homomorfismů ${ displaystyle f_ {n}: A_ {n} rightarrow B_ {n}}$ pro každého ${ displaystyle n}$ který dojíždí s hraničními operátory na dvou řetězových komplexech, takže ${ displaystyle d_ {B, n} circ f_ {n} = f_ {n-1} circ d_ {A, n}}$ . Toto je uvedeno níže komutativní diagram:

Řetězová mapa odesílá cykly na cykly a hranice na hranice.

Viz reference.^[11]^[10]^[12]

Diskrétní diferenciální formy: řetězce

Pro každý vektorový prostor C_i v řetězovém komplexu považujeme jeho dvojí prostor ${ displaystyle C_ {i} ^ {*}: = mathrm {Hom} (C_ {i}, { bf {R}}),}$ a ${ displaystyle d ^ {i} = částečné _ {i} ^ {*}}$ je jeho duální lineární operátor

{ displaystyle d ^ {i-1}: C_ {i-1} ^ {*} až C_ {i} ^ {*}.}

To má za následek „obrácení všech šípů“ původního komplexu a ponechání a komplex řetězců

{ displaystyle cdots leftarrow C_ {i + 1} ^ {*} { stackrel { částečné _ {i} ^ {*}} { leftarrow}} C_ {i} ^ {*} { stackrel { částečné _ {i-1} ^ {*}} { leftarrow}} C_ {i-1} ^ {*} leftarrow cdots}

The komplex řetězců ${ displaystyle (C ^ {*}, d ^ {*})}$ je dvojí pojem komplexu řetězů. Skládá se ze sekvence vektorových prostorů ${ displaystyle ..., C_ {0}, C_ {1}, C_ {2}, C_ {3}, C_ {4}, ...}$ propojeny lineárními operátory ${ displaystyle d ^ {n}: C ^ {n} do C ^ {n + 1}}$ uspokojující ${ displaystyle d ^ {n + 1} circ d ^ {n} = 0}$ . Komplex řetězců může být zapsán podobným způsobem jako řetězový komplex.

{ displaystyle cdots { xrightarrow {d ^ {- 1}}} C ^ {0} { xrightarrow {d ^ {0}}} C ^ {1} { xrightarrow {d ^ {1}}} C ^ {2} { xrightarrow {d ^ {2}}} C ^ {3} { xrightarrow {d ^ {3}}} C ^ {4} { xrightarrow {d ^ {4}}} cdots}

Index ${ displaystyle n}$ v obou ${ displaystyle C_ {n}}$ nebo ${ displaystyle C ^ {n}}$ se označuje jako stupeň (nebo dimenze). Rozdíl mezi řetězovými a kochainovými komplexy spočívá v tom, že v řetězových komplexech diferenciály zmenšují dimenzi, zatímco v komplexech cochain zvyšují rozměr.

Jsou volány prvky jednotlivých vektorových prostorů komplexu (ko) řetězce řetězy. Prvky v jádro z ${ displaystyle d}$ se nazývají cocycles (nebo Zavřeno prvky) a prvky v obraz z ${ displaystyle d}$ se nazývají hranice (nebo přesný elementy). Od definice diferenciálu jsou všechny hranice cykly.

The Poincaré lemma uvádí, že pokud ${ displaystyle B}$ je otevřený míč dovnitř ${ displaystyle { bf {R}} ^ {n}}$ , uzavřeno ${ displaystyle p}$ -formulář ${ displaystyle omega}$ definováno dne ${ displaystyle B}$ je přesné, pro jakékoli celé číslo ${ displaystyle p}$ s ${ Displaystyle 1 leq p leq n}$ .

Když hovoříme o cochainech jako diskrétní (diferenciální) formy, odkazujeme na ${ displaystyle d}$ jako vnější derivace. Pro hodnoty formulářů také používáme notaci kalkulu:

{ displaystyle omega (s) = int _ {s} omega.}

Stokesova věta je prohlášení o diskrétních diferenciálních formách rozdělovače, který zobecňuje základní teorém diskrétního počtu pro rozdělení intervalu:

{ displaystyle sum _ {i = 0} ^ {n-1} { frac { Delta F} { Delta x}} (a + ih + h / 2) , Delta x = F (b) -F (a).}

Stokesova věta říká, že součet formy ${ displaystyle omega}$ přes hranice některých orientovatelný potrubí ${ displaystyle Omega}$ se rovná součtu jeho vnější derivace ${ displaystyle d omega}$ přes celou ${ displaystyle Omega}$ , tj.,

{ displaystyle int _ { Omega} d omega = int _ { částečné Omega} omega ,.}

Je vhodné prozkoumat základní princip zvážením příkladu pro ${ displaystyle d = 2}$ rozměry. Základní myšlenku lze pochopit na obrázku vlevo, který ukazuje, že při orientovaném obkladu potrubí jsou vnitřní cesty procházeny opačnými směry; jejich příspěvky do integrálu dráhy se tak po dvojicích ruší. V důsledku toho zbývá pouze příspěvek z hranice.

