Diskrétní Morseova teorie - Discrete Morse theory
Diskrétní Morseova teorie je kombinační adaptace Morseova teorie vyvinutý uživatelem Robin Forman. Tato teorie má různé praktické aplikace v různých oblastech aplikovaná matematika a počítačová věda, jako konfigurační prostory,[1] homologie výpočet,[2][3] odšumění,[4] síťová komprese,[5] a topologická analýza dat.[6]
Zápis týkající se CW komplexů
Nechat být CW komplex a označit jeho sada buněk. Definujte funkce dopadu následujícím způsobem: dány dvě buňky a v , nechť být stupeň z připevnění mapy od hranice na . The hraniční operátor je endomorfismus skupiny volných abelianů generovaných definován
Jedná se o definující vlastnost hraničních operátorů . Ve více axiomatických definicích[7] lze najít požadavek, že
což je důsledkem výše uvedené definice operátora hranice a požadavku, že .
Diskrétní Morseovy funkce
A nemovitý -hodnotená funkce je diskrétní Morseova funkce pokud splňuje následující dvě vlastnosti:
- Pro jakoukoli buňku , počet buněk na hranici které uspokojí je nanejvýš jeden.
- Pro jakoukoli buňku , počet buněk obsahující v jejich hranicích, které uspokojí je nanejvýš jeden.
Může se to ukázat[8] že kardinality ve dvou podmínkách nemohou být obě současně pro pevnou buňku , za předpokladu, že je pravidelný CW komplex. V tomto případě každá buňka lze spárovat maximálně s jednou výjimečnou buňkou : buď hraniční buňka s větší hodnota, nebo společná hraniční buňka s menší hodnota. Buňky, které nemají žádné páry, tj. Jejichž funkční hodnoty jsou přísně vyšší než jejich hraniční buňky a striktně nižší, než se nazývají jejich spoluhraniční buňky kritický buňky. Diskrétní Morseova funkce tedy rozděluje komplex CW do tří odlišných buněčných sbírek: , kde:
- označuje kritický buňky, které jsou nepárové,
- označuje buňky spárované s hraničními buňkami a
- označuje buňky, které jsou spárovány se společnými hraničními buňkami.
Podle konstrukce existuje bijekce z sady mezi -dimenzionální buňky v a -dimenzionální buňky v , které lze označit pro každého přirozené číslo . Jedná se o další technický požadavek, který pro každého , stupeň připojovací mapy od hranice do spárované cely je jednotka v podkladu prsten z . Například přes celá čísla , jediné povolené hodnoty jsou . Tento technický požadavek je zaručen, například když to předpokládáme je běžný CW komplex .
Základní výsledek diskrétní Morseovy teorie stanoví, že komplex CW je izomorfní na úrovni homologie do nového komplexu skládající se pouze z kritických buněk. Spárované buňky v a popsat přechodové cesty mezi sousedními kritickými buňkami, které lze použít k získání hraničního operátoru . Některé podrobnosti o této konstrukci jsou uvedeny v následující části.
Morseův komplex
A přechodová cesta je sekvence spárovaných buněk
uspokojující a . The index této cesty přechodu je definováno jako celé číslo
- .
Rozdělení zde dává smysl, protože musí být výskyt mezi spárovanými buňkami . Všimněte si, že konstrukcí jsou hodnoty diskrétní Morseovy funkce musí klesat napříč . Cesta říká se připojit dvě kritické buňky -li . Tento vztah lze vyjádřit jako . The multiplicita tohoto spojení je definováno jako celé číslo . Nakonec Morseův hraniční operátor na kritických buňkách je definováno
kde je součet převzat ze všech připojení gradientní cesty z na .
Základní výsledky
Mnoho známých výsledků z kontinuální Morseovy teorie platí v diskrétním prostředí.
Morseovy nerovnosti
Nechat být Morseovým komplexem spojeným s komplexem CW . Číslo z - buňky uvnitř se nazývá Morseovo číslo. Nechat označit Betti číslo z . Pak pro všechny , následující nerovnosti[9] držet
- , a
Navíc Eulerova charakteristika z splňuje
Diskrétní Morseova homologie a typ homotopy
Nechat být běžným komplexem CW s hraničním operátorem a diskrétní Morseova funkce . Nechat být přidruženým Morseovým komplexem s hraničním operátorem Morse . Pak existuje izomorfismus[10] z homologie skupiny
a podobně pro skupiny homotopy.
Viz také
- Teorie digitální Morse
- Stratifikovaná Morseova teorie
- Analýza tvaru
- Topologická kombinatorika
- Diskrétní diferenciální geometrie
Reference
- ^ Mori, Francesca; Salvetti, Mario (2011), „(Diskrétní) Morseova teorie pro konfigurační prostory“ (PDF), Dopisy o matematickém výzkumu, 18 (1): 39–57, doi:10.4310 / MRL.2011.v18.n1.a4, PAN 2770581
- ^ Perseus: Trvalá homologie software.
- ^ Mischaikow, Konstantin; Nanda, Vidit (2013). „Morseova teorie pro filtrace a efektivní výpočet trvalé homologie“. Diskrétní a výpočetní geometrie. 50 (2): 330–353. doi:10.1007 / s00454-013-9529-6.
- ^ U. Bauer, C. Lange a M. Wardetzky: Optimální topologické zjednodušení diskrétních funkcí na plochách
- ^ T Lewiner, H Lopez a G Tavares: Aplikace Formanovy diskrétní Morseovy teorie na topologickou vizualizaci a síťovou kompresi Archivováno 26. 04. 2012 na Wayback Machine
- ^ „sada nástrojů topologie“.
- ^ Mischaikow, Konstantin; Nanda, Vidit (2013). „Morseova teorie pro filtrace a efektivní výpočet trvalé homologie“. Diskrétní a výpočetní geometrie. 50 (2): 330–353. doi:10.1007 / s00454-013-9529-6.
- ^ Forman, Robin: Morseova teorie pro buněčné komplexy Archivováno 24.dubna 2012, na Wayback Machine, Lemma 2.5
- ^ Forman, Robin: Morseova teorie pro buněčné komplexy Archivováno 24.dubna 2012, na Wayback Machine, Doplňky 3.5 a 3.6
- ^ Forman, Robin: Morseova teorie pro buněčné komplexy Archivováno 24.dubna 2012, na Wayback Machine Věta 7.3
- Forman, Robin (2002). „Uživatelská příručka k diskrétní Morseově teorii“ (PDF). Seminář Lotharingien de Combinatoire. 48: Umění. B48c, 35 stran PAN 1939695.
- Kozlov, Dmitrij (2007). Kombinatorická algebraická topologie. Algoritmy a výpočty v matematice. 21. Berlín: Springer. ISBN 978-3540719618. PAN 2361455.
- Jonsson, Jakob (2007). Jednoduché komplexy grafů. Springer. ISBN 978-3540758587.
- Orlik, Peter; Welker, Volkmar (2007). Algebraická kombinatorika: Přednášky na letní škole v Nordfjordeidu. Universitext. Springer. doi:10.1007/978-3-540-68376-6. ISBN 978-3540683759. PAN 2322081.
- "Diskrétní Morseova teorie". nLab.