Viz reference.^[11]^[10]

Klínový produkt forem

V diskrétním počtu je to konstrukce, která vytváří z forem forem vyššího řádu: sousedních dvou řetězy stupně ${ displaystyle p}$ a ${ displaystyle q}$ tvořit složený cochain titulu ${ displaystyle p + q}$ .

Pro kubické komplexy, klínový produkt je definována na každé krychli považované za vektorový prostor stejné dimenze.

Pro zjednodušené komplexy, klínový produkt je implementován jako pohárový produkt: pokud ${ displaystyle f ^ {p}}$ je ${ displaystyle p}$ -cochain a ${ displaystyle g ^ {q}}$ je ${ displaystyle q}$ -cochain, tedy

{ displaystyle (f ^ {p} úsměv g ^ {q}) ( sigma) = f ^ {p} ( sigma _ {0,1, ..., p}) cdot g ^ {q} ( sigma _ {p, p + 1, ..., p + q})}

kde ${ displaystyle sigma}$ je ${ displaystyle (p + q)}$ -simplexní a ${ displaystyle sigma _ {S}, S podmnožina {0,1, ..., p + q }}$ , je simplex překlenut ${ displaystyle S}$ do ${ displaystyle (p + q)}$ -simplex, jehož vrcholy jsou indexovány ${ displaystyle {0, ..., p + q }}$ . Tak, ${ displaystyle sigma _ {0,1, ..., p}}$ je ${ displaystyle p}$ -th přední strana a ${ displaystyle sigma _ {p, p + 1, ..., p + q}}$ je ${ displaystyle q}$ -th zadní tvář z ${ displaystyle sigma}$ , resp.

The hranice pohárového produktu cochainů ${ displaystyle f ^ {p}}$ a ${ displaystyle g ^ {q}}$ je dána

{ displaystyle d (f ^ {p} úsměv g ^ {q}) = d {f ^ {p}} úsměv g ^ {q} + (- 1) ^ {p} (f ^ {p} úsměv d {g ^ {q}}).}

Košíčkový produkt dvou cyklů je opět kocyklem a produkt hranice s kocyklem (v jakémkoli pořadí) je hranicí.

Provoz pohárového produktu uspokojuje identitu

{ displaystyle alpha ^ {p} úsměv beta ^ {q} = (- 1) ^ {pq} ( beta ^ {q} úsměv alpha ^ {p}).}

Jinými slovy, odpovídající násobení je odstupňované-komutativní.

Viz reference.^[11]

Operátor Laplace

Operátor Laplace ${ displaystyle Delta f}$ funkce ${ displaystyle f}$ na vrcholu ${ displaystyle p}$ , je (až do faktoru) míra, s jakou průměrná hodnota ${ displaystyle f}$ přes buněčné okolí ${ displaystyle p}$ se odchyluje od ${ displaystyle f (p)}$ . Operátor Laplace představuje magneticka indukce z gradientní tok funkce. Například čistá rychlost, při které se chemická látka rozpuštěná v kapalině pohybuje směrem k určitému bodu nebo od něj, je úměrná Laplaceovu operátoru chemické koncentrace v daném bodě; vyjádřeno symbolicky, výsledná rovnice je difúzní rovnice. Z těchto důvodů je ve vědách široce používán pro modelování různých fyzikálních jevů.

The codifferential

{ displaystyle delta: C ^ {k} až C ^ {k-1}}

je operátor definovaný na ${ displaystyle k}$ -formáty od:

{ displaystyle delta = (- 1) ^ {n (k-1) +1} { star} d { star} = (- 1) ^ {k} , { star} ^ {- 1} d { star},}

kde ${ displaystyle d}$ je vnější derivace nebo diferenciální a ${ displaystyle star}$ je Operátor hvězd Hodge.

Codifferential je adjoint exteriérové derivace podle Stokesovy věty:

{ displaystyle ( eta, delta zeta) = (d eta, zeta).}

Protože diferenciál uspokojuje ${ displaystyle d ^ {2} = 0}$ , codifferential má odpovídající vlastnost

{ displaystyle delta ^ {2} = { star} d { star} { star} d { star} = (- 1) ^ {k (nk)} { star} d ^ {2} { star} = 0.}

The Operátor Laplace je definováno:

{ displaystyle Delta = ( delta + d) ^ {2} = delta d + d delta.}

Viz reference.^[10]

Příbuzný

Viz také

Reference

^ Jean Dieudonné (1988). Historie algebraické a diferenciální topologie 1900-1960. Birkhäuser Boston. ISBN 9780817649074.
^ Marie-Flavie Auclair-Fortier, Djemel Ziou, Madjid Allili (2004). Globální výpočetní algebraická topologie pro difúzi In: Proc. SPIE. 5299, Computational Imaging II.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
^ ^A ^b Grady, Leo J., Polimeni, Jonathan R. (2010). Diskrétní počet v grafech.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
^ Mathieu Desbrun, Eva Kanso, Yiying Tong (2008). Diskrétní diferenciální formy pro výpočetní modelování In: Bobenko A.I., Sullivan J.M., Schröder P., Ziegler G.M. (eds) Diskrétní diferenciální geometrie. Oberwolfach Seminars, sv. 38. Birkhäuser Basel.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
^ Paul Wilmott; Sam Howison; Jeff Dewynne (1995). Matematika finančních derivátů: úvod studenta. Cambridge University Press. p.137. ISBN 978-0-521-49789-3.
^ M Hanif Chaudhry (2007). Tok otevřeného kanálu. Springer. p. 369. ISBN 978-0-387-68648-6.
^ Levy, H .; Lessman, F. (1992). Konečné diferenciální rovnice. Doveru. ISBN 0-486-67260-3.
^ Ames, W. F., (1977). Numerické metody pro parciální diferenciální rovnice, Oddíl 1.6. Academic Press, New York. ISBN 0-12-056760-1.
^ Hildebrand, F. B., (1968). Rovnice a simulace konečných rozdílů, Oddíl 2.2, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey.
^ ^A ^b ^C ^d Peter Saveliev (2016). Ilustrovaná topologie. ISBN 978-1495188756.
^ ^A ^b ^C Glen E. Bredon (1997). Topologie a geometrie (postgraduální texty z matematiky). Springer. ISBN 0387979263.
^ Tomasz Kaczynski; Konstantin Mischaikow; Marian Mrozek (2004). Výpočetní topologie. ISBN 0-387-40853-3.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)

[Die-1] Jean Dieudonné (1988). Historie algebraické a diferenciální topologie 1900-1960. Birkhäuser Boston. ISBN 9780817649074.

[AZA-2] Marie-Flavie Auclair-Fortier, Djemel Ziou, Madjid Allili (2004). Globální výpočetní algebraická topologie pro difúzi In: Proc. SPIE. 5299, Computational Imaging II.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)

[GP-3] A ^b Grady, Leo J., Polimeni, Jonathan R. (2010). Diskrétní počet v grafech.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)

[DDF-4] Mathieu Desbrun, Eva Kanso, Yiying Tong (2008). Diskrétní diferenciální formy pro výpočetní modelování In: Bobenko A.I., Sullivan J.M., Schröder P., Ziegler G.M. (eds) Diskrétní diferenciální geometrie. Oberwolfach Seminars, sv. 38. Birkhäuser Basel.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)

[WilmottHowison1995-5] Paul Wilmott; Sam Howison; Jeff Dewynne (1995). Matematika finančních derivátů: úvod studenta. Cambridge University Press. p.137. ISBN 978-0-521-49789-3.

[Chaudhry2007-6] M Hanif Chaudhry (2007). Tok otevřeného kanálu. Springer. p. 369. ISBN 978-0-387-68648-6.

[7] Levy, H .; Lessman, F. (1992). Konečné diferenciální rovnice. Doveru. ISBN 0-486-67260-3.

[8] Ames, W. F., (1977). Numerické metody pro parciální diferenciální rovnice, Oddíl 1.6. Academic Press, New York. ISBN 0-12-056760-1.

[9] Hildebrand, F. B., (1968). Rovnice a simulace konečných rozdílů, Oddíl 2.2, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey.

[TI-10] A ^b ^C ^d Peter Saveliev (2016). Ilustrovaná topologie. ISBN 978-1495188756.

[Bredon-11] A ^b ^C Glen E. Bredon (1997). Topologie a geometrie (postgraduální texty z matematiky). Springer. ISBN 0387979263.

[CT-12] Tomasz Kaczynski; Konstantin Mischaikow; Marian Mrozek (2004). Výpočetní topologie. ISBN 0-387-40853-3.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]